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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 14.03.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{sin²x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] |
Kann mir jemand vielleicht mal helfen bzw sagen wie ich das am besten umforme um L'Hôspital anzuwenden?
Habe mal versucht den einen einheitlichen Bruch draus zu machen:
[mm] \bruch{x²-sin²(x)}{x²sin²(x)}
[/mm]
und hier würden Zähler und Nenner auch gegen 0 gehen,sodass L.H. angewendet werden kann...allerdings komm ich dann auf mega riesige Brüche und auch nach dem 2.Mal ableiten nicht auf das Ergebnis, das [mm] \bruch{1}{3} [/mm] sein soll!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> $ [mm] \bruch{x²-sin²(x)}{x²sin²(x)} [/mm] $
Ok.
Ich denke nach der 4. Ableitung bleiben in Zähler und Nenner je cos(x)-Terme stehen, so dass du deinen Wert erhälst.
Nach dem Ableiten versuche jeweils etwas zu vereinfachen. Z.B: mit [mm] 1=\sin^2+\cos^2 [/mm] , kürzen...
Da es wohl wirklich etwas länger wird, solltest du bei Vorzeichen und Produkregeln besser jeweils noch einen zweiten Blick drauf werfen, um nicht durcheinander zu kommen.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Fr 14.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
fast alle Produktregeln werden umgangen mit 2sinxcosx=sin2x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo leduart, da ich heute Vormittag an dieser Aufgabe schon gerechnet habe, dann aber die Zeit ausging, meine 1. Ableitung ist
[mm] \bruch{-x^{3}*sin(2x)+2sin^{4}(x)}{x^{3}*sin^{4}(x)}
[/mm]
bevor ich weiter rechne, ich habe immer noch [mm] 0^{3} [/mm] bzw. [mm] 0^{4}, [/mm] mit jeder Ableitung vergrößern sich doch aber die Exponenten im Nenner, somit bleibt die Null doch mauerfest?? Oder übersehe ich etwas, was noch vereinfacht oder gkürzt werden kann??
Steffi
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Du hast die Ableitung des ganzen Terms gebildet, aber bei der Regel de l'Hôpital leitest du den Term im Zähler und immer Nenner jeweils einzeln ab und bildest dann wieder den Quotienten.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
(falls [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0}g(x)=0 [/mm] bzw. [mm] \pm\infty [/mm] und [mm] g'(x)\not=0)
[/mm]
Habe mal mit einem CAS die 4. Ableitungen gebildet, bei denen kann man dann x=0 setzen und erhält [mm] \frac{1}{3}. [/mm] Ist also scheinbar nur ein "wenig" Rechenarbeit.
Eine mögliche Version wäre:
[mm] -\frac{cos(2x)}{x^2*cos(2x)+4x*sin(2x)-3cos(2x)}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Na klar, so "einfach" wird die Aufgabe, Danke Steffi
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