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Kurvendiskussion: Untersuchen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Sa 26.04.2014
Autor: muaz

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f durch
f(x)=e*x+e^-x ; e [mm] \in \IR. [/mm] Ihr Schaubild sei K.
a) Untersuche K auf Hoch-Tief-Wendepunkte sowie auf Asymtote.


f(x)=e*x+e^-x
f´(x)=e+(-e^-x-1)=e-x*e^-x-1

ist das soweit richtig abgeleitet?

        
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Kurvendiskussion: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Sa 26.04.2014
Autor: Loddar

Hallo muaz!


> f(x)=e*x+e^-x
> f´(x)=e+(-e^-x-1)=e-x*e^-x-1

Deine Ableitung stimmt nicht. du durchmichst bei dem 2. Term die MBPotenzregel (wo man die Potenz um 1 verringert) mit der Regel für die e-Funktion.

Gemäß MBKettenregel gilt:  [mm] $\left( \ e^{-x} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^{-x}*(-1) [/mm] \ = \ [mm] -e^{-x}$ [/mm]


Und den Term nach dem letzten Geichheitszeichen bei Dir verstehe ich gar nicht. wo kommt da plötzlich noch der Faktor $x_$ her?


Gruß
Loddar

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Sa 26.04.2014
Autor: muaz

Dann wäre es:
[mm] f'(x)=e-e^{-x} [/mm]

Bezug
                        
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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Sa 26.04.2014
Autor: leduart

Hallo
wieder falsch, oder Tißfehler? - was ist [mm] e^x [/mm] abgeleitet? was ist [mm] e^{-x} [/mm] abgeleitet.
((wenn du um den Exponenten geschweifte Klammern machst wird er richtig angezeigt)
Gruss leduart

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Kurvendiskussion: nun richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Sa 26.04.2014
Autor: Loddar

Hallo muaz!


> Dann wäre es:
> [mm]f'(x)=e-e^{-x}[/mm]

[ok]


Gruß
Loddar

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Kurvendiskussion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 16:59 Sa 26.04.2014
Autor: leduart

Hallo. die Ableitung und damit thumbs up ist falsch.
Gruss leduart

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Kurvendiskussion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 17:02 Sa 26.04.2014
Autor: leduart

sorry ich hatte [mm] e^x [/mm] statt e*x gelesen
die Ableitung ist richtig!
Gruss leduart

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Sa 26.04.2014
Autor: muaz

Dann gehe ich wie bei einer normalen KD vor.(?)

Nullstellen:

[mm] f(x)=e*x+e^{-x} [/mm]
[mm] e*x+e^{-x}=0 [/mm]   --> [mm] e^{-x}=0 [/mm] , e=0, x=0

Kann das stimmen? Ich habe gelernt das die e Variable direkt als Nullstelle genommen wird.


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Kurvendiskussion: nur eine Nullstelle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Sa 26.04.2014
Autor: Loddar

Hallo muaz!

> Dann gehe ich wie bei einer normalen KD vor.(?)

[ok]


> Nullstellen:

>

> [mm]f(x)=e*x+e^{-x}[/mm]
> [mm]e*x+e^{-x}=0[/mm] --> [mm]e^{-x}=0[/mm] , e=0, x=0

Wie kommst Du auf Deine vermeintlichen Ergebnisse? Die stimmen hinten und vorne nicht.

Die Gleichung [mm] $e*x+e^{-x} [/mm] \ = \ 0$ lässt sich analytisch nicht nach $x \ = \ ...$ umstellen.
Hier ist etwas Nachdenken und Ausprobieren angesagt.

Da [mm] $e^{-x}$ [/mm] immer positiv ist, muss also $e*x$ negativ sein.

Dann sollte man ziemlich bald auf die einzige Lösung $x \ = \ -1$ stoßen.


Gruß
Loddar

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Sa 26.04.2014
Autor: muaz


Ich dachte, alle e Stellen sind automatisch als e=0 zu betrachten, also entnahm ich daraus zwei Nullstellen. Und dann blieb mir ja nur noch x und die galt dann auch als Nullstelle.

>  Hier ist etwas Nachdenken und Ausprobieren angesagt.
>  
> Da [mm]e^{-x}[/mm] immer positiv ist, muss also [mm]e*x[/mm] negativ sein.
>  
> Dann sollte man ziemlich bald auf die einzige Lösung [mm]x \ = \ -1[/mm]
> stoßen.

Woher nimmst du diese Folgerungen? Kann ich dass irgenwie auch nachvollziehbar veranschaulicht bekommen?



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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Sa 26.04.2014
Autor: Steffi21

Hallo, e=0 was ist denn das für ein Schwachsinn, hast du schon mal etwas von der Eulerschen Zahl e= 2,7182818284....... gehört oder gelesen?

[mm] e*x+e^{-x}=0 [/mm]

hat nur die Lösung x=-1

[mm] e*(-1)+e^{1}=0 [/mm]

-e+e=0

das durch "Hinschauen" zu lösen, benötigt sicherlich einige mathematische Erfahrung, die man durch häufiges Üben bekommt

Steffi

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Sa 26.04.2014
Autor: muaz

also dann gehts weiter;
Extrema:
1.Ableitung=0
[mm] f´(x)=e-e^{-x}=0 [/mm]
-->  [mm] e-e^{-x}=0 [/mm]

Ich weiss nicht mehr weiter :(

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Sa 26.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo muaz,


>  [mm]f´(x)=e-e^{-x}=0[/mm]

Im Quellcode sehe ich, dass du es richtig meinst. Du willst
natürlich die Nullstellen der Ableitung berechnen.

      [mm] f'(x)=e-e^{-x}\overset{!}{=}0. [/mm]

>  -->  [mm]e-e^{-x}=0[/mm]
>  
> Ich weiss nicht mehr weiter :(

Du hast noch nichts ausprobiert. Bedenke, dass $e$ die
Eulersche Zahl darstellt. Es gilt:

      [mm] f'(x)=e-e^{-x}\overset{!}{=}0 [/mm]

      [mm] \Rightarrow e=e^{-x}. [/mm]

Jetzt hast du zwei Möglichkeiten.

1) Wir betrachten

      [mm] e^1=e^{-x}. [/mm]

Nun ist sofort klar, dass die Gleichung äquivalent ist,
falls die Exponenten äquivalent sind. Aus diesem Grund
betrachten wir nur noch die Exponenten.

2) Wir benutzen die Eigenschaften des Logarithmus. Es gilt:

      [mm] e=e^{-x} [/mm]

      [mm] \Rightarrow \ln(e)=\ln(e^{-x}) [/mm]

      [mm] $\Rightarrow [/mm] 1=-x$.

In beiden Fällen betrachten wir nun

      [mm] 1\overset{!}=-x. [/mm]

Berechne oder überlege dir für welches

      [mm] x\in\IR [/mm]

diese Gleichung gilt und du bist fertig.


