Kubische Spline Interpolation < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Führen sie eine kubische Splineinterpolation der Funktion [mm] f(x)=cos(\pi*0.5*x) [/mm] im Intervall [-1,1] mit den Sttzstellen [mm] x_0 [/mm] = -1, [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] mit eingespannten Randbedingungen durch, d.h f'(-1)=p'(-1) und f'(1)=p'(1).
Hinweis: Man kann viel Rechenarbeit sparen, wenn man sich durch eine Symmetriebetrachtung auf das Teilintervall [0,1] beschränkt. |
Hallo,
ich habe eher eine allgemeine Frage: Warum wird die Interpolation nicht besser, wenn ich mich auf ein Teilintervall beschränke?
Tue ich dies nämlich, so komme ich auf das LGS
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -\pi*0.5 },
[/mm]
was mich auf [mm] p_2(x)=1+(-3+0.5\pi)x^2+(2-0.5\pi)x^3 [/mm] bringt.
Wegen der Symmetrie ist [mm] p_1(x)=-p_2(x), [/mm] also
[mm] p(x)=\begin{cases} -(p_2(x), & \mbox{für } x \in [-1,0] \\ p_2(x), & \mbox{für } x \in (0,1] \end{cases}
[/mm]
Dies funktioniert jedoch nur, wenn ich die Randbedingung auf das kleinere Intervall anwende, also p'(0)=f'(0).
Dies führt doch eigentlich zu einer Verbesserung des Interpolation, da ich mehr Bedingungen auf einem kleineren Intervall habe, oder?
Wenn ich mich nicht auf das Teilintervall beschränke, und auf dem ganzen Intervall interpoliere, so erhalte ich die Bedingungen
[mm] p_1(-1)=0, p_1(0)=p_2(0)=1, p_2(1)=0 [/mm] für Wertgleichheit an den Stützstellen,
[mm] p_1'(-1)=0.5\pi, p_2'(1)=-0.5\pi [/mm] für die Randbedingungen,
[mm] p_1''(0)=p_2''(0) [/mm] für Stetigkeit der 2. Ableitung
[mm] p_1'(0)=p_2'(0) [/mm] für Stetigkeit der 1. Ableitung
Löse ich dieses 8x8 LGS, so komme ich genau auf die selben Werte.
(Nachgerechnet mit Computer)
Warum ist das so?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Fr 18.09.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Führen sie eine kubische Splineinterpolation der Funktion
> [mm]f(x)=cos(\pi*0.5*x)[/mm] im Intervall [-1,1] mit den Sttzstellen
> [mm]x_0[/mm] = -1, [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=1[/mm] mit eingespannten Randbedingungen
> durch, d.h f'(-1)=p'(-1) und f'(1)=p'(1).
> Hinweis: Man kann viel Rechenarbeit sparen, wenn man sich
> durch eine Symmetriebetrachtung auf das Teilintervall [0,1]
> beschränkt.
> Hallo,
>
> ich habe eher eine allgemeine Frage: Warum wird die
> Interpolation nicht besser, wenn ich mich auf ein
> Teilintervall beschränke?
>
> Tue ich dies nämlich, so komme ich auf das LGS
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -\pi*0.5 },[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das LGS schon etwas umgeformt.
> was mich auf
> [mm]p_2(x)=1+(-3+0.5\pi)x^2+(2-0.5\pi)x^3[/mm] bringt.
> Wegen der Symmetrie ist [mm]p_1(x)=-p_2(x),[/mm] also
> [mm]p(x)=\begin{cases} -(p_2(x), & \mbox{für } x \in [-1,0] \\ p_2(x), & \mbox{für } x \in (0,1] \end{cases}[/mm]
Nicht so ganz, sondern:
[mm]p(x)=\begin{cases} p_2(-x), & \mbox{für } x \in [-1,0] \\ p_2(x), & \mbox{für } x \in (0,1] \end{cases}[/mm]
>
> Dies funktioniert jedoch nur, wenn ich die Randbedingung
> auf das kleinere Intervall anwende, also p'(0)=f'(0).
> Dies führt doch eigentlich zu einer Verbesserung des
> Interpolation, da ich mehr Bedingungen auf einem kleineren
> Intervall habe, oder?
Nein, man hat noch gleich viele Bedingungen, nutzt sie nur anders.
>
> Wenn ich mich nicht auf das Teilintervall beschränke, und
> auf dem ganzen Intervall interpoliere, so erhalte ich die
> Bedingungen
> [mm]p_1(-1)=0, p_1(0)=p_2(0)=1, p_2(1)=0[/mm] für Wertgleichheit an
> den Stützstellen,
> [mm]p_1'(-1)=0.5\pi, p_2'(1)=-0.5\pi[/mm] für die
> Randbedingungen,
> [mm]p_1''(0)=p_2''(0)[/mm] für Stetigkeit der 2. Ableitung
> [mm]p_1'(0)=p_2'(0)[/mm] für Stetigkeit der 1. Ableitung
>
> Löse ich dieses 8x8 LGS, so komme ich genau auf die
> selben Werte.
> (Nachgerechnet mit Computer)
> Warum ist das so?
>
>
> Vielen Dank!
>
Gruß
meili
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