Kurvenbestimmung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Fr 02.11.2012 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | Bestimme die Funktionsgleichung vom Typ:
f(x)= [mm] \bruch{\pi}{A} x^{B} [/mm] + [mm] \bruch{C * \pi}{D} x^{G} [/mm] |
Gesucht sind die Parameter A...G der Funktion.
In der Aufgabe soll die Funktion einen YinYang verlauf haben. Also zwei sinusförmige Halbwellen.
Gegeben ist der Flächeninhalt der beiden Halbwellen zur x-Ache = 1,57 [mm] m^{2} [/mm] und die beiden äußeren Nulldurchgänge sind 2m auseinander.
Leider fehlt mir ein bisschen der Ansatz. Ich muss vermutlich das Integral der Funktion bilden. Kann mir jemand einen denkanstoß geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Fr 02.11.2012 | | Autor: | anna_h |
es soll natürlich Kurve heißen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Fr 02.11.2012 | | Autor: | anna_h |
OK.
Ich habe mir überlegt die Funktion hat ja nicht nur die beiden Nulldurchgänge am Rand. sondern noch einen in der Mitte.
Also bilde ich:
[mm] \integral_{0}^{2}{f(x) dx} [/mm] für den halben Flächeninhalt. das geht doch, oder?
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Hallo, tragen wir mal zusammnen, was bekannt ist:
(1) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\pi}{A} x^{B}+\bruch{C \cdot{} \pi}{D} x^{G}dx}=0,785
[/mm]
(2) f(0)=0
(3) f(1)=0
(4) f(2)=0
(5) f'(0,5)=f'(1,5)=0
Steffi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:57 Fr 02.11.2012 | | Autor: | anna_h |
Bei (1) müsste es glaube ich [mm] \integral_{0}^{2}heissen, [/mm] oder?
Auf (5) wäre ich jetzt nicht gekommen. Scheint aber logisch, da die "Wellenbewegung" gleichmäßig sein soll.
Ausserdem haben wir
(6) B [mm] \not= [/mm] G
(7) B [mm] \wedge [/mm] G [mm] \le [/mm] 3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Fr 02.11.2012 | | Autor: | anna_h |
Bei (1) war natürlich deins richtig.
Erst denken dann posten :-( *sorry*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 02.11.2012 | | Autor: | anna_h |
Leider ist mir der nächste Schritt unklar.
Ich muss von der Funktion die Stammfunktion bilden, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Fr 02.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Leider ist mir der nächste Schritt unklar.
> Ich muss von der Funktion die Stammfunktion bilden, oder?
Wenn Du integriern willst, ja.
Du hast
(1) $ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\pi}{A} x^{B}+\bruch{C \cdot{} \pi}{D} x^{G}dx}=0,785 [/mm] $
(2) f(0)=0
(3) f(1)=0
(4) f(2)=0
(5) f'(0,5)=f'(1,5)=0
Setze erstmal (2)-(5) um
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 So 04.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Anna,
lautet die Aufgabe wirklich so?
> Bestimme die Funktionsgleichung vom Typ:
>
> f(x)= [mm]\bruch{\pi}{A} x^{B}[/mm] + [mm]\bruch{C * \pi}{D} x^{G}[/mm]
>
> Gesucht sind die Parameter A...G der Funktion.
Die Parameter C und D werden niemals eindeutig zu bestimmen sein, egal wieviele Angaben zur Funktion auch noch vorliegen werden.
> In der Aufgabe soll die Funktion einen YinYang verlauf
> haben. Also zwei sinusförmige Halbwellen.
> Gegeben ist der Flächeninhalt der beiden Halbwellen zur
> x-Ache = 1,57 [mm]m^{2}[/mm] und die beiden äußeren
> Nulldurchgänge sind 2m auseinander.
1) Ist Dir schon aufgefallen, dass [mm] 1,57\approx\bruch{\pi}{2} [/mm] ist?
2) Wenn es wirklich nur zwei Potenzen von x geben soll, muss die Funktion die mittlere Nullstelle bei x=0 und die beiden äußeren bei x=-1 und x=+1 haben. Sie sieht dann allgemein so aus:
[mm] f(x)=s*(x^{2m}-1)*x^{2k-1} [/mm] mit [mm] m,k\in\IN [/mm] und [mm] s\in\IR\setminus\{0\}
[/mm]
> Leider fehlt mir ein bisschen der Ansatz. Ich muss
> vermutlich das Integral der Funktion bilden. Kann mir
> jemand einen denkanstoß geben?
