Lineare Teilräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $V$ ein Vektorraum und $ U [mm] \subseteq [/mm] V $ und $ W [mm] \subseteq [/mm] V $ lineare Unterräume von $V$.
i) Sei $ U + W = [mm] \{u + v | u \in U, w \in W\} [/mm] $. Zeige, dass $U+W$ ein linearer Teilraum von $V$ ist. Leite her, dass $U+W$ ein Vektorraum ist.
ii) Zeige, dass $U [mm] \cap [/mm] W$ ein linearer Teilraum von $V$ ist und leite her, dass $U [mm] \cap [/mm] W$ ein Vektorraum ist.
iii) Gib ein Beispiel eines Vektorraumes $V$ und zwei linearen Teilräumen $U$ und $W$, sodass $U [mm] \cup [/mm] W$ kein linearer Teilraum ist (beweise alle deine Behauptungen!) |
Hallo,
die Frustration steigt. Zu i) habe ich wenigstens eine Idee. Zum Rest gar nicht, weil wir bisher nie über Schnittmengen etc. geredet haben. Das kommt jetzt etwas plötzlich, sodass ich nicht weiß, wie ich was tun soll.
Na ja, erst mal zu i). Wenn ich nicht auch das falsch verstanden habe, muss man zeigen, dass das Nullelement in $U+W$ liegt, dass $U+W$ abgeschlossen ist unter Addition und unter Skalarmultiplikation.
Nullelement
Das Nullelement $0$ ist sowohl in $U$ als auch in $W$ enthalten, weil diese Unterräume von $V$ sind. Also kann man sagen, dass
$ [mm] (0_U+0_W) [/mm] = 0 $ gilt.
Addition
Man nehme zwei Elemente [mm] $(u_1+w_1)$ [/mm] und [mm] $(u_2+w_2) \in [/mm] U+W$.
$ [mm] (u_1+w_1)+(u_2+w_2) [/mm] = [mm] \underbrace{(u_1+u_2)}_{\in U}+\underbrace{(w_1+w_2)}_{\in W} [/mm] $.
[mm] $(u_1+u_2)$ [/mm] ist also einfach wieder ein Element aus $U$ und [mm] $(w_1+w_2)$ [/mm] ein Element aus $W$. Man hat also
$ [mm] (u_1+w_1)+(u_2+w_2) [/mm] = u + w$.
Mulitplikation
Man nehme [mm] $(u_1+w_1) \in [/mm] U+W$ und $ a [mm] \in \IR$.
[/mm]
$ [mm] a(u_1+w_1) [/mm] = [mm] \underbrace{au_1}_{\in U}+\underbrace{aw_1}_{\in W} [/mm] $.
Da auch hier [mm] $au_1$ [/mm] wieder in $U$ und [mm] $aw_1$ [/mm] in $W$ liegt, hat man
$ a(u+w) = u + w $.
Mehr krieg ich aber nicht hin... Ich bin dankbar für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mi 08.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
du weißt aber schon, wie die Schnittmenge zweier Menge definiert ist? Wenn du das benutzt, kannst du ähnlich wie in i) die Unterraumaxiome nachprüfen.
bei iii) kannst du z.B. an zwei sich im Ursprung schneidende Geraden denken.
Liebe Grüße
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> Hallo,
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> du weißt aber schon, wie die Schnittmenge zweier Menge
> definiert ist? Wenn du das benutzt, kannst du ähnlich wie
> in i) die Unterraumaxiome nachprüfen.
Waren die Schritte in i) denn richtig? Und die Definition von $A [mm] \cap [/mm] B $ ist ja
$ A [mm] \cap [/mm] B := [mm] \{v | (v \in A) \wedge (v \in B)\} [/mm] $, oder?
Hieran habe ich auch gedacht, aber wie soll ich das dann mit einem Vektor $v$ machen? Muss ich dann voraussetzen, dass er sowohl in $A$ als auch in $B$ liegt?
> bei iii) kannst du z.B. an zwei sich im Ursprung
> schneidende Geraden denken.
