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| Aufgabe | | gegeben ist: f(x)=- [mm] \bruch{1}{2}x^4+4x^2+\bruch{9}{2} [/mm] |
erst mal alle Ableitungen bilden.......
dann gemeinsame Punkte mit der x-Achse:
f(x)=0
- [mm] \bruch{1}{2}x^4+4x^2+\bruch{9}{2}=0
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher wie ich den term nach x auflösen muss. Geht das mit Substitution???
also
- [mm] \bruch{1}{2}x^4+4x^2+\bruch{9}{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw x^4-8x^2-9 |x^2=z
[/mm]
[mm] \gdw z^2-8z-9 |x^2=z
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] z=9 [mm] \vee [/mm] z=-1
muss ich davon dann die wurzel ziehen um auf x zu kommen??
also x=3 und x=aus -1 kann man die wurzel ja nicht ziehen...
Ist das richtig??
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Ich habe den Nullpunkt N(3|0) aber wieso 2 Nullstellen??
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Hi,
> Ich habe den Nullpunkt N(3|0) aber wieso 2 Nullstellen??
Ja, das ist auch richtig. Du hast eine Nullstelle bei (3/0), und eine weitere bei (-3/0)!!! Schauen wir uns ersteimal den Graphen an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie du siehst hat diese Funktion 4.Ordnung zwei Nullstellen, nämlich die oben genannten. Sie könnte maximal 4 Nullstellen haben und wenigstens keine Nullstelle. Warum hat sie nun zwei? Nunja, rein mathematisch haben wir schon oben eigentlich alles geklärt. Wenn wir bei der Substitution sagen das [mm] x^{2} [/mm] = z ist, und dann unsere z-Werte ermittelt haben, müssen wir diese Substitution wieder rückgängig machen und sagen das [mm] \pm\wurzel{z} [/mm] = x ist! Wenn du also von z die Wurzel ziehst, bekommt du [mm] \pm [/mm] 3 heraus. Einmal +3 und einmal -3! Und das sind deine beiden Nullstullen! Du kannst dies natürlich auch überprüfen, indem du die -3 in f(x) einsetzt. Dann bekommt du null heraus. Also auch eine Nullstelle. Wei du dem Graph entnehmen kannst, ist er symmetrisch... Also ist das der Beweis dafür, das wenn +3 eine Nullstelle ist, -3 auch eine sein muss...
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Das hab ich verstanden danke. Nun bei den Extremstellen:
eine Funktion f hat an der Stelle Xe ein Extremum wenn gilt: f'(Xe)=0 und [mm] f''(Xe)\not=0
[/mm]
So ich hab [mm] -2x^3+8x^2 [/mm] ( die erste Ableitung) mit Null gleichgesetzt und diese x werte heraus bekommen
x= 0 ; x= 2 ;x=-2
aber die Bedingung ist nicht erfüllt weil f''(von 0, 2 und -2) alle gleich Null sind. Oder wo ist mein Fehler??
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Hallo,
Deine Extremstellen -2, 0, 2 sind korrekt, überprüfe aber mal Deine 1. Ableitung, hast Du überhaupt schon die 2. Ableitung gebildet f''(x)= ..... , jetzt -2, 0, 2 einsetzten und überprüfen, es klappt wunderbar, Du bekommst zwei Maxima und ein Minimum. Schau Dir mal die Funktion von Analytiker an, da erkennst Du es auch schon, aber jetzt noch ausrechnen.
Steffi
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Ja ich seh schon meinen Fehler hab es ausversehen in die erste ableitung eingesetzt anstatt in die zweite!!
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Hallo,
ich denke es ist nur ein Schreibfehler von Dir:
[mm] f'(x)=-2x^{3}+8x [/mm] achte auf Deinen Exponenten
[mm] f''(x)=-6x^{2}+8
[/mm]
Steffi
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Man muss die X werte dann in die zweite Ableitung ( grad falsch gemacht gg) in die zweite ableitung einsetzten.
f''(0)=8
f''(2)= -16
f(-2)=-16
aber geht es das an der stelle 2 und -2 ein Maximum ist???
bei den Hoch und Tiefpunkten hätt ich folgendes raus:
H [mm] (0|-1787\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] T(2|12\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] T(-2|12\bruch{1}{2})
[/mm]
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Hallo,
an den Punkten (-2; 12,5) und (2; 12,5) liegen die Maxima, setze x=0 in Deine Funktion ein (0; 4,5) das ist Dein Minimum, schau Dir das Bild von Analytiker an, da erkennst Du es, zur Begründung Deine Funktion ist nach unten geöffnet, vor [mm] x^{4} [/mm] steht ein negativer Faktor: -0,5.