Es gibt unendlich viele Kombinationen von Parametern, mit denen die Funktion die gegebenen Bedingungen erfüllt.
Wie also heißt die vollständige Aufgabe?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 04.11.2012 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | Meine Frau hat schon verrückte Ideen.
Jetzt wünscht sie sich ein neues Portalfenster (2m Durchmesser) für unseren Hobbyraum.
Aber wie Frauen nun mal sind, muß es was besonderes sein, also nicht nur rund,
sondern am besten noch aus zwei Farben und in einem Stil wie Yin und Yang.
Nach dem Zeichnen stelle ich fest, dass der Kurvenverlauf der erforderlichen Bleifassung,
einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ähnelt.
Ich zeigte ihr meine schöne Zeichnung; sie nickte und sagte nur um mich zu ärgern,-
dass die Gesamtfläche der zwei halbmondförmig aussehenden Flächenstücke, die durch die X-Achse eingeschlossen werden, nur 1/8 der Kreisfläche ausmachen sollen.
Da drehte ich wahrlich am Rad oder besser am Kreis...
aber ihre 1/8 haben mir keine Ruhe gelassen...
Letztendlich brauche ich aber die Funktionsgleichung für die Bleifassung; |
Das ist die original Aufgabe. Diese ist nicht bestandteil einer Schulaufgabe oder ähnliches. Sondern von einem "Laien" gestellt.
Könnte sein, das es mehrere Kombinationen von Lösungen gibt ?!?!?!
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Hallo Anna,
das ist eine schöne Verpackung. Gratulation an den "Laien" - vielleicht ist die Aufgabe ja sogar wahr? 
Also - der Grad des Polynoms kann wie gesagt auch höher sein, aber je höher der Grad ist, um so weniger "rund" sind die hier "Yin-Yang-Bögen". Lass Dir z.B. mal [mm] f(x)=x^3(x^6-1) [/mm] plotten, da ist es schon sehr deutlich.
Die Gesamtfläche des Fensters ist ja [mm] \pi*r^2=\pi [/mm] Quadratmeter. Da der einzig in Frage kommende Funktionstyp (wenn Du, wie anfangs angegeben, nur zwei Potenzen von x haben willst) eine ungerade Funktion darstellt, haben die beiden Bögen den gleichen Flächeninhalt.
Ich würde also vorschlagen, die Funktion [mm] f(x)=ax(x^2-1) [/mm] zu nehmen und a so zu bestimmen, dass
[mm] \integral_{-1}^{0}{f(x)\ dx}=\bruch{1}{16}\pi
[/mm]
ist. So jedenfalls verstehe ich die Angabe in der Aufgabe. Sonst hätte da wohl "jeweils" [mm] \tfrac{1}{8} [/mm] stehen müssen (was übrigens ein hübscheres Ergebnis liefert, aber egal...).
So, ab hier ist es doch nicht mehr schwierig, oder?
Aber natürlich gibt es nicht nur mehrere, sondern sogar unendlich viele Lösungen. Für ein Fenster würde ich aber die obige bevorzugen, vor allem, wenn die besagte Frau ein gewisses Gespür für Ästhetik hat. 
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Di 06.11.2012 | | Autor: | anna_h |
Danke für deine Antwort.
Leider ist soll die gesuchte Funktion von dem oben genannten Typ f(x) sein und nicht f(x)= ax(x²-1) ich brauche doch die beschriebenen Parameter A...G
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Hallo Anna,
> Danke für deine Antwort.
> Leider ist soll die gesuchte Funktion von dem oben
> genannten Typ f(x) sein und nicht f(x)= ax(x²-1) ich
> brauche doch die beschriebenen Parameter A...G
Gute Güte. Dann multipliziers halt aus.
[mm] f(x)=ax(x^2-1)=a*x^3-a*x
[/mm]
So, das ist doch der Typ, den Du suchst. Es geht nur noch darum, die Parameter zu bestimmen. Dein Job.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Fr 04.01.2013 | | Autor: | anna_h |
Leider komme ich bei der Aufgabe immer noch nicht weiter.
Ich habe die Funktion gewählt:
f(x) = [mm] ax^{3}-bx
[/mm]
F(x) = [mm] \bruch{a * x^{4}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{b * x^{2}}{2} [/mm]
[mm] \integral_{\alpha}^{\beta}{f(x) dx} [/mm] = [mm] F(\beta) [/mm] - [mm] F(\alpha)
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 0 - ( [mm] \bruch{a}{4} [/mm] - [mm] \bruch{b}{2}) [/mm] = 0,785
Aber ab hier gibt es doch unentlich viele Zahlenkombinationen die das erfüllen, oder?
