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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 16.03.2008 | | Autor: | Duffel |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises, der die x2 Achse berührt und durch die Punkte P(1/0) und Q(3/2) geht. |
Servus,
es ist die erste Aufgabe in meinem Buch und somit bestimmt ziemlich simpel, aber ich komm nicht drauf. Wie soll ich denn den M oder den r bestimmen? Hab ja nur 2 Punkte und eine Angabe, dass die x2 Achse berührt wird. Wäre nett, wenn mir das jemand kurz erklären könnte.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 So 16.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises, der die x2 Achse
> berührt und durch die Punkte P(1/0) und Q(3/2) geht.
> Servus,
>
> es ist die erste Aufgabe in meinem Buch und somit bestimmt
> ziemlich simpel, aber ich komm nicht drauf. Wie soll ich
> denn den M oder den r bestimmen? Hab ja nur 2 Punkte und
> eine Angabe, dass die x2 Achse berührt wird. Wäre nett,
> wenn mir das jemand kurz erklären könnte.
>
> Danke!
Hallo,
ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(c;d) erfüllt die Gleichung [mm] (x-c)^2+(y-d)^2=r^2.
[/mm]
Da er hier die y-Achse berührt, ist d=r oder -r (Berührung der Achse von links oder rechts, mache dir eine Skizze). P und Q haben nur positive Koordinaten, also sind auch die Mittelpunktskoordinaten positiv.
Die Kreisgleichung lautet damit
[mm] (x-c)^2+(y-r)^2=r^2.
[/mm]
Da die Punkte P und Q Punkte des Kreises sind, erfüllen ihre Koordinaten die Kreisgleichung.
Durch Einsetzen dieser Koordinaten erhältst du 2 Gleichungen mirt den beiden Unbekannten c und r. Das ist lösbar.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 16.03.2008 | | Autor: | Duffel |
Danke schonmal.
Aber irgendwie kann ich mir das noch nicht so ganz vorstellen. Ich hatte das nun soweit durchgerechnet.
Wieso ist der y-Wert von dem Mittelpunkt gleich r oder -r? Also, dass er positiv sein soll versteh ich ja, habs ja auch aufgezeichnet, aber wieso muss der y Wert des M gleich dem Radius sein??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 So 16.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke schonmal.
> Aber irgendwie kann ich mir das noch nicht so ganz
> vorstellen. Ich hatte das nun soweit durchgerechnet.
>
> Wieso ist der y-Wert von dem Mittelpunkt gleich r oder -r?
> Also, dass er positiv sein soll versteh ich ja, habs ja
> auch aufgezeichnet, aber wieso muss der y Wert des M gleich
> dem Radius sein??
Na, wenn der Kreis die Achse nicht schneidet, sondern nur berührt, hat der Mittelpunkt doch genau den Abstand r von der Achse.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 So 16.03.2008 | | Autor: | Duffel |
Bin ich blöd! Danke!
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:00 So 16.03.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo abakus,
der Kreis soll die [mm] x_2 [/mm] -Achse (y-Achse) berühren, somit
[mm] (x-r)^{2}+(y-d)^{2}=r^{2}
[/mm]
[mm] M(4-\wurzel{6}/\wurzel{6}-1) [/mm] und [mm] r=4-\wurzel{6}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 So 16.03.2008 | | Autor: | mausi89 |
zeichne dir koordinatensystem. p und q rein bei (0/3) ist ein mittelpunkt und der radius beträgt 3
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 So 16.03.2008 | | Autor: | abakus |
> zeichne dir koordinatensystem. p und q rein bei (0/3) ist
> ein mittelpunkt und der radius beträgt 3
Hallo Mausi, das war Unfug. Dein beschriebener Kreis hat nicht den Radius 3, sondern den Radius [mm] \wurzel{10}. [/mm] Außerdem sollte der Kreis die x2-Achse nur berühren, da kann dort nicht der Mittelpunkt draufliegen.
Bitte lass den Fragestellern die Chance, dass sie sich ohne vorschnelle Bekanntgabe von (richtigen oder falschen) Ergebnissen selbst mit der Aufgabe auseinandersetzen können.
