Lineare Algebra < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 10.10.2016 | | Autor: | Jura86 |
| Aufgabe | | Seien a, b ∈ R gegeben. Berechnen Sie x in Abhängigkeit der gegebenen Parameter: |
Hallo alle zusammen!
Nach langem hin und her rechnen komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Das sind die gegebenen Werte:
[mm] \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/4 \\ a/x \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b \\ 1/3 \\ 2x \end{pmatrix} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -0,5 \\ -12 \end{pmatrix} [/mm]
=
[mm] 6a\left(x+b\right)^2 +\left(\sqrt{b}+1\right) *\left(\sqrt{b}-1\right)
[/mm]
Das sind meine Schritte die ich gemacht habe :
Vektorproduckt gebildet
[mm] \begin{pmatrix} 1/4 \\ a/x \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b \\ 1/3 \\ 2x \end{pmatrix} [/mm]
Skalarproduckt gebildet
[mm] \begin{pmatrix} 2a + 2/3 \\ -2b-1/2x \\ 1/12-a/x*b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1/2 \\ -12 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \left[3\cdot \left(2a+2/3\right) \right] +\left[-1/2\cdot \left(-2b-1/2x\right) \right] +\left[-12\cdot \left(1/12-a/x*b\right) \right]
[/mm]
[mm] \left[3\cdot \left(2a+2/3\right) \right] [/mm] = 6a+2
[mm] \left[-1/2\cdot \left(-2b-1/2x\right) \right] [/mm] = b+1/4x
[mm] \left[-12\cdot \left(1/12-a/x*b\right) \right] [/mm] = -1+(12ab)/x
Ergebnis und gegebene Gleichung gleichgesetzt
[mm] 6a+2+b+1/4x-1+(12ab)/x=6(x+b)^2+(\sqrt{b}+1)(\sqrt{b}-1)
[/mm]
=> [mm] 6ax^2+12axb+6ab^2+b-1
[/mm]
Hier habe ich versucht aufzulösen
[mm] 6a+2+b+1/4x+(12ab)/x=6ax+12axb+6ab^2+b [/mm] |-b
[mm] 6a+2+1/4x+(12ab)/x=6ax^2+12axb+6ab^2
[/mm]
Ab hier weiß ich nicht, was ich weiter machen soll.
Wie komme ich auf das Endergebnis ?
Kann mir jemad die Schritte Zeigen die zum Ergebniss führen ?
Ich weiß auch nicht was die Lösung sein soll :-(
Ich wäre glücklich wenn ihr mir helfen könntet.
Vielen Dank im vorraus!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Mi 19.10.2016 | | Autor: | Jura86 |
Hallo, sorry für die späte Antwort.. manchmal bekomme ich es nicht anders hin..
Also, ja. diese Aufgabe kommt aus dem WiSe 15 /16 der Leibniz Uni Hannover.
Ich kenne diese Caradano Formeln nicht. Ich glaube wir nehmen die auch nicht durch..
kann ich das als Ergebnis so stehen lassen oder sollte man die Funktion auflösen ?
Gibt es eine andere Alternative als diese Cardano Formeln ?
Gruß Jörg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Mi 19.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wie vorher
> Hallo, sorry für die späte Antwort.. manchmal bekomme
> ich es nicht anders hin..
> Also, ja. diese Aufgabe kommt aus dem WiSe 15 /16 der
> Leibniz Uni Hannover.
Ist die Aufgabe wirklich so gestellt ?
>
> Ich kenne diese Caradano Formeln nicht. Ich glaube wir
> nehmen die auch nicht durch..
>
> kann ich das als Ergebnis so stehen lassen
Das würde ich machen.
> oder sollte man
> die Funktion auflösen ?
Ich sehe keine Möglichkeit wie die Gl.
$ [mm] 6a+2+1/4x+(12ab)/x=6ax^2+12axb+6ab^2 [/mm] $
nach x aufgelöst werden kann, das ja a und b nicht konkret gegeben sind.
FRED
> Gibt es eine andere Alternative als diese Cardano Formeln
> ?
>
> Gruß Jörg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mi 19.10.2016 | | Autor: | Jura86 |
| Aufgabe | Ich habe die Frage hier noch einmal Kopiert und eingefügt.