Gruß
DieAcht

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:04 Mo 28.04.2014
Autor: muaz

Für welches [mm] x\in\IR [/mm] gilt?

Was meinst du damit?
Ich muss doch für -x=1 einsetzen in die Ursprungsgleichung um auch "Y" Stelle herauszufinden?

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Mo 28.04.2014
Autor: angela.h.b.


> Für welches [mm]x\in\IR[/mm] gilt?

Hallo,

Du willst ja f'(x)=0 lösen,

also die reelle Zahl x herausfinden, für die die Gleichung gilt.
Statt "die reelle Zahl x" schreibt man [mm] "x\in \IR". [/mm]
[mm] \in [/mm] bedeutet: Element von
[mm] \IR [/mm] bedeutet: Menge der reellen Zahlen.

Du hattest herausgefunden, daß die Zahl x, welche die Gleichung f'(x)=0 löst,
diejenige Zahlen x ist,  für welche gilt
1=-x.

So, für welche Zahl x gilt denn das? Für x=5? Nein, denn -5 ist ja nicht =1.
Also?

LG Angela

>  
> Was meinst du damit?
>  Ich muss doch für -x=1 einsetzen in die
> Ursprungsgleichung um auch "Y" Stelle herauszufinden?


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Mo 28.04.2014
Autor: muaz

Also muss ich eine Zahl in "-x" einsetzen, dann kann ich doch auch ln(e) nehmen. Dies entspricht 1?

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mo 28.04.2014
Autor: DieAcht


> Also muss ich eine Zahl in "-x" einsetzen, dann kann ich
> doch auch ln(e) nehmen. Dies entspricht 1?

Nein. [notok]

Es gilt:

       [mm] 1\overset{!}=-x [/mm]

       [mm] $\Rightarrow [/mm] x=-1$.

Habe ich mich nicht verständlich ausgedrückt in meiner
Antwort? Wenn du etwas nicht verstanden hast, dann sag
uns doch mal was du genau nicht verstanden hast.

Du kannst nun auch gerne mal die Probe machen. Als Ab-
leitung hatten wir bereits folgendes berechnet:

      [mm] f'(x)=e-e^{-x}. [/mm]

Die Nullstelle ist nach obiger Argumentation gegeben mit

      $x=-1$.

Probe:

      [mm] f'(-1)=e-e^{-(-1)}=e-e=0. [/mm]

Alles klar?

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Mo 28.04.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

lösen wolltest Du am Ende die Gleichung  1=-x.

> Also muss ich eine Zahl in "-x" einsetzen,

Ja, für x mußt Du eine Zahl so einsetzen, daß die Gleichung stimmt.

x=5 tut's nicht, denn [mm] 1\not=-5 [/mm]
x=-7 tut's nicht, denn [mm] 1\not=-(-7) [/mm]

> dann kann ich
> doch auch ln(e) nehmen. Dies entspricht 1?

Schauen wir mal nach, ob es x=ln(e) tut:
es ist ln(e)=1,

also ist -ln(e)=-1, und wir haben [mm] 1\not=-1(=-ln(e)). [/mm]

Also ist x=1 =(ln(e)) nicht die richtige Lösung.

Die richtige Lösung ist x=-1, denn 1=-(-1).

Wenn Du mal in die erste Ableitung einsetzt, merkst Du, daß es mit x=-1 wunderbar funktioniert:

[mm] f'(-1)=e-e^{-(-1)}=e-e^1=e-e=0. [/mm]

LG Angela


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Mo 28.04.2014
Autor: muaz

Jetzt habe ich euch beide verstanden. Vielen Dank!

Aber...:
Jetzt habe ich damit ein Problem, nun ist meine Nullstelle bei -1 und bei dem Extremwert x=-1 habe ich was? (Hoch-Tief Punkt?)
Wenn ich die Lösung in die Ursprungsgleichung einsetze erhalte ich doch die selbe Lösung.


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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Mo 28.04.2014
Autor: Steffi21

Hallo, du hast die Funktion [mm] f(x)=e*x+e^{-x} [/mm] die an der Stelle x=-1 eine Nullstelle besitzt, gleichzeitig hat die 1. Ableitung deiner Fuktion [mm] f'(x)=e-e^{-x} [/mm] auch eine Nullstelle an der Stelle x=-1, was ja besagt, es liegt eine Extremstelle vor, über die 2. Ableitung f''(-1) kannst du entscheiden, ob Minimum oder Maximum, Steffi

Bezug
                                                                                                        
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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 Mo 28.04.2014
Autor: muaz

Hallo,

danke erstmal. Also ich habe eine Kurvendiskussion, bei der meine Nullstelle dort ist, wo auch mein Extrema (Max oder Min) ist? Denn ein Extrema ist doch ein Extrema, zumal ich noch nicht wusste, dass ein Extrema eine Nullstelle hat. Habe ich etwas missverstanden?

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 Mo 28.04.2014
Autor: DieAcht


> Hallo,
>  
> danke erstmal. Also ich habe eine Kurvendiskussion, bei der
> meine Nullstelle dort ist, wo auch mein Extrema (Max oder
> Min) ist? Denn ein Extrema ist doch ein Extrema, zumal ich
> noch nicht wusste, dass ein Extrema eine Nullstelle hat.
> Habe ich etwas missverstanden?

Ein Extremum muss nicht unbedingt auch eine Nullstelle sein.
Betrachte zum Beispiel folgende Funktion:

      [mm] g(x):=x^2+1. [/mm]

Die Funktion $g$ hat zum Beispiel keine Nullstelle!

Fakt ist: Du hast bislang nur an das notwendige Kriterium
festgehalten. Jetzt musst du hinreichende Kriterien nutzen.

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Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:53 Di 29.04.2014
Autor: muaz

Ich habe das ganze nochmal neu durchgeschaut , alle eure Beiträge angesehen und mit meinem Wissensstand verglichen, um zu verstehen wo der Hacken hängt...

1)Die Nullstelle berechne ich persönlich aus und benutze dieses Wort nicht mehr. Im Themenbaum meiner KD wurde es aber auch nach der ersten Ableitung benutzt, was mich durcheinander brachte.
2)Bei der Berechnung der Extrema ging ich bisher so vor, dass ich die x- Werte ausgerechnet habe und anschliessend die dazugehörige y-Werte. Nun kam es aber so das es hier hieß; 1=-x.  (Bisher hatte ich z.B. x=3 und nahm die 3 als mein x-Wert für die Extrema E(3/y).
Jedenfalls habe ich nun1=-x und muss noch (erraten) dass ich -1 als meinen x Wert habe (x=-1), sodass ich (nun) diesen Wert in die Ursprungsgleichung einsetzen kann um auch den y-Wert zu erhalten. Also das war der Punkt , der mich die ganze Zeit aufgehalten hat, weil ich kein x=.. sondern -x=1 hatte und jetzt die Gleichung 1=-(-1) und somit x=-1 habe, die ich eigentlich benötige.

