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Konv-Intervall Potenzreihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mo 11.01.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Zeigen Sie, dass R = [mm] \frac{1}{4} [/mm] der Konvergenzradius von [mm] \summe_{k=0}^{\infty} ((-1)^k [/mm] - [mm] 3)^k x^k [/mm] ist, und untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz an den Rändern ihres Konvergenzintervalls.


Hallo,

nach ein Bisschen Rumstöbern im Kurstext bin ich nun auf eine Lösung gekommen, die mir irgendwie erstaunlich billig vorkommt. Daher würde mich interessieren, ob das so wasserdicht ist.

Das folgende Lemma verwende ich:

"Falls eine Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n [/mm] für x = [mm] x_0 [/mm] konvergiert, dann konvergiert sie auch für alle x mit |x| < [mm] |x_0|, [/mm] und zwar absolut.

Zuerst schreibe ich die Reihe um zu [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-4)^{2k+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-2)^{2k} [/mm]

Unter Verwendung davon, dass die Reihe auch absolut konvergiert, wenn sie überhaupt konvergiert, wende ich das Quotientenkriterium an und bekomme für die erste Reihe

[mm] \frac{(4x)^{n + 2}}{(4x)^{n + 1}} [/mm] < 1, also x < [mm] \frac{1}{4} [/mm]

und für die zweite Reihe

x < [mm] \frac{1}{2} [/mm]

Da für die Konvergenz ja beide Teilreihen konvergieren müssen, ergibt sich das strengere Kriterium, aso x < [mm] \frac{1}{4}. [/mm]

ist damit schon alles gezeigt und untersucht?

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Konv-Intervall Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Di 12.01.2021
Autor: statler


> Zeigen Sie, dass R = [mm]\frac{1}{4}[/mm] der Konvergenzradius von
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} ((-1)^k[/mm] - [mm]3)^k x^k[/mm] ist, und
> untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz an den Rändern
> ihres Konvergenzintervalls.
>  

Guten Morgen!

> nach ein Bisschen Rumstöbern im Kurstext bin ich nun auf
> eine Lösung gekommen, die mir irgendwie erstaunlich billig
> vorkommt. Daher würde mich interessieren, ob das so
> wasserdicht ist.
>  
> Das folgende Lemma verwende ich:
>  
> "Falls eine Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n[/mm] für
> x = [mm]x_0[/mm] konvergiert, dann konvergiert sie auch für alle x
> mit |x| < [mm]|x_0|,[/mm] und zwar absolut.
>  
> Zuerst schreibe ich die Reihe um zu [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-4)^{2k+1}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-2)^{2k}[/mm]

Da fehlen die x'e (Schreibfehler).

> Unter Verwendung davon, dass die Reihe auch absolut
> konvergiert, wenn sie überhaupt konvergiert, wende ich das
> Quotientenkriterium an und bekomme für die erste Reihe
>  
> [mm]\frac{(4x)^{n + 2}}{(4x)^{n + 1}}[/mm] < 1, also x <
> [mm]\frac{1}{4}[/mm]
>  
> und für die zweite Reihe
>  
> x < [mm]\frac{1}{2}[/mm]
>  
> Da für die Konvergenz ja beide Teilreihen konvergieren
> müssen, ergibt sich das strengere Kriterium, aso x <
> [mm]\frac{1}{4}.[/mm]

Der Schluß ist so nicht zulässig, weil es in der anderen Richtung gilt: Wenn diese beiden Teilreihen konvergieren, dann tut es auch die ursprüngliche Reihe. Also ist der gesuchte Konvergenzradius mindestens 1/4.

> ist damit schon alles gezeigt und untersucht?

Nicht ganz!