Steffi
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Da komm ich nicht ganz mit. Wir hatten das immer so gemacht. die x werte die wir rausbekommen haben ( wenn wir die erste ableitung gleich null gesetzt haben), haben wir diese in die zweite ableitung gesetzt, wenn diese ungleich 0 waren, so gibt es an den Stellen Extremwerte:
Meine Ergebniss waren 0, 2 und -2
diese eingesetzt in die zweite ableitung ergeben folgendes:
f''(0)=8
f''(2)= -16
f(-2)=-16
Aber es geht doch nicht dass es an der stelle 2 und -2 ein maximum gibt. kannst du mir meinen fehler oder so hieran erklären?
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Hallo,
1. Ableitung Null setzen, Du bekommst die Stellen, an denen ein Extremwert vorhanden ist,
in 2. Ableitung die Stellen aus er 1. Ableitung einsetzen um zu überprüfen, wenn kleiner Null, so Maximum und wenn größer Null, so Minimum,
in Funktion die Stellen einsetzen, um die Punkte zu berechnen, wo sich die Extremstellen befinden,
Du hast absolut richtig gerechnet: f''(2)=f''(-2)=-16<0 also ist an den Stellen ein MAXIMUM, schau Dir nochmals das Bild von Analytiker an und meine Begründung zum Faktor -0,5 vor [mm] x^{4}, [/mm] und jetzt vertaue der Mathematik und dann auch Dir selbst, es ist so!!!!
Steffi
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Sind die dazugehörigen hoch und tiefpunkte auch richtig?
[mm] H(8|-1787\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] T(2|-12\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] T(-2|-12\bruch{1}{2})
[/mm]
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Hallo, NEIN!!!
lese doch mal bitte meine Hinweise!!!!!
es ist eigentlich alles beantwortet,
Steffi
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Irgendwie bin ich total verwirrt.
Ich muss doch die x werte, die ich bei dem gleichsetzen mit Null herausbekommen habe in die funktion einsetzen oder nicht?
Bei dem ersten hab ich einen Tipfehler: da kommt (0|4,5) raus. aber die anderen beiden müssten doch richtig sein....
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Hallo,
ich glaube dir fehlt im Moment ein bisschen der Überblick, deswegen schauen wir nochmal kurz auf den Graphen. Dort kann man sehen, das er zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt gibt (ich glaube das hattest du vorhin verwechselt).
Um die Punkte genau zu bestimmen hast du die 1. Ableitung gebildet und diese gleich Null gesetzt. So erhälst du die Werte -2, 0 und 2. Um zu prüfen ob es sich um Hochpunkte oder Tiefpunkte handelt setzt du diese Werte jetzt jeweils in die 2. Ableitung ein und schaust ob eine Zahl größer oder kleiner Null herauskommt. Ist die Zahl größer Null hast du einen tiefpunkt, ist sie kleiner Null wird ein hochpunkt vorliegen. Also schauen wir uns das mal genauer an:
f''(-2)=-8
f''(0)=8
f''(2)=-8
Wir wissen also, dass wir, wie man bereits an der Zeichnung sehen kann, zwei Hochpunkte (bei -2 und 2) und einen Tiefpunkt (bei 0) haben.
jetzt fehlt nur noch der y-Wert zu deinen Hoch- und Tiefpunkten. Wie du bereits früher richtig gesagt hast, musst du dazu nur die x-Werte (also -2, 0 und 2) jeweils in f, also die Grundfunktion, einsetzten und schon bist du fertig. Wenn du alles richtig gemacht hast erhälst du am Ende folgende Extrema:
T [mm] (0/\bruch{9}{2})
[/mm]
H [mm] (-2/12\bruch{1}{2})
[/mm]
H [mm] (2/12\bruch{1}{2})
[/mm]
Einige Zahlen davon hattest du ja auch schon. Ich hoffe das hat etwas Ordnung in deine Gedanken gebracht und du hast alles gut verstanden.
Viel Erfolg!
Schnecki
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
-> Ja, du kannst hie substituieren!