Weiter gehts:

[mm] f(-1)=e\*(-1)+e=0 \Rightarrow [/mm]  Extrema: E(-1/0)

Ob nun mein Extrema HP oder TP ist:

2.Ableitung: (ich habe ² für die 2.Ableitung als Merkmal benutzt ,da es anders nicht sichtbar wird)

[mm] f(2.Abl.)(x)=e+e^{-x} [/mm]
[mm] f(2.Abl.)(-1)=e+e^{-(-1)}\Rightarrow\approx5,44 [/mm] >0  [mm] \Rightarrow [/mm] TP



Bezug
                                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 Di 29.04.2014
Autor: DieAcht


> Ich habe das ganze nochmal neu durchgeschaut , alle eure
> Beiträge angesehen und mit meinem Wissensstand verglichen,
> um zu verstehen wo der Hacken hängt...

Das ist gut.

> 1)Die Nullstelle berechne ich persönlich aus und benutze
> dieses Wort nicht mehr. Im Themenbaum meiner KD wurde es
> aber auch nach der ersten Ableitung benutzt, was mich
> durcheinander brachte.

Lies mal ruhig den Wikipedia-Artikel dazu []hier durch.

> 2)Bei der Berechnung der Extrema ging ich bisher so vor,
> dass ich die x- Werte ausgerechnet habe und anschliessend
> die dazugehörige y-Werte. Nun kam es aber so das es hier
> hieß; 1=-x.  (Bisher hatte ich z.B. x=3 und nahm die 3 als
> mein x-Wert für die Extrema E(3/y).
> Jedenfalls habe ich nun1=-x und muss noch (erraten) dass
> ich -1 als meinen x Wert habe (x=-1), sodass ich (nun)
> diesen Wert in die Ursprungsgleichung einsetzen kann um
> auch den y-Wert zu erhalten. Also das war der Punkt , der
> mich die ganze Zeit aufgehalten hat, weil ich kein x=..
> sondern -x=1 hatte und jetzt die Gleichung 1=-(-1) und
> somit x=-1 habe, die ich eigentlich benötige.

Du musst in diesem Fall die Nullstellen der Ableitung nicht
erraten. Das habe ich dir doch bereits gezeigt. Es gilt:

      [mm] f'(x)\overset{!}{=}0 [/mm]

      [mm] $\Rightarrow -x\overset{!}{=}1$. [/mm]

Nun multiplizieren wir beide Seiten mit

      $(-1)$,

dann folgt:

      $-x*(-1)=1*(-1)$

      [mm] $\Rightarrow [/mm] x=-1$.

"Erraten" musstest du nur die Nullstellen der Funktion!

> Weiter gehts:
>  
> [mm]f(-1)=e\*(-1)+e=0 \Rightarrow[/mm]  Extrema: E(-1/0)
>  
> Ob nun mein Extrema HP oder TP ist:

Die Art des Extremum willst du erst bestimmen. Es muss nicht
einmal unbedingt ein Hoch- oder Tiefpunkt sein!

Kurz zur Terminologie, da mir das nun öfters aufgefallen ist:
Es ist ein Extremwert oder ein Extremum. Extrema ist Plural.

> 2.Ableitung: (ich habe ² für die 2.Ableitung als Merkmal
> benutzt ,da es anders nicht sichtbar wird)

Benutze für die Ableitung nicht

      ´,

sondern

      '.

> [mm]f(2.Abl.)(x)=e+e^{-x}[/mm]

Nein.

Wir wollen die Ableitung bestimmen von

      [mm] f'(x)=e-e^{-x}. [/mm]

Du hast erkannt, dass die Funktion aus zwei Summen besteht,
sodass wir jede Summe einzeln ableiten. Daraus folgt:

      [mm] f''(x)=(e)'-(e^{-x})'. [/mm]

Die Zahl $e$ ist die Eulersche Zahl. Diese Zahl kannst du
dir einfach als eine reelle Zahl vorstellen beim Ableiten,
sodass diese in diesem Fall einfach wegfällt. Da könnte ge-
nauso [mm] \pi [/mm] stehen oder die Zahl $8$.

Die zweite Summe hast du bereits richtig mit der Ketten-
regel abgeleitet, sodass insgesamt folgt:

      [mm] f''(x)=(e)'-(e^{-x})'=0-(-1)*e^{-x}=e^{-x}. [/mm]

>  [mm]f(2.Abl.)(-1)=e+e^{-(-1)}\Rightarrow\approx5,44[/mm] >0

Folgerichtig, aber bitte unterlasse solche Approximationen,
denn diese brauchst du in der Regel nicht. Es ist zwar nur
folgerichtig, aber mit

      [mm] $e^x>0$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm]

folgt

      [mm] e+e^{-(-1)}=e+e=2e>0. [/mm]

Anyways.. Richtig:

      [mm] f''(x)=e^{-x} [/mm]

      [mm] \Rightarrow f''(-1)=e^{-(-1)}=e^1=e>0. [/mm]

> [mm]\Rightarrow[/mm] TP

Ja, damit haben wir das hinreichend gezeigt.

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:41 Di 29.04.2014
Autor: muaz


> Die Zahl [mm]e[/mm] ist die Eulersche Zahl. Diese Zahl kannst du
>  dir einfach als eine reelle Zahl vorstellen beim
> Ableiten,
>  sodass diese in diesem Fall einfach wegfällt. Da könnte
> ge-
>  nauso [mm]\pi[/mm] stehen oder die Zahl [mm]8[/mm].

Danke! Ich habe gedacht e kann zwar abgeleitet werden, bleibt aber e! Das war wohl falsch verstanden!

> Die zweite Summe hast du bereits richtig mit der Ketten-
>  regel abgeleitet, sodass insgesamt folgt:
>  
> [mm]f''(x)=(e)'-(e^{-x})'=0-(-1)*e^{-x}=e^{-x}.[/mm]

Aber dann ändert sich auch das Ergebnis [mm] \Rightarrow [/mm] 2,72

> >  [mm]f(2.Abl.)(-1)=e+e^{-(-1)}\Rightarrow\approx5,44[/mm] >0

>  
> Folgerichtig, aber bitte unterlasse solche
> Approximationen,
>  denn diese brauchst du in der Regel nicht. Es ist zwar
> nur
>  folgerichtig, aber mit
>  
> [mm]e^x>0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
>  
> folgt
>  
> [mm]e+e^{-(-1)}=e+e=2e>0.[/mm]
>  
> Anyways.. Richtig:
>  
> [mm]f''(x)=e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow f''(-1)=e^{-(-1)}=e^1=e>0.[/mm]
>  
> > [mm]\Rightarrow[/mm] TP
>  
> Ja, damit haben wir das hinreichend gezeigt.

