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| Aufgabe | 1. Zeigen Sie: Jede rationale 2x2-Matrix ist konjugiert zu einer Matrix der Form [mm] \pmat{ t & 0 \\ 0 & t } [/mm] oder [mm] \pmat{ 0 & a \\ 1 & b }
[/mm]
2. Zeigen Sie außerdem: Seien zwei rationale 2x2-Matrizen als reele Matrizen konjugiert (die konjugierende Matrix enthält also beliebige reele Einträge), so sind sie auch als rationale Matrizen konjugiert. |
Gut, ich habe nicht die geringste Ahnung, was Konjugation, die konjugierende Matrix etc. ist. In meinem LA-Buch steht dazu nichts (jedenfalls nicht im Index). Und im Internet finde ich nur was von komplexer Konjugation. Aber ist davon hier die Rede?
Es heißt, die komplex konjugierte Matrix enthält die konjugierten Einträge der Ausgangsmatrix. Ich erkenne irgendwie nicht, wie dann 1 sein kann. Verstehe ich den Begriff der rationalen Matrix überhaupt richtig (als Matrix mit rationalen Einträgen?).
Ich glaube, ich verstehe die Aufgaben nicht mal richtig. Was genau ist zu zeigen???
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> 1. Zeigen Sie: Jede rationale 2x2-Matrix ist konjugiert zu
> einer Matrix der Form [mm]\pmat{ t & 0 \\ 0 & t }[/mm] oder [mm]\pmat{ 0 & a \\ 1 & b }[/mm]
>
> 2. Zeigen Sie außerdem: Seien zwei rationale 2x2-Matrizen
> als reele Matrizen konjugiert (die konjugierende Matrix
> enthält also beliebige reele Einträge), so sind sie auch
> als rationale Matrizen konjugiert.
> Gut, ich habe nicht die geringste Ahnung, was Konjugation,
> die konjugierende Matrix etc. ist.
Hallo,
A und B heißen konjugiert, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt mit [mm] B=SAS^{-1}.
[/mm]
Meist sagt man "A und B sind ähnlich".
Gruß v. Angela
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Gut, das hilft mir schon etwas weiter.
Aber wie mache ich die beiden Aufgaben? Sei die erste erstmal außenvorgelassen, hab schon genug Probleme mit der zweiten.
Zwei Matrizen A,B sind ja ähnlich, wenn gilt (damit müsste das GS etwas einfacher sein).
MA=BM
Zu zeigen ist ja, dass M rationale Einträge haben kann, wenn A und B rational sind
[mm] A:=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
[mm] B:=\pmat{ e & f \\ g & h }
[/mm]
[mm] M:=\pmat{ m & n \\ p & q }
[/mm]
Es muss ja gelten:
[mm] MA-BM=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Also ergibt sich als LGS in Matrixschreibweise mit Spalten als Einträge von M (m,n,p,q):
[mm] \pmat{ a-e & c & -f & 0 & 0 \\ b & d-e & 0 & -f & 0 \\ -g & 0 & a-h & c & 0 \\ 0 & -g & b & d-h & 0}
[/mm]
Wenn ich das Teil allerdings reduziere, kommt Einheitsmatrix + Nullspalte raus, es gibt also nur die triviale Lösung, dass M die Nullmatrix ist.
Was ist an diesem Weg falsch? Ist es besser, dass nichtlineare GS mit der invertierten Matrix zu betrachten?
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> Gut, das hilft mir schon etwas weiter.
> Aber wie mache ich die beiden Aufgaben? Sei die erste
> erstmal außenvorgelassen, hab schon genug Probleme mit der
> zweiten.
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> Zwei Matrizen A,B sind ja ähnlich, wenn gilt (damit
> müsste das GS etwas einfacher sein).
> MA=BM
> Zu zeigen ist ja, dass M rationale Einträge haben kann,
> wenn A und B rational sind
> [mm]A:=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> [mm]B:=\pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]
>
> [mm]M:=\pmat{ m & n \\ p & q }[/mm]
>
> Es muss ja gelten:
> [mm]MA-BM=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Also ergibt sich als LGS in Matrixschreibweise mit Spalten
> als Einträge von M (m,n,p,q):
> [mm]\pmat{ a-e & c & -f & 0 & 0 \\ b & d-e & 0 & -f & 0 \\ -g & 0 & a-h & c & 0 \\ 0 & -g & b & d-h & 0}[/mm]
>
> Wenn ich das Teil allerdings reduziere, kommt
> Einheitsmatrix + Nullspalte raus, es gibt also nur die
> triviale Lösung, dass M die Nullmatrix ist.
>
> Was ist an diesem Weg falsch? Ist es besser, dass
> nichtlineare GS mit der invertierten Matrix zu betrachten?
Hallo,
nein, das macht keinen Unterschied.
nachgerechnet habe ich nichts.
Mit der Reduktion auf die Einheitsmatrix bin ich skeptisch. Hast Du Fallunterscheidungen gemacht? Ganz sicher nicht durch 0 dividiert? Z:B: bei Division durch a-e brav eine Fallunterscheidung gemacht?
Du gehst davon aus, daß die beiden Matrizen A und B ähnlich sind.
Dann sind ihre Einträge aber nicht ganz unabhängig voneinander. Die Ähnlichkeit bedingt ja, das der Rang von A und B gleich ist.
Auch wenn Du mit Aufgabe 2) startest, ist es sicher sinnig, wenn Du die Ergebnisse von Aufgabe 1) verwendest.
Das spart Mühe, vermute ich.
Gruß v. Angela
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Ah, wär also besser, als zweite Matrix die beiden aus Aufgabe 1 zu nehmen?
Dann wird's sicherlich ein bisschen weniger kompliziert.
Zur ersten Aufgabe: Sollte man da auch mit einem GS rangehen? Oder kann man es auch wie folgt machen?
Ähnliche Matrizen beschreiben ja die gleiche lineare Abbildung zu unterschiedlichen Basen. Kann man also irgendwie zeigen, dass die beiden Matrizen aus 1) alle Abbildungen in [mm] End(\IQ^{2}) [/mm] beschreiben?
Das erste wäre dann ja [mm] \vec{v}\mapsto t*\vec{v} [/mm] und zweiteres [mm] \vektor{x \\ y}\mapsto \vektor{a*y \\ b*y +x}
[/mm]
Wenn dem so ist, wie kann ich zeigen, dass man jeden Endomorphismus so darstellen kann?
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> Ah, wär also besser, als zweite Matrix die beiden aus
> Aufgabe 1 zu nehmen?
> Dann wird's sicherlich ein bisschen weniger kompliziert.
Hallo,
ja.
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> Zur ersten Aufgabe: Sollte man da auch mit einem GS
> rangehen? Oder kann man es auch wie folgt machen?
> Ähnliche Matrizen beschreiben ja die gleiche lineare
> Abbildung zu unterschiedlichen Basen. Kann man also
> irgendwie zeigen, dass die beiden Matrizen aus 1) alle
> Abbildungen in [mm]End(\IQ^{2})[/mm] beschreiben?
genau.
guck da.
Gruß v. Angela
> Das erste wäre dann ja [mm]\vec{v}\mapsto t*\vec{v}[/mm] und
> zweiteres [mm]\vektor{x \\ y}\mapsto \vektor{a*y \\ b*y +x}[/mm]
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> Wenn dem so ist, wie kann ich zeigen, dass man jeden
> Endomorphismus so darstellen kann?
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