>
> Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Mi 08.10.2014 | | Autor: | andyv |
Ja, wenn $v [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$, dann ist $v [mm] \in [/mm] A$ und $v [mm] \in [/mm] B$.
Liebe Grüße
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> Ja, wenn [mm]v \in A \cap B[/mm], dann ist [mm]v \in A[/mm] und [mm]v \in B[/mm].
>
> Liebe Grüße
Ok, dann hab ich jetzt einfach mal vorausgesetzt, dass $ [mm] (v_1 \in [/mm] U) [mm] \wedge (v_1 \in [/mm] W) $, [mm] $(v_2 \in [/mm] U) [mm] \wedge (v_2 \in [/mm] W)$ und $a [mm] \in \IR$.
[/mm]
Nullelement
Das Nullelement liegt sowohl in $U$ als auch in $W$, weil diese beide lineare Teilräume von $V$ sind. Dann gilt also ähnlich wie bei i)
$ (0+0)=0$
Addition
Die Summe der zwei Vektoren [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$, [/mm] die beide sowohl in $U$ als auch in $W$ liegen, ergibt dann einen dritten Vektor [mm] $v_3$, [/mm] der dann auch in $U$ und $W$ liegen muss.
Multiplikation
[mm] $av_1$ [/mm] skaliert den Vektor [mm] v_1 [/mm] und da dieser in $U$ und $W$ liegt, liegt die skalierte Version auch in $U$ und $W$.
Hört sich für mich teilweise selber schwammig an, aber auf mehr komme ich nicht...
Zur dritten Teilaufgabe: Du meintest, ich solle zwei Gerade, die durch den Ursprung gehen, betrachten. Da ich nicht sehr geschickt bin im mathematischen Beweisen, wäre ich dankbar für noch mehr konkretere Hinweise, weil ich sonst schlicht und ergreifend nicht selber drauf komme...
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Do 09.10.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > Ja, wenn [mm]v \in A \cap B[/mm], dann ist [mm]v \in A[/mm] und [mm]v \in B[/mm].
> >
>
> > Liebe Grüße
>
> Ok, dann hab ich jetzt einfach mal vorausgesetzt, dass [mm](v_1 \in U) \wedge (v_1 \in W) [/mm],
> [mm](v_2 \in U) \wedge (v_2 \in W)[/mm] und [mm]a \in \IR[/mm].
Du könntest voraussetzen: [mm] $v_1 \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W, \ [mm] v_2 \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W$.
Aus der Definition von $U [mm] \cap [/mm] W$ folgt dann, was Du vorausgestzt hast.
In der Aufgabe steht nicht, dass V ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist, aber vielleicht
betrachtet ihr nur [mm] $\IR$-Vektorräume, [/mm] dann ist das schon ok.
>
> Nullelement
> Das Nullelement liegt sowohl in [mm]U[/mm] als auch in [mm]W[/mm], weil
> diese beide lineare Teilräume von [mm]V[/mm] sind. Dann gilt also
> ähnlich wie bei i)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm](0+0)=0[/mm]
Aber nicht so.
$0 [mm] \in [/mm] U [mm] \wedge [/mm] 0 [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W$
>
> Addition
> Die Summe der zwei Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm], die beide sowohl
> in [mm]U[/mm] als auch in [mm]W[/mm] liegen, ergibt dann einen dritten Vektor
> [mm]v_3[/mm], der dann auch in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm] liegen muss.
Und damit [mm] $v_3 \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W$.
>
> Multiplikation
> [mm]av_1[/mm] skaliert den Vektor [mm]v_1[/mm] und da dieser in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm]
> liegt, liegt die skalierte Version auch in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm].
Und damit in $U [mm] \cap [/mm] W$.
>
> Hört sich für mich teilweise selber schwammig an, aber
> auf mehr komme ich nicht...
>
> Zur dritten Teilaufgabe: Du meintest, ich solle zwei
> Gerade, die durch den Ursprung gehen, betrachten. Da ich
> nicht sehr geschickt bin im mathematischen Beweisen, wäre
> ich dankbar für noch mehr konkretere Hinweise, weil ich
> sonst schlicht und ergreifend nicht selber drauf komme...