Wendepunkt:

f´.´(x)=0  
entspricht:
e^-x=0  | ln
ln(e^-x)=0
-x=0 |*(-1)
x=-1

einsetzen:
f(-1)=e*(-1)+e^-1=0

Wendepunkt:  W(-1/0)




Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Di 29.04.2014
Autor: fred97


> > Die Zahl [mm]e[/mm] ist die Eulersche Zahl. Diese Zahl kannst du
>  >  dir einfach als eine reelle Zahl vorstellen beim
> > Ableiten,
>  >  sodass diese in diesem Fall einfach wegfällt. Da
> könnte
> > ge-
>  >  nauso [mm]\pi[/mm] stehen oder die Zahl [mm]8[/mm].
>  
> Danke! Ich habe gedacht e kann zwar abgeleitet werden,
> bleibt aber e! Das war wohl falsch verstanden!
>  
> > Die zweite Summe hast du bereits richtig mit der Ketten-
>  >  regel abgeleitet, sodass insgesamt folgt:
>  >  
> > [mm]f''(x)=(e)'-(e^{-x})'=0-(-1)*e^{-x}=e^{-x}.[/mm]
>  
> Aber dann ändert sich auch das Ergebnis [mm]\Rightarrow[/mm] 2,72
>  
> > >  [mm]f(2.Abl.)(-1)=e+e^{-(-1)}\Rightarrow\approx5,44[/mm] >0

>  >  
> > Folgerichtig, aber bitte unterlasse solche
> > Approximationen,
>  >  denn diese brauchst du in der Regel nicht. Es ist zwar
> > nur
>  >  folgerichtig, aber mit
>  >  
> > [mm]e^x>0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
>  >  
> > folgt
>  >  
> > [mm]e+e^{-(-1)}=e+e=2e>0.[/mm]
>  >  
> > Anyways.. Richtig:
>  >  
> > [mm]f''(x)=e^{-x}[/mm]
>  >  
> > [mm]\Rightarrow f''(-1)=e^{-(-1)}=e^1=e>0.[/mm]
>  >  
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] TP
>  >  
> > Ja, damit haben wir das hinreichend gezeigt.
>
> Wendepunkt:
>  
> f´.´(x)=0  
> entspricht:
>  e^-x=0  | ln
>  ln(e^-x)=0
>  -x=0 |*(-1)
>  x=-1

Das sind ja abenteuerliche Rechnungen !!!

Es ist [mm] e^{-x}\ne [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR [/mm] !!  Die Gleichung [mm] e^{-x}= [/mm] 0 hat also keine Lösung.

ln ist für Zahlen [mm] \le [/mm] 0 nicht definiert !

Auch wie Du von -x=0 auf x=-1 kommst ist bärenstark. Nach Deiner "Mathematik" folgt: 1=0. Und damit kannst Du die Mathematik komplett vergessen !

FRED

>  
> einsetzen:
>  f(-1)=e*(-1)+e^-1=0
>  
> Wendepunkt:  W(-1/0)
>  
>
>  


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 Di 29.04.2014
Autor: muaz

> Das sind ja abenteuerliche Rechnungen !!!
>  
> Es ist [mm]e^{-x}\ne[/mm] 0 für alle x [mm]\in \IR[/mm] !!  Die Gleichung
> [mm]e^{-x}=[/mm] 0 hat also keine Lösung.
>  
> ln ist für Zahlen [mm]\le[/mm] 0 nicht definiert !

Wir haben aber als wir die 1.Ableitung=0 gesetzt haben die e durch ln umgewandelt (ln(e)=0) das wäre hier auch der Fall? und ergibt -x=0 (ich habe dummerweise 0*(-1)=1 gerechnet, natürlich völliger Unsinn...
Aber -x=0 wäre richtig? Und wenn dem so ist, was schreibe ich als Wendepunkt bzw. habe ich überhaupt einen? Wenn es einen gibt dann so?:

einsetzen:
[mm] f(0)=e*(0)+e^0=1 [/mm]
  Wendepunkt:  W(-1/1)


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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Di 29.04.2014
Autor: Diophant

Moin,

> > Das sind ja abenteuerliche Rechnungen !!!
> >
> > Es ist [mm]e^{-x}\ne[/mm] 0 für alle x [mm]\in \IR[/mm] !! Die Gleichung
> > [mm]e^{-x}=[/mm] 0 hat also keine Lösung.
> >
> > ln ist für Zahlen [mm]\le[/mm] 0 nicht definiert !

>

> Wir haben aber als wir die 1.Ableitung=0 gesetzt haben die
> e durch ln umgewandelt (ln(e)=0) das wäre hier auch der
> Fall?

Wie meinen? Es ist ln(e)=1, die erste Ableitung heißt

[mm] f'(x)=e-e^{-x} [/mm]

Diese Ableitung gleich Null gesetzt ergibt die Gleichung

[mm] e-e^{-x}=0 [/mm]

was auf

[mm] e^{-x}=e [/mm]

führt. Daraus folgt

-x=1

und damit

x=-1. 

> und ergibt -x=0 (ich habe dummerweise 0*(-1)=1
> gerechnet, natürlich völliger Unsinn...
> Aber -x=0 wäre richtig?

Richtig für was???

> Und wenn dem so ist, was schreibe
> ich als Wendepunkt

Nochmals: es gibt hier keinen Wendepunkt, da die zweite Ableitung

[mm] f''(x)=e^{-x} [/mm]

keine Nullstellen besitzt!

Du scheinst nicht den auch einer Ahnung zu haben vom Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus. Es scheint mir in dieser Situation sinnvoll zu sein, sich erst einmal die Grundlagen durch Nachlesen irgendwo zu erarbeiten, bevor man dann daran geht, Aufgaben zu rechnen. Denn wie FRED schon geschrieben hat: was du hier machst, ist mit 'abenteuerlich' noch vorsichtig umschrieben...

Gruß, Diophant

 

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Di 29.04.2014
Autor: DieAcht

Ich bin der Meinung, dass man dir deinen ersten Fehler nicht
richtig erklärt hat. Aus diesem Grund mache ich es nochmal.


> Wendepunkt:
>  
> f´.´(x)=0  
> entspricht:
>  e^-x=0  | ln

Das Logarithmieren auf der linken Seite funktioniert,
denn die Funktion

      [mm] x\mapsto\ln(e^{-x}) [/mm]

ist für alle

      [mm] x\in\IR [/mm]

definiert, denn es gilt:

      [mm] e^{-x}>0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR. [/mm]

Das Logarithmieren auf der rechten Seite funktioniert aber
nicht, denn die Funktion

      [mm] x\mapsto\ln(x) [/mm]

ist nur für

      [mm] x\in\IR_{>0} [/mm]

definiert.

