Länge einer Kurve < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | (i) Sei g:[a,b] -> [c,d] stetig und monoton wachsend und surjekitv. Ist f: [c,d]-> [mm] R^n [/mm] eine rektifizierbare stetige Kurve, so auch h := f g :[a,b] -> [mm] R^n [/mm] und es gilt L(f) = L(h), wenn hiermit die jeweiligen Längen der betreffenden Kurven bezeichnet werden.
(ii) Sei f:[a,b] -> R³ gegeben durch f(t) = ( r cos(t), r sin(t), ct) mit r>0. Ist die Kurve rektifizierbar? Man berechne gegebenfalls ihre Länge. |
Hallo!
Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen, hab noch schwierigkeiten mir das mit mehreren veränderlichen so alles vorzustellen...
hab mit der (ii) angefangen und diesen satz dazu gefunden:
Jede stetige diffbare Kurve f:[a,b] -> [mm] R^n [/mm] ist rektifizierbar und für ihre Länge gilt: L= [mm] \integral_{a}^{b}{|f'(t)| dt}.
[/mm]
D.h. ich müsste zuerst die stetige diffbarkeit der funktion untersuchen, oder? kann ich da sagen da es jeweils für die einzelnen koordinaten zutrifft stimmt es auch für f(t) ?
dann hab ich versucht f'(t) zu berechnen:
f'(t) = ( - r sin(t), r cos(t), c) stimmt das?
bin etwas verwirrt, weil ich nicht genau weiß, was das r bedeutet? ist das einfach eine konstante?
wenn ja, dann müsste es ja so weitergehen:
|f'(t)|= (r² sin²(t) + r² cos²(t) + c² [mm] )^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{r²+c²} [/mm] da sin²+cos²=1.
dann bekomm ich [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{r²+c²} dt} [/mm] = [mm] \wurzel{r²-c²}(b-a) [/mm] ???
und bei der (i) muss ich zeigen, dass die verkettung stetiger rektifizierbarer kurven wieder stetig refiktizierbar sind? nur wie mach ich das?? *helpless*
vorallem hab ich noch keine idee warum dann auch noch gilt L(f) = L(h), eigentlich müsste doch L(f) kürzer sein...??
viele grüße und vielen dank
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hi riley
> Hallo!
> Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen, hab
> noch schwierigkeiten mir das mit mehreren veränderlichen so
> alles vorzustellen...
> hab mit der (ii) angefangen und diesen satz dazu
> gefunden:
>
> Jede stetige diffbare Kurve f:[a,b] -> [mm]R^n[/mm] ist
> rektifizierbar und für ihre Länge gilt: L=
> [mm]\integral_{a}^{b}{|f'(t)| dt}.[/mm]
>
> D.h. ich müsste zuerst die stetige diffbarkeit der funktion
> untersuchen, oder? kann ich da sagen da es jeweils für die
> einzelnen koordinaten zutrifft stimmt es auch für f(t) ?
genau, dabei ist eine funktion stetig in einem punkt, wenn die komponentenfunktionen in diesem punkt stetig sind. mit differenzierbarkeit ist es analog.wenn du das also ueberprueft hast, kannst du die laenge deiner kurve berechnen.
> dann hab ich versucht f'(t) zu berechnen:
> f'(t) = ( - r sin(t), r cos(t), c) stimmt das?
> bin etwas verwirrt, weil ich nicht genau weiß, was das r
> bedeutet? ist das einfach eine konstante?
ja r ist eine konstante, bei dieser funktion der radius, dazu spaeter.
> wenn ja, dann müsste es ja so weitergehen:
> |f'(t)|= (r² sin²(t) + r² cos²(t) + c² [mm])^{\bruch{1}{2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{r²+c²}[/mm] da sin²+cos²=1.
> dann bekomm ich [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{r²+c²} dt}[/mm] =
> [mm]\wurzel{r²-c²}(b-a)[/mm] ???
du hast alles richtig gemacht. :)
bei dem bsp. das du bekommen hast, handelt es sich um die schraublinie auf einem zylindermantel. dabei ist r der radius und (b-a) deine konstante ganghoehe.
LG Jany :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Jany!!
cool, vielen dank für deine antwort, das freut mich! ;)
nur wie ich das mit der stetigkeit genau aufschreiben muss ist mir noch nicht klar.
>>genau, dabei ist eine funktion stetig in einem punkt, wenn die komponentenfunktionen in diesem punkt stetig sind. mit differenzierbarkeit ist es analog.<<
in welchem punkt muss ich das genau überprüfen?
und hast du mir für teilaufgabe (i) auch noch einen tipp??
vielen dank!!!
gruß riley :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 So 21.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hi riley,
also zu i) weiss ich leider auch nicht, hab selbst erst mit dem thema angefangen..
und zur stetigkeit, da gibts die [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] definition. oder du zeigst es ueber folgenstetigkeit. an sich reicht es immer nen allgemeinen punkt zu nehmen, muss kein konkreter sein. bin mir nicht sicher, ob du einfach sagen kannst, dass die funktion stetig ist, weil ja alle komponentenfunktionen stetig sind.
tut mir leid, dass ich dir da nicht mehr helfen kann.
LG Jany :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 So 21.05.2006 | | Autor: | Riley |
okay, vielen dank für deine tipps!
vielleicht weiß mit der stetigkeit ja noch jemand weiter...
gruß riley :)
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Hallo Riley,
Die Stetigkeit kann man sich in etwa so überlegen. Wenn es für jede einzelne Funktion solch ein [mm] \delta [/mm] passend zu [mm] \epsilon [/mm] gibt nimmt man einfach das kleinste und im [mm] R^n [/mm] die maximum-Norm. Für die Differenzierbarkeit müssen die einzelnen Ableitungen auch stetig sein.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Riley,
Für i) muß man sicher zunächst auf die ![[]](/images/popup.gif) Definition schauen. Sicher ist noch interessant das g eine Zerlegung des Intervalls [a,b] auf eine Zerlegung des Intervalls [c,d] abbildet. Gilt das für jede Zerlegung? Gilt das auch für [mm] g^{-1} [/mm] ?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 01.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi mathemaduenn!
was meinst du gilt für jede zerlegung??
das Intervall [a,b] ist ja kompakt, d.h. g müsste gleichmäßig stetig sein, oder? kann man das dann auch irgendwie über die [mm] \epsilon \delta [/mm] definition hinbekommen?
danke für den link bei wiki... check das aber nicht ganz, wie das dort beschrieben ist... *grübel*
hab aber hier im board die gleiche aufgabe nochmal gefunden
hier
ist aber irgendwie ein andrer lösungsweg...
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> danke für den link bei wiki... check das aber nicht ganz,
> wie das dort beschrieben ist... *grübel*
>
> hab aber hier im board die gleiche aufgabe nochmal gefunden
> hier
> ist aber
> irgendwie ein andrer lösungsweg...
Das ist eigentlich das gleiche.
Du mußt Dir überlegen das [mm]\{ \sum_{i=0}^{k-1}||f(t_i)-f(t_{i+1})|| | k\in\N , c=t_0
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Riley |
okay, danke vielmals für deine hilfe!
viele grüße riley 
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