Du könntest $V = [mm] \IR^3$ [/mm] nehmen und $U = [mm] \left\{ \vektor{t \\ 0 \\ 0} : t \in \IR\right\}$, [/mm] $W = [mm] \left\{ \vektor{0 \\ s \\ 0} : s \in \IR\right\}$.
[/mm]
Was gibt $U [mm] \cup [/mm] W$, und was ist mit [mm] $v_1 [/mm] + [mm] v_2$, [/mm] wenn [mm] $v_1 \in [/mm] U$ und [mm] $v_2 \in [/mm] W$?
>
> Vielen Dank.
Gruß
meili
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> Hallo,
>
> > > Ja, wenn [mm]v \in A \cap B[/mm], dann ist [mm]v \in A[/mm] und [mm]v \in B[/mm].
>
> > >
> >
> > > Liebe Grüße
> >
> > Ok, dann hab ich jetzt einfach mal vorausgesetzt, dass [mm](v_1 \in U) \wedge (v_1 \in W) [/mm],
> > [mm](v_2 \in U) \wedge (v_2 \in W)[/mm] und [mm]a \in \IR[/mm].
> Du
> könntest voraussetzen: [mm]v_1 \in U \cap W, \ v_2 \in U \cap W[/mm].
>
> Aus der Definition von [mm]U \cap W[/mm] folgt dann, was Du
> vorausgestzt hast.
> In der Aufgabe steht nicht, dass V ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum ist,
> aber vielleicht
> betrachtet ihr nur [mm]\IR[/mm]-Vektorräume, dann ist das schon
> ok.
>
> >
> > Nullelement
> > Das Nullelement liegt sowohl in [mm]U[/mm] als auch in [mm]W[/mm], weil
> > diese beide lineare Teilräume von [mm]V[/mm] sind. Dann gilt also
> > ähnlich wie bei i)
>
D.h. Teilaufgabe i) ist richtig? :)
>
> >
> > [mm](0+0)=0[/mm]
> Aber nicht so.
> [mm]0 \in U \wedge 0 \in W \Rightarrow 0 \in U \cap W[/mm]
>
> >
> > Addition
> > Die Summe der zwei Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm], die beide
> sowohl
> > in [mm]U[/mm] als auch in [mm]W[/mm] liegen, ergibt dann einen dritten Vektor
> > [mm]v_3[/mm], der dann auch in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm] liegen muss.
> Und damit [mm]v_3 \in U \cap W[/mm].
Kann ich das so formulieren? Das wäre dann ja ein rein logisches Argument, und ich weiß nicht, ob das einfach so gültig ist.
>
> >
> > Multiplikation
> > [mm]av_1[/mm] skaliert den Vektor [mm]v_1[/mm] und da dieser in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm]
> > liegt, liegt die skalierte Version auch in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm].
> Und damit in [mm]U \cap W[/mm].
>
> >
> > Hört sich für mich teilweise selber schwammig an, aber
> > auf mehr komme ich nicht...
> >
> > Zur dritten Teilaufgabe: Du meintest, ich solle zwei
> > Gerade, die durch den Ursprung gehen, betrachten. Da ich
> > nicht sehr geschickt bin im mathematischen Beweisen, wäre
> > ich dankbar für noch mehr konkretere Hinweise, weil ich
> > sonst schlicht und ergreifend nicht selber drauf komme...
> Du könntest [mm]V = \IR^3[/mm] nehmen und [mm]U = \left\{ \vektor{t \\ 0 \\ 0} : t \in \IR\right\}[/mm],
> [mm]W = \left\{ \vektor{0 \\ s \\ 0} : s \in \IR\right\}[/mm].
> Was
> gibt [mm]U \cup W[/mm], und was ist mit [mm]v_1 + v_2[/mm], wenn [mm]v_1 \in U[/mm]
> und [mm]v_2 \in W[/mm]?