Gruß Dieter

Bezug
                
Bezug
Konv-Intervall Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:47 Di 12.01.2021
Autor: sancho1980

Hallo,
ich verstehe leider nicht, worauf due hinauswillst. Das notwendige Kriterium (beide Teilreihen konvergieren) ist doch gerade nur dann erfüllt, wenn x < min(1/2, 1/4), also wenn x < 1/4 ...
Kannst du bitte nochmal erklären?
Gruß und Danke,
Martin

Bezug
                        
Bezug
Konv-Intervall Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:04 Di 12.01.2021
Autor: statler


> Hallo,
>  ich verstehe leider nicht, worauf due hinauswillst. Das
> notwendige Kriterium (beide Teilreihen konvergieren) ist
> doch gerade nur dann erfüllt, wenn x < min(1/2, 1/4), also
> wenn x < 1/4 ...
>  Kannst du bitte nochmal erklären?

Ich will darauf hinaus, daß z. B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +.... konvergiert, aber die beiden Teilreihen 1 + 1/3 + 1/5 + ... und -1/2 - 1/4 - 1/6 - ... nicht. Die Konvergenz der Teilreihen ist nicht notwendig, sondern hinreichend.


Bezug
        
Bezug
Konv-Intervall Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Di 12.01.2021
Autor: fred97

Was bei Dir verbesserungswürdig ist hat statler Dir schon gesagt. Ich habe noch einen Einwand:

Du schreibst $x <1/2$ und $x<1/4$,.....
Mit dem Betrag bist Du offenbar auf Kriegsfuß !  Schreibe also $|x| <1/2$ und $|x|<1/4$,.....

Zur Lösung der Aufgabe würde ich die Formel von Cauchy-Hadamard heranziehen:

Gegeben ist die Potenzreihe $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ [/mm] mit

    [mm] $a_k=((-1)^k-3)^k.$ [/mm]

Für gerades k ist [mm] a_k=(-2)^k [/mm] und für ungerades k ist [mm] a_k=(-4)^k. [/mm]

Damit ist

   [mm] \wurzel[k]{|a_k|}=2, [/mm] falls k gerade

und

    [mm] \wurzel[k]{|a_k|}=4, [/mm] falls k ungerade.

Somit ist

   $ [mm] \lim \sup \wurzel[k]{|a_k|}=4.$ [/mm]

Cauchy-Hadamard liefert nun den Konvergenzradius 1/4.

Bezug
                
Bezug
Konv-Intervall Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Mi 13.01.2021
Autor: sancho1980

Tatsächlich war hier eine Lösung mit Cauchy-Hadamard gefragt. Die Antwort von statler liest sich so, als hätte man meinen Ansatz auch noch zum Abschluss bringen können ("nicht ganz"). Geht das?

Bezug
                        
Bezug
Konv-Intervall Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Do 14.01.2021
Autor: fred97


> Tatsächlich war hier eine Lösung mit Cauchy-Hadamard
> gefragt. Die Antwort von statler liest sich so, als hätte
> man meinen Ansatz auch noch zum Abschluss bringen können
> ("nicht ganz"). Geht das?


Ja.

Wir wissen:

die Reihe $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-4)^{2k+1}x^{2k+1} [/mm] $ konvergiert für |x|<1/4

und die Reihe $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-2)^{2k}x^{2k} [/mm] $ konvergiert für |x<1/2.

Das liefert: die Reihe

(*) [mm] $\quad \summe_{k=0}^{\infty} ((-1)^k [/mm] - [mm] 3)^k x^k [/mm] $  

konvergiert auf jeden Fall für |x|<1/4, hat also mindestens den Konvergenzradius 1/4.

Setze wir in (*) x=1/4, so entsteht die Reihe

$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k$, [/mm]

wobei  [mm] a_k= \frac{((-1)^k-3)^k}{4^k} [/mm] ist.

Nun betrachten wir die Teilfolge [mm] a_{2k+1}: [/mm] es ist (nachrechnen !):

     [mm] a_{2k+1}=-1 [/mm]

für alle k. Diese Teilfolge konvergiert also nicht gegen 0. Damit ist [mm] (a_k) [/mm] auch keine Nullfolge und somit ist $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] divergent.

Die Reihe in (*) divergiert also für x=1/4.

Fazit: Die Reihe in (*) hat genau den Konvergenzradius 1/4.



Bezug
                                
Bezug
Konv-Intervall Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:56 Do 14.01.2021
Autor: statler

Danke, daß du das übernommen hast!
Gruß aus HH Dieter

Bezug
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