Viele Grüße
Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 16.03.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
ich habe die beiden Antworten durchgerechnet und hab emit beiden meine Probleme (wahrscheinlich habe ich mich, wie so oft, verrechnet).
Nach der ersten Antwort komme ich auf den Mittelpunkt (1 | 2) und radius r = 2, damit liegen zwar P und Q auf dem Kreis, aber wie sieht das mit dem Berühren den [mm] x_2-Achse [/mm] aus?
Nach der zweiten Antwort komme ich auf den Mittelpunkt ( 3 | 0 ) und Radius r = 2, damit liegen ebenfalls P und Q auf den Kreis, aber er geht an der [mm] x_2-Achse [/mm] vorbei.
Mein persönlicher Tipp wäre Mittelpunkt (4- [mm] \wurzel{6} [/mm] | [mm] \wurzel{6}-1) [/mm]
und
Radius r = [mm] 4-\wurzel{6}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 So 16.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich habe die beiden Antworten durchgerechnet und hab emit
> beiden meine Probleme (wahrscheinlich habe ich mich, wie so
> oft, verrechnet).
>
> Nach der ersten Antwort komme ich auf den Mittelpunkt (1 |
> 2) und radius r = 2, damit liegen zwar P und Q auf dem
> Kreis, aber wie sieht das mit dem Berühren den [mm]x_2-Achse[/mm]
> aus?
>
> Nach der zweiten Antwort komme ich auf den Mittelpunkt ( 3
> | 0 ) und Radius r = 2, damit liegen ebenfalls P und Q auf
> den Kreis, aber er geht an der [mm]x_2-Achse[/mm] vorbei.
>
> Mein persönlicher Tipp wäre Mittelpunkt (4- [mm]\wurzel{6}[/mm] |
> [mm]\wurzel{6}-1)[/mm]
> und
> Radius r = [mm]4-\wurzel{6}[/mm]
Machs konkret:
Setze in die Kreisgleichung für x die 1 und für y die Null ein. (1. Gleichung des Systems)
Setze in die Kreisgleichung für x die 3 und für y die 2 ein. (2. Gleichung des Systems).
Nach welcher Variablen würdest du dann eine der Gleichungen umstellen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 16.03.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo Abakus,
du hast den Mittelpunkt in der Form (c | r ) angesetzt. Da der Kreis die [mm] x_2-Achse [/mm] berühren soll, musst du aber M in der Form (r | d ) ansetzen!
Durch einsetzen der Punkte (1 | 0 ) und (3 | 2) erhälst du die Gleichungen:
-2r +1 + [mm] d^2 [/mm] = 0 und: -6r -4d + [mm] d^2 [/mm] +13 = 0
ersetzt man [mm] d^2 [/mm] in der zweiten Gleichung durch 2r-1 so erhält man:
r + d = 3 Löst man diese nach r auf und setzt in die erste Gleichung ein, bekommt man die quadratische Gleichung: [mm] d^2 [/mm] = 5 -2d und daraus die Lösung d = [mm] \wurzel{6} [/mm] -1 ( denn d muss positiv sein).
Einsetzen in r = 3 - d liefert den Radius des Kreises.
(Siehe auch die Lösung von Steffi)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 So 16.03.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,auch wenn in der Aufgabe nur ein Kreis gefragt war, so existiert doch noch ein 2. Kreis, d negativ darf natürlich sein!
[mm] M(\wurzel{6}+4/-\wurzel{6}-1) [/mm] und [mm] r=\wurzel{6}+4
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 So 16.03.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo an alle Beteiligten,
nur zur Ergänzung:
ein weiterer Lösungsweg besteht in folgender Überlegung. Wenn der Kreis durch P und Q geht, liegt sein Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten von PQ.
Deren Gleichung ist problemlos aufstellbar. Wir suchen nun den Punkt der Mittelsenkrechten, der von P (oder Q) genau so weit entfernt ist wie von der y-Achse.
Gruß
Abakus
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