Gut, also, wenn ich die o.g. Räume habe und dann einen Vektor $ [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{x\\0\\0} \in [/mm] U$ und einen Vektor $ [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\y\\0} \in [/mm] W$ definiere, dann gilt
[mm] $v_1+v_2=\vektor{x\\0\\0}+\vektor{0\\y\\0}=\vektor{x\\y\\0} [/mm] $.
Da $U [mm] \cup [/mm] W := [mm] \{x | (x \in U) \vee (x \in W)\} [/mm] $, ist [mm] \vektor{x\\y\\0} [/mm] nicht in $U [mm] \cup [/mm] W$, da weder in $U$ noch in $W$. Hätte ich dann Teilaufgabe iii) gelöst? 'Ich' habe ja einen Vektorraum $ V = [mm] \IR^3 [/mm] $ und zwei lineare Unterräume gefunden, deren Vereinigung kein linearer Unterraum ist.
Vielleicht kann ich hier noch eben beweisen, dass $U$ ein linearer Unterraum ist (für $W$ gilt dann eine analoge Vorgehensweise):
Das Nullelement [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] liegt in $U$.
Wenn ich zwei Vektoren aus $U$ nehme, [mm] $v_1 [/mm] = [mm] \vektor{x_1\\0\\0} [/mm] $ und [mm] $v_2 [/mm] = [mm] \vektor{x_2\\0\\0}$, [/mm] dann liegt deren Summe auch in $U$:
$ [mm] \vektor{x_1\\0\\0}+\vektor{x_2\\0\\0}=\vektor{x_1+x_2\\0\\0}$
[/mm]
Für einen Vektor [mm] $v=\vektor{x\\0\\0} \in [/mm] U$ und eine Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass
$ a*v = [mm] \vektor{ax\\0\\0} [/mm] $
auch in $U$ liegt. $U$ ist also ein linearer Unterraum. Selbiges gilt für $W$ (werde ich in der Antwort, die ich abgeben muss, natürlich auch beweisen).
Und noch etwas: Die Aufgaben verlangen ja auch, dass ich ableiten soll, dass die jeweiligen Räume nicht nur lineare Unterräume sind, sondern auch Vektorräume. Muss ich dann alle Axiome, die in Vektorräumen gelten, abarbeiten? Oder kann ich nicht sagen, dass die linearen Unterräume Vektorräume sind, weil sie eben lineare Unterräume eines Vektorraumes $V$ sind?
Liebe Grüße.
>
> >
> > Vielen Dank.
> Gruß
> meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Do 09.10.2014 | | Autor: | andyv |
> > Hallo,
> >
> > > > Ja, wenn [mm]v \in A \cap B[/mm], dann ist [mm]v \in A[/mm] und [mm]v \in B[/mm].
>
> >
> > > >
> > >
> > > > Liebe Grüße
> > >
> > > Ok, dann hab ich jetzt einfach mal vorausgesetzt, dass [mm](v_1 \in U) \wedge (v_1 \in W) [/mm],
> > > [mm](v_2 \in U) \wedge (v_2 \in W)[/mm] und [mm]a \in \IR[/mm].
> > Du
> > könntest voraussetzen: [mm]v_1 \in U \cap W, \ v_2 \in U \cap W[/mm].
>
> >
> > Aus der Definition von [mm]U \cap W[/mm] folgt dann, was Du
> > vorausgestzt hast.
> > In der Aufgabe steht nicht, dass V ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum
> ist,
> > aber vielleicht
> > betrachtet ihr nur [mm]\IR[/mm]-Vektorräume, dann ist das schon
> > ok.
> >
> > >
> > > Nullelement
> > > Das Nullelement liegt sowohl in [mm]U[/mm] als auch in [mm]W[/mm],
> weil
> > > diese beide lineare Teilräume von [mm]V[/mm] sind. Dann gilt also
> > > ähnlich wie bei i)
> >
>
> D.h. Teilaufgabe i) ist richtig? :)
An zwei Stellen hast du =u+w geschrieben, ich schätze du meintest hier [mm] $\in [/mm] U+W$? Ansonsten könnte man das natürlich detallierter machen, indem man zunächst Elemente $u,v [mm] \in [/mm] U+W$ wählt. Diese sind dann, genauso wie du es geschrieben hast, als Summe mit [mm] $u_i \in [/mm] U$, [mm] $w_i \in [/mm] W$ darstellbar nach Definition von U+W.