Somit darfst du insgesamt nicht logarithmieren, denn auf
der rechten Seite erhältst du den undefinierten Ausdruck

      [mm] \ln(0). [/mm]

>  ln(e^-x)=0

Bei der ersten Ableitung stand rechts eine positive Zahl,
aber das hat dir Diophant schon erklärt und den anderen
Fehler hast du auch schon erkannt.

Hier reicht einfach zu wissen, dass

      [mm] f''(x)=e^{-x}>0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR. [/mm]

Wenn dir noch etwas unklar ist, dann frag nochmal nach.

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Kurvendiskussion: @Steffi
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:08 Mo 28.04.2014
Autor: muaz

Nun weiss ich weshalb ich dachte die e(^) sei =0, und zwar sagte der Lehrer wenn wir die e als Faktor haben, dann können wir sie ausklammern und =0 setzen um somit den Rest der Gleichung auf x aufzulösen. Ich habe wohl das damit in Verbindung gebracht.

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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:33 Mo 28.04.2014
Autor: DieAcht


> Nun weiss ich weshalb ich dachte die e(^) sei =0, und zwar
> sagte der Lehrer wenn wir die e als Faktor haben, dann
> können wir sie ausklammern und =0 setzen um somit den Rest
> der Gleichung auf x aufzulösen. Ich habe wohl das damit in
> Verbindung gebracht.  

Da hast du nicht genau hingehört. Ich probiere das mal so
einfach wie möglich zu formulieren. Bei der Untersuchung
der Nullstellen einer Funktion, die die Exponentialfunktion
enthält ist es durchaus sinnvoll die Exponentialfunktion,
sofern möglich, auszuklammern. Angenommen uns gelingt das.

      [mm] \Phi(x):=e^x*(g(x)). [/mm]

Ich habe mit Absicht ein Malzeichen dazugesetzt, denn es
handelt sich eigentlich um zwei Faktoren. Wenn ein Faktor
Null wird, dann ist das Produkt auch Null. Nun gilt aber

      [mm] $e^x>0$ [/mm] für alle [mm] x\in\IR, [/mm]

sodass der linke Faktor nicht Null werden kann. Aus diesem
Grund betrachten wir nur noch den rechten Faktor, denn wenn
dieser Null wird, dann ist das Produkt Null und wir finden
eine Nullstelle.

Beispiel:

      [mm] h(x):=e^x*(4x-2). [/mm]

Untersuchung auf Nullstellen:

      [mm] h(x)\overset{!}=0 [/mm]

      [mm] \Longleftrightarrow [/mm]

      [mm] e^x*(4x-2)=0. [/mm]

Nun gilt:

      [mm] e^x>0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR, [/mm]

sodass wir nur noch

      [mm] 4x-2\overset{!}=0 [/mm]

betrachten.

Nun gilt:

      [mm] 4x-2\overset{!}=0 [/mm]

      [mm] $\Rightarrow [/mm] 4x=2$

      [mm] \Rightarrow x=\frac{1}{2}. [/mm]

Jetzt kannst du mit der Probe das auch verstehen. Es gilt:

      [mm] h(\frac{1}{2})=e^{\frac{1}{2}}*(4*(\frac{1}{2})-2)=e^{\frac{1}{2}}*(2-2)=e^{\frac{1}{2}}*(0)=0. [/mm]

Alles klar?

Die Exponentialfunktion können wir nicht "einfach" so Null
setzen, denn das wird sie niemals. Wir wissen aber, dass
die Exponentialfunktion niemals Null sein wird und aus die-
sem Grund können wir diese in so einem Fall "ignorieren",
da wir es mit Produkten zu tun haben und wenn ein Faktor
Null ist, dann wird das ganze Produkt Null und wir erhalten
unsere Nullstelle.
      


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 So 27.04.2014
Autor: muaz

wie kommst du darauf:

> Da [mm] $e^{-x}$ [/mm] immer positiv ist, muss also $e*x_$ negativ sein.

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Kurvendiskussion: Summe = 0
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 So 27.04.2014
Autor: Loddar

Hallo muaz!


Rückfragen bitte hier offen im Forum stellen, danke.


> wie kommst du darauf:

>

> > Da [mm]e^{-x}[/mm] immer positiv ist, muss also [mm]e*x_[/mm] negativ sein.

Die Summe zwei positiven Zahlen ist auch stets positiv; d.h. $> \ 0$ .

Damit ist klar: entweder sind beide Summanden gleich Null (was hier nicht möglich ist), oder aber ein Summand ist negativ und ein Summand ist positiv.


Gruß
Loddar

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:09 Mi 30.04.2014
Autor: muaz

Nun muss ich noch die Asymptote berechnen. Das bringe ich mit dem lim in verbindung. Allerdings habe ich gelesen dass es hier verscheidene Asym. geben kann, welche benötige ich, dass geht aus dem Text nicht hervor?
lim f(x)= [mm] e*x+e^\{-x\} [/mm]
[mm] x\mapsto1\pm0 [/mm]

Und jetzt?

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Mi 30.04.2014
Autor: Diophant

Hallo muaz,

> Nun muss ich noch die Asymptote berechnen. Das bringe ich
> mit dem lim in verbindung.

Ja, das hat sehr viel miteinander zu tun. 

> Allerdings habe ich gelesen dass

> es hier verscheidene Asym. geben kann, welche benötige
> ich, dass geht aus dem Text nicht hervor?

Welche kennst du denn? Es muss ja nicht aus dem Text hervorgehen, es geht aus der Aufgabenstellung hervor. Hast du denn schon eine Skizze mit dem Schaubild von f angefertigt, da sieht man die Antwort auf deine Frage sofort.

> lim f(x)= [mm]e*x+e^\{-x\}[/mm]
> [mm]x\mapsto1\pm0[/mm]

>

> Und jetzt?

Könntest du uns einmal erläutern, was obige kryptische Symbole für dich bedeuten? Offensichtlich willst du x gegen 1 streben lassen, weshalb? Was bedeutet [mm] \pm{0} ? [/mm]

Auch wenn das alles sowieso die falsche Idee ist: wenn man zu solchen Dingen Hilfe haben möchte, reicht es nicht aus, ein paar wirre Symbole zu posten sondern viel wichtiger sind die Gedanken, die du dir gemacht hast (und die ja hier zunächst auf einer richtigen Idee basieren!).

Eine Asymptote ist eine Gerade, die sich an eine Kurve immer mehr annähert, so dass

- der Abstand stets kleiner wird
- beliebig klein wird
- stets größer Null bleibt.