Seien a, b ∈ R gegeben. Berechnen Sie x in Abhängigkeit der gegebenen Parameter:..... |
... und dann kamen die gegebenen Werte.
Wenn da aber steht : Berechnen Sie x dann muss ich doch nach x auflösen. oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mi 19.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe die Frage hier noch einmal Kopiert und
> eingefügt.
> Seien a, b ∈ R gegeben. Berechnen Sie x in Abhängigkeit
> der gegebenen Parameter:.....
> ... und dann kamen die gegebenen Werte.
>
> Wenn da aber steht : Berechnen Sie x dann muss ich doch
> nach x auflösen. oder ?
Ja, aber das ist bei dieser bekloppten Aufgabe kaum möglich.
|
|
|
| |
|
Hallo, Du bist angekommen bei:
[mm] 6ax+2x+\bruch{1}{4}x^2+12ab=6ax^3+12abx^2+6ab^2x
[/mm]
[mm] 0=6ax^3+12abx^2-\bruch{1}{4}x^2+6ab^2x-6ax-2x-12ab
[/mm]
[mm] 0=6ax^3+(12ab-\bruch{1}{4})x^2+(6ab^2-6a-2)x-12ab
[/mm]
sieht doch schon freundlicher aus, jetzt kommt aber nur noch (sinnloser) Rechenaufwand
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Do 20.10.2016 | | Autor: | Jura86 |
Steffi vielen Dank für deine Antwort !!
Ich habe diesen Schritt jedoch nicht verstanden :
[mm] 6ax+2x+\bruch{1}{4}x^2+12ab=6ax^3+12abx^2+6ab^2x
[/mm]
auf der linken Seite, hast du ja alles mal x genommen.
ich komme leider nicht drauf was auf der rechten seite passiert ist.
ich habe für die rechte Seite nämlich : [mm] 6ax^2 +2+b-\bruch{1}{4}x+12axb
[/mm]
bei 6 [mm] ax^2 [/mm] -> 6ax das ist ja durch x teilen
bei 2 -> 2x ist wiederum mal x nehmen
usw..
kannst du mir das erklären welche Regel da mitspielt ?
Vielen Dank im Voraus !!
Gruß Jörg
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] \vektor{\bruch{1}{4} \\ \bruch{a}{x} \\ -2} [/mm] x [mm] \vektor{ b \\ \bruch{1}{3} \\ 2x} [/mm] * [mm] \vektor{ 3 \\ -0,5 \\ -12} [/mm] = [mm] 6a(x+b)^2+(\wurzel{b}+1)*(\wurzel{b}-1)
[/mm]
beginne auf der linken Seite mit dem Kreuzprodukt
[mm] \vektor{2a+\bruch{2}{3} \\ -2b-\bruch{1}{2}x \\ \bruch{1}{12}-\bruch{ab}{x}} [/mm] * [mm] \vektor{ 3 \\ -0,5 \\ -12} [/mm] = [mm] 6a(x+b)^2+(\wurzel{b}+1)*(\wurzel{b}-1)
[/mm]
weiter auf der linken Seite mit dem Skalarprodukt
[mm] 6a+2+b+\bruch{1}{4}x-1+\bruch{12ab}{x} [/mm] = [mm] 6a(x+b)^2+(\wurzel{b}+1)*(\wurzel{b}-1)
[/mm]
weiter auf der rechten Seite, Binomische Formeln
[mm] 6a+2+b+\bruch{1}{4}x-1+\bruch{12ab}{x} [/mm] = [mm] 6a(x^2+2bx+b^2)+b-1
[/mm]
weiter auf der rechten Seite, Klammer auflösen
[mm] 6a+2+b+\bruch{1}{4}x-1+\bruch{12ab}{x} [/mm] = [mm] 6ax^2+12abx+6ab^2+b-1
[/mm]
subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung b, addiere auf beiden Seiten der Gleichung 1
[mm] 6a+2+\bruch{1}{4}x+\bruch{12ab}{x} [/mm] = [mm] 6ax^2+12abx+6ab^2
[/mm]
multipliziere mit [mm] x\not=0
[/mm]
[mm] 6ax+2x+\bruch{1}{4}x^2+12ab [/mm] = [mm] 6ax^3+12abx^2+6ab^2x
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:01 Mo 24.10.2016 | | Autor: | Jura86 |
Hmm,
In der letzten Zeile kann man doch nichts mehr machen oder ?