>
> >
> > >
> > > [mm](0+0)=0[/mm]
> > Aber nicht so.
> > [mm]0 \in U \wedge 0 \in W \Rightarrow 0 \in U \cap W[/mm]
> >
> > >
> > > Addition
> > > Die Summe der zwei Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm], die beide
> > sowohl
> > > in [mm]U[/mm] als auch in [mm]W[/mm] liegen, ergibt dann einen dritten Vektor
> > > [mm]v_3[/mm], der dann auch in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm] liegen muss.
> > Und damit [mm]v_3 \in U \cap W[/mm].
>
> Kann ich das so formulieren? Das wäre dann ja ein rein
> logisches Argument, und ich weiß nicht, ob das einfach so
> gültig ist.
Was genau? Dass die Summe wieder in U und W liegt? Das liegt natürlich daran, dass U, W Vektorräume sind.
>
> >
> > >
> > > Multiplikation
> > > [mm]av_1[/mm] skaliert den Vektor [mm]v_1[/mm] und da dieser in [mm]U[/mm] und
> [mm]W[/mm]
> > > liegt, liegt die skalierte Version auch in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm].
> > Und damit in [mm]U \cap W[/mm].
> >
> > >
> > > Hört sich für mich teilweise selber schwammig an, aber
> > > auf mehr komme ich nicht...
> > >
> > > Zur dritten Teilaufgabe: Du meintest, ich solle zwei
> > > Gerade, die durch den Ursprung gehen, betrachten. Da ich
> > > nicht sehr geschickt bin im mathematischen Beweisen, wäre
> > > ich dankbar für noch mehr konkretere Hinweise, weil ich
> > > sonst schlicht und ergreifend nicht selber drauf komme...
> > Du könntest [mm]V = \IR^3[/mm] nehmen und [mm]U = \left\{ \vektor{t \\ 0 \\ 0} : t \in \IR\right\}[/mm],
> > [mm]W = \left\{ \vektor{0 \\ s \\ 0} : s \in \IR\right\}[/mm].
> >
> Was
> > gibt [mm]U \cup W[/mm], und was ist mit [mm]v_1 + v_2[/mm], wenn [mm]v_1 \in U[/mm]
> > und [mm]v_2 \in W[/mm]?
>
> Gut, also, wenn ich die o.g. Räume habe und dann einen
> Vektor [mm]v_1 = \vektor{x\\0\\0} \in U[/mm] und einen Vektor [mm]v_2 = \vektor{0\\y\\0} \in W[/mm]
> definiere, dann gilt
>
> [mm]v_1+v_2=\vektor{x\\0\\0}+\vektor{0\\y\\0}=\vektor{x\\y\\0} [/mm].
>
> Da [mm]U \cup W := \{x | (x \in U) \vee (x \in W)\} [/mm], ist
> [mm]\vektor{x\\y\\0}[/mm] nicht in [mm]U \cup W[/mm], da weder in [mm]U[/mm] noch in
> [mm]W[/mm].
Zumindest nicht für generische x und y.
Hätte ich dann Teilaufgabe iii) gelöst? 'Ich' habe ja
> einen Vektorraum [mm]V = \IR^3[/mm] und zwei lineare Unterräume
> gefunden, deren Vereinigung kein linearer Unterraum ist.
>
> Vielleicht kann ich hier noch eben beweisen, dass [mm]U[/mm] ein
> linearer Unterraum ist (für [mm]W[/mm] gilt dann eine analoge
> Vorgehensweise):
>
> Das Nullelement [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm] liegt in [mm]U[/mm].