Bei einer Kurve, die durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden kann (also diesen Fall haben wir ja in der Schule praktisch immer, so hier also auch) wird das bis auf den Fall der senkrechten Asymptote dadurch geschehen, dass Teile des Funktionsterms für x gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] oder für beide Fälle gegen Null streben. Der Rest, der dann noch übrig bleibt ist linear, also von der Form

a(x)=m*x+b

Untersuche also die gegebene Funktion. Einer der Summanden aus dem Funktionsterm strebt für [mm] x\to\infty [/mm] gegen Null. Welcher? Und wie lautet sie dann, die Asymptote?

Gruß, Diophant

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Kurvendiskussion: Zeichnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Mi 30.04.2014
Autor: muaz

Ich habe das das Schaubild K gezeichnet, es ergibt eine Parabel deren Scheitelpunkt den TP bildet also (-1/0).
Ist meine Asymptote nun meine x-Achse?

PS: @diophant, ich hatte nur den lim hingeschrieben ohen Wissen was ich damit anfangen kann, nun habe ich (einigermassen) verstanden was es bedeutet, aber ich weiss nicht wie ich es rechnerisch machen soll? Mein Lehrer würde sagen; beweisen Sie, dass laut Ihrer Ansicht die x-Achse die Asymptote ist, und dann weiss ich nicht wie es geht...

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:46 Do 01.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Ich habe das das Schaubild K gezeichnet, es ergibt eine
> Parabel
> deren Scheitelpunkt den TP bildet also (-1/0).
>  Ist meine Asymptote nun meine x-Achse?

Hallo,

nein.

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph beliebig dicht annähert.
Da ich kein Buch schreiben möchte, erkläre ich Dir hier nur die waagerechten Asyptoten, es gibt jedoch auch schräge und senkrechte.

Du hast bestimmt irgendwo einen Plotter zur Verfügung, ansonsten kannst Du zB diesen nehmen: http://www.walterzorn.de/grapher/grapher.htm

Ich sage Dir jetzt mal ein paar Beispiele, die Du angucken kannst.

A.

Laß Dir die Funktionen [mm] f(x)=e^{-x-3}+2 [/mm] und y=2 plotten, Eingabe in obigem Plotter e^(-x-3)+2; 2

Du siehst, daß sich der rote Graph nach rechts hin immer mehr der Geraden y=2 annähert.
y=2 ist eine waagerechte Asymptote der Funktion [mm] f(x)=e^{-x-3}+2. [/mm]

Oft wird, wenn man was über die waagerechten Asymptoten sagen soll, auch nach dem Verhalten im Unendlichen gefragt,
oder ich sage auch "Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches".

Berechnung geht mit dem limes.

Einmal für die rechte Seite: [mm] \lim_{x\to \infty}(\underbrace{e^{-x-3}}_{\to 0}+2)=2, [/mm]
für [mm] x\to \infty [/mm] ist y=2 waagerechte Asymptote.

(Berechnung, ganz heimlich im Kopf: [mm] -\infty-3=-\infty. e^{-\infty}=0, [/mm] also ist [mm] e^{-\infty-3}=0) [/mm]


Einmal für die linke Seite: [mm] \lim_{x\to -\infty}(\underbrace{e^{-x-3}}_{\to \infty}+2)=\infty, [/mm]
für [mm] x\to -\infty [/mm] geht der Graph gegen [mm] \infty. [/mm]

(Berechnung, ganz heimlich im Kopf: [mm] -(-\infty)-3=\infty-3=\infty. e^{\infty}=\infty, [/mm] also ist [mm] e^{-(-\infty)-3}=0) [/mm]

Schau Dir den Graphen nochmal an und mach Dir klar, daß es links keine Asymptote gibt.



B.

Laß Dir die Funktionen [mm] f(x)=\bruch{5}{e^x+e^{-x}} [/mm] und y=0, die x-Achse,  plotten, Eingabe in obigem Plotter [mm] 5/(e^x+e^-x);0 [/mm]

Du siehst, daß sich der rote Graph sowohl nach links als auch nach rechts hin immer mehr x-Achse, also der Geraden mit y=0, annähert.
Die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote der Funktion [mm] f(x)=e^{-x-3}+2. [/mm]

Berechnung geht mit dem limes.

Einmal für die rechte Seite: [mm] \lim_{x\to \infty}\bruch{5}{e^x+e^{-x}}=0, [/mm]
für [mm] x\to \infty [/mm] ist y=0 waagerechte Asymptote,also die x-Achse

(Berechnung, ganz heimlich im Kopf: [mm] e^{\infty}+e^{-\infty}=\infty+0=\infty, \bruch{5}{\infty}=0) [/mm]

Einmal für die linke Seite: [mm] \lim_{x\to -\infty}\bruch{5}{e^x+e^{-x}}=0 [/mm]
für [mm] x\to -\infty [/mm] ist y=0 waagerechte Asymptote, also die x-Achse

(Berechnung, ganz heimlich im Kopf: [mm] e^{-\infty}+e^{-(-\infty)}=0+\infty=\infty, \bruch{5}{\infty}=0) [/mm]


C.

[mm] f(x)=e^{x}+e^{-x} [/mm]

Mach das jetzt mal selbst!


LG Angela

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Do 01.05.2014
Autor: muaz

  
[mm] f(x)=e^{x}+e^{-x} [/mm]

>  
> Mach das jetzt mal selbst!
>  
>
> LG Angela

[mm] f(x)=e^{x}+e^{-x} [/mm]   y=0

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{x}+e^{-x}=0 [/mm]

für [mm] \l{x\rightarrow\infty} [/mm] ist y=0 eine waagerechte Asymptote, also x-Achse
Berechnung:
[mm] e^{\l{\infty}}+e^{\l{-\infty}}={\infty}+0=0 [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}e^{x}+e^{-x}=0 [/mm]

für [mm] \l{x\rightarrow-\infty} [/mm] ist y=0 eine waagerechte Asymptote, also x-Achse
Berechnung:
[mm] e^{\l{-\infty}}+e^{\l{\infty}}={\infty}+0=0 [/mm]    


Wenn ich dass richtig gemacht habe, würde ich gerne wissen, ob dass Ergebnis immer =0 ist?



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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Do 01.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,


> [mm]f(x)=e^{x}+e^{-x}[/mm] y=0

>

???

Wir sprechen doch immer ncoh über die Funktion f mit

[mm] f(x)=e*x+e^{-x} [/mm]

???

> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{x}+e^{-x}=0[/mm]

>

> für [mm]\l{x\rightarrow\infty}[/mm] ist y=0 eine waagerechte
> Asymptote, also x-Achse
> Berechnung:
> [mm]e^{\l{\infty}}+e^{\l{-\infty}}={\infty}+0=0[/mm]

Das ist komplett von vorne bis hinten Blödsinn, es lohnt sich aber nicht, das aufzudröseln, weil du die falsche Funktion untersucht hast.

