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LP bestimmen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Sa 14.02.2015
Autor: petapahn

Aufgabe
In einem Krankenhaus arbeiten Pfleger im Zweischichtbetrieb (Früh - und Spätschicht).
Für den nächsten Tag muss das Krankenhaus die 4 Pfleger A, B, C und D in eine Früh- und eine Spätschicht einteilen. Je nach Schicht und Qualifikation verursachen die Pfleger unterschiedliche Personalkosten:
Pfleger:             A     B       C       D
Qualifikation:       1     2       3       4
Kosten Frühschicht: 20    15       30     40
Kosten Spätschicht: 30    35       40     45

Um die Arbeit an einem Tag zu bewerkstelligen, muss die Summe der Qualfikationen der eingesetzten Pfleger in der Frühschicht 4 und in der Spätschicht 3 betragen. Für die Schichtplanung ist zudem zu beachten:
i) Die Pfleger dürfen an einem Tag nur in einer Schicht (Früh- oder Spätschicht) arbeiten.
ii) Je Schicht muss mindestens ein Pfleger arbeiten.
iii) Aufgrund einer Fahrgemeinschaft müssen Pfleger A und B in der gleichen Schicht arbeiten bzw. nicht arbeiten.

Das Krankenhaus will die Personalkosten minimieren. Formulieren Sie das Problem als Lineares Programm.



Hallo,

ich hätte das so gelöst:

[mm] x_i: [/mm] Anzahl der Frühschichten von Pfleger i
[mm] y_i: [/mm] Anzahl der Spätschichten von Pfleger i

Zielfunktion: Minimiere z = [mm] \vektor{20 \\ 15 \\ 30 \\ 40}^T*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] + [mm] \vektor{30 \\ 35 \\ 40 \\ 45}^T*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4} [/mm]

Nebenbedingungen:
(1)    [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}^T*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \ge [/mm] 4
(2)    [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}^T*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4} \ge [/mm] 3
(3)    [mm] x_i [/mm] + [mm] y_i \le [/mm] 1  [mm] \forall i\in [/mm] {1,2,3,4}
(4)    [mm] \sum_{i=1}^4 x_i \ge [/mm] 1
(5)    [mm] \sum_{i=1}^4 y_i \ge [/mm] 1
(6)     [mm] x_1-x_2 [/mm] = 0
(7)     [mm] y_1-y_2 [/mm] = 0
[mm] x_i,y_i \ge [/mm] 0 [mm] \forall i\in\{1,2,3,4\} [/mm]


Stimmt das??
Danke
petapahn

        
Bezug
LP bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 So 15.02.2015
Autor: meili

Hallo,

> In einem Krankenhaus arbeiten Pfleger im Zweischichtbetrieb
> (Früh - und Spätschicht).
> Für den nächsten Tag muss das Krankenhaus die 4 Pfleger
> A, B, C und D in eine Früh- und eine Spätschicht
> einteilen. Je nach Schicht und Qualifikation verursachen
> die Pfleger unterschiedliche Personalkosten:
>  Pfleger:             A     B       C       D
>  Qualifikation:       1     2       3       4
>  Kosten Frühschicht: 20    15       30     40
>  Kosten Spätschicht: 30    35       40     45
>  
> Um die Arbeit an einem Tag zu bewerkstelligen, muss die
> Summe der Qualfikationen der eingesetzten Pfleger in der
> Frühschicht 4 und in der Spätschicht 3 betragen. Für die
> Schichtplanung ist zudem zu beachten:
>  i) Die Pfleger dürfen an einem Tag nur in einer Schicht
> (Früh- oder Spätschicht) arbeiten.
>  ii) Je Schicht muss mindestens ein Pfleger arbeiten.
>  iii) Aufgrund einer Fahrgemeinschaft müssen Pfleger A und
> B in der gleichen Schicht arbeiten bzw. nicht arbeiten.
>  
> Das Krankenhaus will die Personalkosten minimieren.
> Formulieren Sie das Problem als Lineares Programm.
>  
>
> Hallo,
>  
> ich hätte das so gelöst:
>  
> [mm]x_i:[/mm] Anzahl der Frühschichten von Pfleger i
>  [mm]y_i:[/mm] Anzahl der Spätschichten von Pfleger i
>  
> Zielfunktion: Minimiere z = [mm]\vektor{20 \\ 15 \\ 30 \\ 40}^T*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
> + [mm]\vektor{30 \\ 35 \\ 40 \\ 45}^T*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}[/mm]
>  
> Nebenbedingungen:
>  (1)    [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}^T*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \ge[/mm]
> 4
>  (2)    [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}^T*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4} \ge[/mm]
> 3
>  (3)    [mm]x_i[/mm] + [mm]y_i \le[/mm] 1  [mm]\forall i\in[/mm] {1,2,3,4}
>  (4)    [mm]\sum_{i=1}^4 x_i \ge[/mm] 1
>  (5)    [mm]\sum_{i=1}^4 y_i \ge[/mm] 1
>  (6)     [mm]x_1-x_2[/mm] = 0
>  (7)     [mm]y_1-y_2[/mm] = 0
>  [mm]x_i,y_i \ge[/mm] 0 [mm]\forall i\in\{1,2,3,4\}[/mm]

[ok]
Es könnte noch vermerkt werden, das [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $y_i$ $\in \IN_0$ [/mm] sind.

>  
>
> Stimmt das??
>  Danke
>  petapahn


Gruß
meili

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