Wir haben da lauter verschiedene Komponenten.. Wenn ich di Klammern ausmultiplizieren würde, würde ich doch wieder das gleiche stehen haben wie in der zweitletzten Zeile..
Weil du Steffi21 sagst jetzt kommt sinnlose Rechnerei, dann kennst du anscheinend weiteres Verfahren.
Ich sehe da noch eine Term dritten Grades...
Wenn ich mal dumm fragen darf, kann man mit der Polynomdivision weiterkommen ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
wir haben jetzt
>>> [mm] 0=6ax^3+(12ab-\bruch{1}{4})x^2+(6ab^2-6a-2)x-12ab [/mm]
> Hmm,
>
> In der letzten Zeile kann man doch nichts mehr machen oder
> ?
Dort steht jetzt (schön ordentlich sortiert) eine Gleichung 3.Grades,
welche man prinzipiell lösen könnte. Etwa mit den Formeln von Cardano.
Würde ich nicht machen. (Wofür?)
> Weil du Steffi21 sagst jetzt kommt sinnlose Rechnerei,
> dann kennst du anscheinend weiteres Verfahren.
Ich denke einfach, daß auch Steffi meint, daß sich der Aufwand fürs Ausrechnen nicht lohnt.
-------------------------------------------------------------------------
EDIT 1: für a=0 hat man ja eine quadratische Gleichung, deren Lösung einfach ist.
-----------------------------------------------------------------------------------
>
> Ich sehe da noch eine Term dritten Grades...
> Wenn ich mal dumm fragen darf, kann man mit der
> Polynomdivision weiterkommen ?
So dumm ist die Frage ja nicht...
Mit Polynomdivision kommst Du weiter in dem Moment, in welchem es Dir gelungen ist, eine Nullstelle zu finden, etwa durch Raten.
Das habe ich jetzt nicht versucht.
Wenn es bei der Aufgabe nicht um Leben und Tod geht, sondern Du einfach ein bissele für die Lineare Algebra üben möchtest, kannst Du an dieser Stelle getrost abbrechen, ohne etwas zu verpassen.
Wichtig ist die Erkenntnis: es ist eine Gleichung 3.Grades und prinzipiell wäre es möglich, sie zu lösen.
--------------------------------------------------------------------------------
EDIT 2
Ich war etwas neugierig und habe mal rechnen lassen.
Dies ist die reelle Lösung, wenn [mm] a\not=0:
[/mm]
x = (27648 [mm] a^3 b^3+497664 a^3 [/mm] b+8640 [mm] a^2 b^2-82944 a^2 [/mm] b+5184 [mm] a^2+sqrt(4 [/mm] (-576 [mm] a^2 b^2-1728 a^2+96 [/mm] a b-576 [mm] a-1)^3+(27648 a^3 b^3+497664 a^3 [/mm] b+8640 [mm] a^2 b^2-82944 a^2 [/mm] b+5184 [mm] a^2-288 [/mm] a b+1728 [mm] a+2)^2)-288 [/mm] a b+1728 a+2)^(1/3)/(72 2^(1/3) a)-(-576 [mm] a^2 b^2-1728 a^2+96 [/mm] a b-576 a-1)/(36 2^(2/3) a (27648 [mm] a^3 b^3+497664 a^3 [/mm] b+8640 [mm] a^2 b^2-82944 a^2 [/mm] b+5184 [mm] a^2+sqrt(4 [/mm] (-576 [mm] a^2 b^2-1728 a^2+96 [/mm] a b-576 [mm] a-1)^3+(27648 a^3 b^3+497664 a^3 [/mm] b+8640 [mm] a^2 b^2-82944 a^2 [/mm] b+5184 [mm] a^2-288 [/mm] a b+1728 [mm] a+2)^2)-288 [/mm] a b+1728 a+2)^(1/3))-(48 a b-1)/(72 a)
Die beiden anderen (je nach a und b imaginären) Lösungen sehen nicht schöner aus - um Vereinfachungen habe ich mir nicht den Kopf zerbrochen.
--------------------------------------------------------------------------
Nichtsdestotrotz würde mich die Originalaufgabenstellung interessieren. Oder war die Gleichung wirklich so gegeben, oder ist sie bei vorhergehenden Teilaufgaben entstanden?
LG Angela
>
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