>

> Wenn ich dass richtig gemacht habe, würde ich gerne
> wissen, ob dass Ergebnis immer =0 ist?

Wie gesagt: da ist überhaupt nichst richtig, da musst du einfach auch mal eine ordentliche Schippe an <u>Gründlichkeit</i> zulegen!

Schließlich ist heute Tag der Arbeit...

Gruß, Diophant

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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Do 01.05.2014
Autor: muaz

Hmm, ich habe nur die Werte meiner Funktion in die Vorlage übertragen... Daher mein Ergebnis

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Kurvendiskussion: nicht alles Blödsinn
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Do 01.05.2014
Autor: angela.h.b.


> > [mm]f(x)=e^{x}+e^{-x}[/mm] y=0
>  >
>  
> ???
>  
> Wir sprechen doch immer ncoh über die Funktion f mit
>  
> [mm]f(x)=e*x+e^{-x}[/mm]
>  
> ???
>  
> > [...]
>  
> Das ist komplett von vorne bis hinten Blödsinn, es lohnt
> sich aber nicht, das aufzudröseln, weil du die falsche
> Funktion untersucht hast.

Hallo Diophant,

ob das die falsche oder richtige Funktion ist, liegt im Auge des Betrachters:

es ist genau die Funktion, welche im muaz im Zuge meiner Erklärungen zu den waagerechten Asymptoten zu untersuchen "aufgegeben" hatte.
Insofern ist es völlig richtig, daß er diese Funktion untersucht.
Fehler darf er ja machen.

LG Angela


> >
>  > Wenn ich dass richtig gemacht habe, würde ich gerne

>  > wissen, ob dass Ergebnis immer =0 ist?

>  
> Wie gesagt: da ist überhaupt nichst richtig, da musst du
> einfach auch mal eine ordentliche Schippe an <u>Gründlichkeit</i>
> zulegen!
>  
> Schließlich ist heute Tag der Arbeit...
>  
> Gruß, Diophant


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Kurvendiskussion: Sorry
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 Do 01.05.2014
Autor: Diophant

Hallo Angela,

dann in diesem Fall an muaz und an dich ein dickes 'Sorry'.

Ich hatte zwar das, was an diesem Teilstrang besprochen wurde, überflogen aber deine Anregung, eine andere Funktion zu untersuchen, überlesen.

Beste Grüße, Diophant

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Do 01.05.2014
Autor: angela.h.b.


>  
> [mm]f(x)=e^{x}+e^{-x}[/mm]
>  >  
> > Mach das jetzt mal selbst!

Hallo,

hast Du das, was ich Dir zuvor schrieb, durchgearbeitet?
Hast Du die Funktionen geplotttet und anhand der bereits angegebenen Asymptoten gesehen, woran man  "waagerechte Asymptote" im Schaubild erkennt?


>
> [mm]f(x)=e^{x}+e^{-x}[/mm]   y=0

Hast Du diese Funktion geplottet?
Hast Du dort entdecken können, daß die Funktion sich rechts und links im Schaubild an die x-Achse, also die Gerade mit y=0, annähert?
Nein, oder?
Da nähert sich nämlich auch nichts...

>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{x}+e^{-x}=0[/mm]

Nein:

>  

> Berechnung:
> [mm]e^{\l{\infty}}+e^{\l{-\infty}}={\infty}+0[/mm]

Ja, genau!

> [mm] {\infty}+0=0 [/mm]

Neiiin! Wenn Du zu einer riesengroßen Zahl die 0 addierst, was kommt denn dann heraus?

Wenn Du's hast, untersuche noch den limes gegen [mm] -\infty. [/mm]


Danach kannst Du Dich dann über Deine "eigene" Funktion hermachen.
Überlege auch hier, was passiert, wenn x unendlich groß wird.

Was genau zu tun ist, kommt darauf an, ob bei Euch auch "schräge Asymptoten" behandelt wurden.
Wenn ja, dann solltest Du mal [mm] f(x)=e*x+e^{-x} [/mm] und die Gerade y=e*x plotten. Du kannst erkennen, daß sich [mm] f(x)=e*x+e^{-x} [/mm] für [mm] x\to \infty [/mm] der Geraden y=e*x annähert.
Kannst Du der Funktionsgleichung entnehmen, warum das so ist?

LG Angela


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Do 01.05.2014
Autor: muaz


> hast Du das, was ich Dir zuvor schrieb, durchgearbeitet?
>  Hast Du die Funktionen geplotttet und anhand der bereits
> angegebenen Asymptoten gesehen, woran man  "waagerechte
> Asymptote" im Schaubild erkennt?
>  

> > [mm]f(x)=e^{x}+e^{-x}[/mm]   y=0
>  
> Hast Du diese Funktion geplottet?
>  Hast Du dort entdecken können, daß die Funktion sich
> rechts und links im Schaubild an die x-Achse, also die
> Gerade mit y=0, annähert?
>  Nein, oder?
>  Da nähert sich nämlich auch nichts...

Ja, ich sah das die Asymptote genau die x-Achse ist! eine Annährung gab es nicht da ja der Graph oberhalb der x Achse blieb...
Das hatte ich bereits zu deiner Erklärung gepostet (als Frage)

> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{x}+e^{-x}=0[/mm]
>  
> Nein:
>  >  
>
> > Berechnung:
> > [mm]e^{\l{\infty}}+e^{\l{-\infty}}={\infty}+0[/mm]
>  
> Ja, genau!
>  
> > [mm]{\infty}+0=0[/mm]
>  
> Neiiin! Wenn Du zu einer riesengroßen Zahl die 0 addierst,
> was kommt denn dann heraus?

Unendlich wäre die Antwort...

> Wenn Du's hast, untersuche noch den limes gegen [mm]-\infty.[/mm]
>  
>
> Danach kannst Du Dich dann über Deine "eigene" Funktion
> hermachen.
>  Überlege auch hier, was passiert, wenn x unendlich groß
> wird.
>  
> Was genau zu tun ist, kommt darauf an, ob bei Euch auch
> "schräge Asymptoten" behandelt wurden.
>  Wenn ja, dann solltest Du mal [mm]f(x)=e*x+e^{-x}[/mm] und die
> Gerade y=e*x plotten. Du kannst erkennen, daß sich
> [mm]f(x)=e*x+e^{-x}[/mm] für [mm]x\to \infty[/mm] der Geraden y=e*x
> annähert.
>  Kannst Du der Funktionsgleichung entnehmen, warum das so
> ist?
>  
> LG Angela

Also der Graph nähert sich und zwar geht die Gerade durch den Ursprung um ca. 45 Grad, und dort irgendwo und irgendwann treffen/nähern die sich, also gehe ich davon aus das dies aufgrund der selben Steigung (e*x) geschieht...