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Hallo Anna,
ja für diese Gleichung gibt es wohl unendlich viele Lösungen, aber das macht ja nix!
Solche Steckbriefaufgaben löst man ja nicht mit nur einer Gleichung.
Schau dir die gesammelten Informationen von Steffi21 an. Damit kannst du mehrere Gleichungen, angefangen vom allgemeinen Typ
f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx +d
aufstellen, da es im Text ja heißt:
Nach dem Zeichnen stelle ich fest, dass der Kurvenverlauf der erforderlichen Bleifassung,
einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ähnelt.
aus (2) und (5) kannst du ja schonmal schliessen, dass c [mm] \wedge [/mm] d = 0 sind, somit bleibt noch
f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] .
Somit hast du nur noch die Variablen a und b zu bestimmen.
Aus (3) und (4) solltest du Gleichungen ermitteln können und aus diesen bestimmst du durch Eliminationsverfahren deine Parameter.
Wenn du dann mit deiner aufgestellten Gleichung aus (1) gleichsetzt
f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{A}x^B [/mm] + [mm] \bruch{C\cdot\pi}{D}x^G
[/mm]
sollte dir was auffallen.
Hoffe der Schubser hilft.
LG -Endo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 04.01.2013 | | Autor: | anna_h |
Sorry ich sehe es nicht.
f(x) = [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
warum d = 0 sein muss ist klar.
aber warum wegen f´(0,5) = f´(1,5) = 0 -> c = 0 sein soll, sehe ich so jetzt nicht. Ich könnte doch eine Kombination a,b,c finden die sich bei der Ableitung aufheben, oder nicht?
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Hallo,
> Sorry ich sehe es nicht.
>
> f(x) = [mm]ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
>
> warum d = 0 sein muss ist klar.
> aber warum wegen f´(0,5) = f´(1,5) = 0 -> c = 0 sein
> soll, sehe ich so jetzt nicht.
Behauptet ja auch keiner!
Du hast doch zusätzlich noch die Gleichung $f(1)=0$.
> Ich könnte doch eine
> Kombination a,b,c finden die sich bei der Ableitung
> aufheben, oder nicht?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:31 Fr 04.01.2013 | | Autor: | anna_h |
wenn f(x) = [mm] ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] +cx
dann ist f´(x) = [mm] 3ax^{2} [/mm] + 2bx + c
f´(0,5) = [mm] \bruch{3*a}{4} [/mm] + b + c = 0
Lösung:
für a = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
b = 4
c = -5
oder?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:35 Fr 04.01.2013 | | Autor: | anna_h |
Diese "Behauptung" (nicht negativ gemeint) lese ich hieraus:
aus (2) und (5) kannst du ja schonmal schliessen, dass c $ [mm] \wedge [/mm] $ d = 0 sind, somit bleibt noch
f(x) = $ [mm] ax^3 [/mm] $ + $ [mm] bx^2 [/mm] $ .
Gibt es einen Grund warum der Term cx zwingend Null sein muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 06.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 06.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Mo 07.01.2013 | | Autor: | anna_h |
vllt kann mir Anfang der Woche nochmal jemand eine Hilfestellung geben. Ich stehe kurz vor einem Nervenzusammenbruch wegen der Aufgabe.
Ich danke euch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Fr 08.03.2013 | | Autor: | freewillis |
Hallo Anna,
falls die Aufgabe noch nicht gelöst ist, hier zwei Tipps: hilfreich ist das Ganze mal in einer Tabellenkalkulation anzeigen zu lassen. Hilft fürs Verständnis.
Außerdem ist die Annahme aus einem der obigen Posts falsch:
f'(-1) ist nicht gleich 0,5! Auch f'(1) ist nicht gleich -0,5! Letzteres muss schon aus Symmetriegründen so sein. Es ist eher f'(-1,15)=0,6 und f'(1,15)=-0,6!
Außerdem bin ich auch der Ansicht, dass noch ein Hinweis für die Aufgabe fehlt, um aus den unendlich vielen Möglichkeiten genau die richtige Lösung herauszupicken.
Im Übrigen ist die Aufgabe auch ohne die Angabe der Fläche mit Hilfe einer Tabellenkalkulation lösbar.
Darüber hinaus erinnert mich die Aufgabe sehr an die historische Aufgabe zum "Horchheimer Fenster".
Viele Grüße
freewillis
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