>
> Wenn ich zwei Vektoren aus [mm]U[/mm] nehme, [mm]v_1 = \vektor{x_1\\0\\0}[/mm]
> und [mm]v_2 = \vektor{x_2\\0\\0}[/mm], dann liegt deren Summe auch
> in [mm]U[/mm]:
>
> [mm]\vektor{x_1\\0\\0}+\vektor{x_2\\0\\0}=\vektor{x_1+x_2\\0\\0}[/mm]
>
> Für einen Vektor [mm]v=\vektor{x\\0\\0} \in U[/mm] und eine Zahl [mm]a \in \IR[/mm]
> gilt, dass
>
> [mm]a*v = \vektor{ax\\0\\0}[/mm]
>
> auch in [mm]U[/mm] liegt. [mm]U[/mm] ist also ein linearer Unterraum.
> Selbiges gilt für [mm]W[/mm] (werde ich in der Antwort, die ich
> abgeben muss, natürlich auch beweisen).
>
> Und noch etwas: Die Aufgaben verlangen ja auch, dass ich
> ableiten soll, dass die jeweiligen Räume nicht nur lineare
> Unterräume sind, sondern auch Vektorräume. Muss ich dann
> alle Axiome, die in Vektorräumen gelten, abarbeiten? Oder
> kann ich nicht sagen, dass die linearen Unterräume
> Vektorräume sind, weil sie eben lineare Unterräume eines
> Vektorraumes [mm]V[/mm] sind?
Ja, alle (übrigen) VR-Axiome werden von V geerbt, wobei man noch erwähnen könnte, dass die vermeintlichen Unterräume jeweils Teilmengen von V sind.
>
> Liebe Grüße.
>
> >
> > >
> > > Vielen Dank.
> > Gruß
> > meili
>
Liebe Grüße
|
|
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|
Hallo,
> > D.h. Teilaufgabe i) ist richtig? :)
>
> An zwei Stellen hast du =u+w geschrieben, ich schätze du
> meintest hier [mm]\in U+W[/mm]? Ansonsten könnte man das natürlich
> detallierter machen, indem man zunächst Elemente [mm]u,v \in U+W[/mm]
> wählt. Diese sind dann, genauso wie du es geschrieben
> hast, als Summe mit [mm]u_i \in U[/mm], [mm]w_i \in W[/mm] darstellbar nach
> Definition von U+W.
Ich meinte eigentlich, dass der linke Teil der Gleichungen einfach wieder beliebige andere $u$'s und $w$'s ergibt, die dann auch in $U$ und $W$ liegen. War nur schlecht notiert... Ich hoffe, dass das jetzt nicht alles zunichte macht^^
> > > > Die Summe der zwei Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm], die
> beide
> > > sowohl
> > > > in [mm]U[/mm] als auch in [mm]W[/mm] liegen, ergibt dann einen dritten Vektor
> > > > [mm]v_3[/mm], der dann auch in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm] liegen muss.
> > > Und damit [mm]v_3 \in U \cap W[/mm].
> >
> > Kann ich das so formulieren? Das wäre dann ja ein rein
> > logisches Argument, und ich weiß nicht, ob das einfach so
> > gültig ist.
>
> Was genau? Dass die Summe wieder in U und W liegt? Das
> liegt natürlich daran, dass U, W Vektorräume sind.
Dass die Summe von zwei Vektoren [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] v_2, [/mm] die sowohl in $U$ also auch in $W$ liegen, einen dritten Vektor [mm] $v_3$ [/mm] ergibt, der dann ebenfalls in sowohl $U$ wie $W$ liegen muss (in deren Schnittmenge). Die Frage war, ob das eine gültige Argumentation ist :)
> >
> > Und noch etwas: Die Aufgaben verlangen ja auch, dass ich
> > ableiten soll, dass die jeweiligen Räume nicht nur lineare
> > Unterräume sind, sondern auch Vektorräume. Muss ich dann
> > alle Axiome, die in Vektorräumen gelten, abarbeiten? Oder
> > kann ich nicht sagen, dass die linearen Unterräume
> > Vektorräume sind, weil sie eben lineare Unterräume eines
> > Vektorraumes [mm]V[/mm] sind?
>
> Ja, alle (übrigen) VR-Axiome werden von V geerbt, wobei
> man noch erwähnen könnte, dass die vermeintlichen
> Unterräume jeweils Teilmengen von V sind.