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Do 01.05.2014
Autor: leduart

Hallo
sicher nicht unter 45° da die Steigung der Geraden e ist.
Du musst begründen warum das so ist!
was wird aus [mm] e^{-x} [/mm] für sehr große x? und damit aus [mm] e*x+e^{-x} [/mm]
Gruss leduart

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Do 01.05.2014
Autor: muaz


> Hallo
>  sicher nicht unter 45° da die Steigung der Geraden e
> ist.
>  Du musst begründen warum das so ist!
>  was wird aus [mm]e^{-x}[/mm] für sehr große x? und damit aus
> [mm]e*x+e^{-x}[/mm]
>  Gruss leduart

Das sind meine Ergebnisse:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x}=-\infty [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}=\infty [/mm]

Begründung:
Ich betrachte meine Funktionsgleichung und stelle fest, dass e^(-x) meine höchste Potenz darstellt. Wenn ich also bei allen Variablen einen Wert eigeben würde, so würde es bei e^(-x) den höchsten Wert ergeben.

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Fr 02.05.2014
Autor: leduart

Hallo
wie oft haben wir schon gesagt [mm] e^{irgendwas} [/mm] ist IMMER  POSITIV. [mm] e^{-X}=1/ [/mm] e ^X GEHT GEGEN  0 für x gegen unendlich.
liest du eigentlich wirklich alle posts?
Gruss leduart

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 Mi 30.04.2014
Autor: muaz

Aufgabe
a) die Gerade x=t mit t>0 schneidet K in Pt und die Gerade y=e*x in Qt. Für welches t nimmt der Flächeninhalt des Dreiecks OQtPt einen Extremwert an? Weise nach das es sich dabei um ein Maximum handelt.

b)Die Funktion g sei eine ganzr. Funktion zweiten Grades. Sie soll mit f in den Funktionswerten an den Stellen x=0 und X=-1 und im Wert der 1. Ableitung an der Stelle x=-1 übereinstimmen. Bestimme g(x).

Nehme ich für die Gerade meine Gleichung y=m*x+b und setze für x=t und eine Zahl für t größer 0?
Beispiel:
Y=m*2+b
Wenn nun die Gerade den Graph schneidet, fällt mir dazu gleichsetzen der Gelichungen ein? Aber reicht dafür die o.g. Geradengeleichung aus bzw. welche Gleichung nehme ich für den Graphen, die Ursprungsgleichung ?

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:54 Mi 30.04.2014
Autor: leduart

Hallo
die Gerade x=t ist eine Parallele zur y Achse
gemeint ist, man kann für t irgendeine Zahl einsetzen, z.B 3 dann hast du x=3 offebsichtlich kommt y nicht vor, kann also jeden Wert annehmen, damit ist x=3 eine Gerade senkrecht zur x- Achse durch den Punkt (3,0)
Gruß leduart

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:08 Do 01.05.2014
Autor: muaz

Wenn ich die -2 nehme für Pt und für Qt die 1, dann habe ich eine Wagrechte Gerade für Qt (0/2,71) und eine Senkrechte Gerade (-2/0) für Pt, die sich auch schneiden würden bzw. auch K schneiden, wobei es K an einer Stelle schneidet, wo es keinen Wendepunkt gibt, so dass ich laut der Aufgabenstellung (persönlich )sagen könnte, es ist ein Maximum. Ist es aber aufgrund der Schnittpunkte ein Maximum, da Flächeninhalt des Dreieckes erwähnt wird?


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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Do 01.05.2014
Autor: leduart

Hallo
du kannst Pt und Qt doch nicht irgendwie nehmen.
wo sschneidet die Gerade x=t dein K und wo die Gerade  y=e*x  (denk dran t>0
das sind die 2 Punkte die übereinander liegen. die verbindest du  miteinander und mit dem 0 Punkt. dann hast du ein Dreieck (mach ne Skizze unbedingt-
den Flacheninhalt dieses Dreiecks sollst du berechnen. er hängt von t ab.
dann soll t so bestimmt werden, dass die fläche möglichst groß ist
Gruß leduart

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Do 01.05.2014
Autor: muaz

Ich habe es mit dem Plotter gezeichnet und meine Frage dazu;
laut Aufgabe soll es einen Extremwert darstellen, dies ist dann mit dem Schaubild K zu verstehen? Ich habe für t=1 genommen, denn nur so ergibt sich exakt ein Dreieck, wobei K die Stelle ist Y=1, in der es dann einen Hochpunkt gibt (soweit ich die Aufgabenstellung richtig interpretiere?)?

Hier das Schaubild:
http://www.walterzorn.de/grapher/grapher.htm

Werte:
ex+e^-x;
y=e*x;
x=1

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Do 01.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Ich habe es mit dem Plotter gezeichnet und meine Frage
> dazu;
>  laut Aufgabe soll es einen Extremwert darstellen, dies ist
> dann mit dem Schaubild K zu verstehen? Ich habe für t=1
> genommen, denn nur so ergibt sich exakt ein Dreieck, wobei
> K die Stelle ist Y=1, in der es dann einen Hochpunkt gibt
> (soweit ich die Aufgabenstellung richtig interpretiere?)?
>  
> Hier das Schaubild:
>  http://www.walterzorn.de/grapher/grapher.htm
>  
> Werte:
>  ex+e^-x;
> y=e*x;
>  x=1

Hallo,

der Plotter ist leider nicht so schlau: er plottet die Gerade y=1 (waagerecht durch (0|1)) und nicht wie gefodert die Gerade x=1 (senkrecht durch (1|0)).

Am besten machst Du Dir eine Skizze per Hand.

Markiere das Dreieck.

In Deiner Rechnung mußt Du die geforderten Schnittpunkte [mm] P_t [/mm] und [mm] Q_t [/mm] durch Gleichsetzen berechnen.
Das t in den Rechnungen behandle, als wäre es eine Zahl. Die Gleichungen sind nach x aufzulösen.

LG Angela


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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Do 01.05.2014
Autor: leduart

Hallo
ich denke Angelas antwort ist irreführend. wenn du die Gerade und die Kurve mit x=t schneidest ist die x Koordinate t, die y Koordinate der funktionswert.
kannst du dann die 2 Punkte erstmal hinschreiben. aber nur für die Zeichnung einen Wert für t , für die Rechnung ein allgemeines t.
Gruss leduart

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Do 01.05.2014
Autor: muaz

Sorry, habe nix verstanden..

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Fr 02.05.2014
Autor: leduart

Hallo
Hast du eine Skizze und bei irgend einem t eine Parllele zur y Achse? W o schneidet sie y=ex, wo schneidet sie f(x) [mm] =ex+e^x [/mm]

a) wenn t=1
b wenn t=2
c)wenn t=t
Gruß leduart

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