LGS Lösungsmenge, Geometrie < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Do 25.04.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems und deuten Sie diese Menge geometrisch.
d)
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] = 1
[mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] 5x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 2
[mm] 7x_{1} [/mm] + [mm] 8x_{2} [/mm] + [mm] 9x_{3} [/mm] = 3
[mm] 5x_{1} [/mm] + [mm] 7x_{2} [/mm] + [mm] 9x_{3} [/mm] = 3
e)
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = -3
[mm] 4x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 3
[mm] 5x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = -9
f)
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 2 |
Nabend,
Kriegs einfach nicht hin d) zu lösen. Habe bis jetzt rausbekommen, dass man eine ganze Zeile eliminieren kann. Daraus schließt man doch, das es viele Lösungen für [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] gibt.
Kann mir bitte jemand einen Ansatz zeigen, wie man vorgehen sollte?
Gruß
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Hallo,
> Ermitteln Sie die Lösungsmenge des linearen
> Gleichungssystems und deuten Sie diese Menge geometrisch.
>
> d)
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]3x_{3}[/mm] = 1
> [mm]4x_{1}[/mm] + [mm]5x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 2
> [mm]7x_{1}[/mm] + [mm]8x_{2}[/mm] + [mm]9x_{3}[/mm] = 3
> [mm]5x_{1}[/mm] + [mm]7x_{2}[/mm] + [mm]9x_{3}[/mm] = 3
>
> e)
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = -3
> [mm]4x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 3
> [mm]5x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = -9
>
> f)
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 2
> Nabend,
>
> Kriegs einfach nicht hin d) zu lösen. Habe bis jetzt
> rausbekommen, dass man eine ganze Zeile eliminieren kann.
Ja, das springt ja ins Auge: I+II=IV.
> Daraus schließt man doch, das es viele Lösungen für
> [mm]x_{1}, x_{2}, x_{3}[/mm] gibt.
Das nun ist völlig falsch. Daraus schließt man zunächst, dass man das ganze auf ein 3x3-LGS zurückführen kann. Dort würde man doch zunächst mal eine eindeutige Lösung erwarten, sofern nicht weitere lineare Abhängigkeiten enthalten sind.
Löse das aus den Zeilen I-III gebildete LGS mit dem Gauß-Verfahren, dann siehst du sicherlich klarer.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 25.04.2013 | | Autor: | DragoNru |
Bekomme da für die III Zeile nur 0 raus. Hab versucht aus der Hauptdiagonalen nur 1 zu machen und die anderen werte zur 0, dann wäre hinterm Gleichzeichen das Ergebnis, aber klappt irgendwie nicht.
1 2 3 = 1 /*4-II /*7-III
4 5 6 = 2
7 8 9 = 3
1 2 3 = 1
0 -3 -6 = -2 /:(-3)
0 -6-12 = -4 /:(-12)
1 2 3 = 1
0 1 2 = 2/3 /*(-2)+I /*(-1/2)+III
0 1/2 1 = 1/3
1 0 -1 = -1/3
0 1 2 = 2/3
0 0 0 = 0
Hab ich hier schon irgendwo ein Fehler, weil es mir nicht klarer gewordne ist ? :D oder ich hab einfach kein Auge dafür
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Hallo,
> Bekomme da für die III Zeile nur 0 raus. Hab versucht aus
> der Hauptdiagonalen nur 1 zu machen und die anderen werte
> zur 0, dann wäre hinterm Gleichzeichen das Ergebnis, aber
> klappt irgendwie nicht.
>
> 1 2 3 = 1 /*4-II /*7-III
> 4 5 6 = 2
> 7 8 9 = 3
>
> 1 2 3 = 1
> 0 -3 -6 = -2 /:(-3)
Schon diese Zeile ist falsch, du wirst ab hier nochmals neu rechnen müssen. Wenn du das rechnest, was du oben kommentiert hast, müsste die zweite Zeile bspw.
0 3 9 = 2
heißen.
EDIT:
Nein, da habe ich mich vertan, deine Rechnung ist wohl richtig. Entschuldige bitte vielmals!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Do 25.04.2013 | | Autor: | DragoNru |
puh... frage morgen mein Prof. Aber danke dir, jetzt weiß ich zumindestens, wo der Fehler ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Do 25.04.2013 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, wer verzweifelt denn hier
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 2 \\ 7 & 8 & 9 & 3}
[/mm]
bilde eine neue 2. Zeile: 4 mal Zeile 1 minus Zeile 2
bilde eine neue 3. Zeile: 7 mal Zeile 1 minus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 2 \\ 0 & 6 & 12 & 4}
[/mm]
bilde eine neue 3. Zeile: 2 mal Zeile 2 minus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
es läuft also auf eine Parameterlösung hinaus, setze [mm] x_3=p
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Do 25.04.2013 | | Autor: | DragoNru |
ah vielen dank. Wusste nicht, dass man es Parameterlösung nennt.
Jetzt hab ich etwas zu googlen ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mo 29.04.2013 | | Autor: | DragoNru |
Moin moin,
jetzt gehts um die f) [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 2
Für mein ungeschultes Auge sieht das aus, als müsste man hier mit der Parameter Lösung vorgehen. Habs mal versucht
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 2 - [mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu
[/mm]
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{2 - \mu - \lambda \\ 0+\mu+0 \\ 0+0+\lambda} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{-\mu \\ \mu \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{-\lambda \\ 0 \\ \lambda} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} +\mu \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}, [/mm] eine Ebene im [mm] R^3
[/mm]
ist das so richtig?
Gruß
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> Moin moin,
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> jetzt gehts um die f) [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 2
>
> Für mein ungeschultes Auge sieht das aus, als müsste man
> hier mit der Parameter Lösung vorgehen. Habs mal versucht
>
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\mu[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = 2 - [mm]\lambda[/mm] - [mm]\mu[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{2 - \mu - \lambda \\ 0+\mu+0 \\ 0+0+\lambda}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{-\mu \\ \mu \\ 0}[/mm] +
> [mm]\vektor{-\lambda \\ 0 \\ \lambda}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0} +\mu \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\lambda\vektor{-1 \\ 0 \\ 1},[/mm] eine Ebene im [mm]R^3[/mm]
>
> ist das so richtig?
Ja. Aber:
Anstatt nur zu sagen, es handle sich um (irgendeine)
Ebene, solltest du wohl doch die Lage dieser Ebene
im Raum präzise beschreiben.
LG , Al-Chw.
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