Wenn sie lineare Unterräume von $V$ sind, sind sie doch automatisch auch Teilmengen von $V$, oder nicht?
> >
> > Liebe Grüße.
> >
> > >
> > > >
> > > > Vielen Dank.
> > > Gruß
> > > meili
> >
>
> Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Do 09.10.2014 | | Autor: | andyv |
> Hallo,
>
> > > D.h. Teilaufgabe i) ist richtig? :)
> >
> > An zwei Stellen hast du =u+w geschrieben, ich schätze du
> > meintest hier [mm]\in U+W[/mm]? Ansonsten könnte man das natürlich
> > detallierter machen, indem man zunächst Elemente [mm]u,v \in U+W[/mm]
> > wählt. Diese sind dann, genauso wie du es geschrieben
> > hast, als Summe mit [mm]u_i \in U[/mm], [mm]w_i \in W[/mm] darstellbar nach
> > Definition von U+W.
>
> Ich meinte eigentlich, dass der linke Teil der Gleichungen
> einfach wieder beliebige andere [mm]u[/mm]'s und [mm]w[/mm]'s ergibt, die
> dann auch in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm] liegen. War nur schlecht notiert...
> Ich hoffe, dass das jetzt nicht alles zunichte macht^^
Schlecht notiert - da stimme ich zu.
Du brauchst nicht noch zwei zusätzliche u,w zu definieren.
>
> > > > > Die Summe der zwei Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm], die
> > beide
> > > > sowohl
> > > > > in [mm]U[/mm] als auch in [mm]W[/mm] liegen, ergibt dann einen dritten Vektor
> > > > > [mm]v_3[/mm], der dann auch in [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm] liegen muss.
> > > > Und damit [mm]v_3 \in U \cap W[/mm].
> > >
> > > Kann ich das so formulieren? Das wäre dann ja ein rein
> > > logisches Argument, und ich weiß nicht, ob das einfach so
> > > gültig ist.
> >
> > Was genau? Dass die Summe wieder in U und W liegt? Das
> > liegt natürlich daran, dass U, W Vektorräume sind.
>
> Dass die Summe von zwei Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2,[/mm] die sowohl in
> [mm]U[/mm] also auch in [mm]W[/mm] liegen, einen dritten Vektor [mm]v_3[/mm] ergibt,
> der dann ebenfalls in sowohl [mm]U[/mm] wie [mm]W[/mm] liegen muss (in deren
> Schnittmenge). Die Frage war, ob das eine gültige
> Argumentation ist :)
Schon, zu erwähnen wäre hier, dass U, W Teilräume sind.
> > >
> > > Und noch etwas: Die Aufgaben verlangen ja auch, dass ich
> > > ableiten soll, dass die jeweiligen Räume nicht nur lineare
> > > Unterräume sind, sondern auch Vektorräume. Muss ich dann
> > > alle Axiome, die in Vektorräumen gelten, abarbeiten? Oder
> > > kann ich nicht sagen, dass die linearen Unterräume
> > > Vektorräume sind, weil sie eben lineare Unterräume eines
> > > Vektorraumes [mm]V[/mm] sind?
> >
> > Ja, alle (übrigen) VR-Axiome werden von V geerbt, wobei
> > man noch erwähnen könnte, dass die vermeintlichen
> > Unterräume jeweils Teilmengen von V sind.
>
> Wenn sie lineare Unterräume von [mm]V[/mm] sind, sind sie doch
> automatisch auch Teilmengen von [mm]V[/mm], oder nicht?
Ja, aber wie zeigst du, dass das Teilräume sind? Doch indem du zeigst, dass die Menge nicht leer ist, eine Teilmenge von V ist und bzgl. Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
>
> > >
> > > Liebe Grüße.
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Vielen Dank.
> > > > Gruß
> > > > meili
> > >
> >
> > Liebe Grüße
>
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 13.10.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Ok, ich denke, ich hab's jetzt. Ich danke alles, die mir Tipps gegeben habe, für ihre Hilfe :)
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