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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Do 12.03.2009 | | Autor: | Yukiko |
| Aufgabe | | Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den größten Flächeninhalt hat? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen.
Die Grundseite des Kanals (des Rechtecks) habe ich y genannt.
Die Seitenwände des Kanals (lange Seite Rechteck) habe ich x genannt.
Die Formel für den Gesamtumfang habe ich so aufgestellt:
Halbkreis: [mm] U_{H}= d\*\bruch{\pi}{2} [/mm] (d = y)
Rechteck: [mm] U_{R}= [/mm] 2x+y
Gesamt: [mm] U_{ges}= d\*\bruch{\pi}{2} [/mm] + 2x+y
Dann brauche ich noch die Formel für die Fläche:
[mm] A=x\*y+\bruch{\pi\*r²}{2}
[/mm]
hier: d =y / r =0,5 y
=> [mm] A=x\*y+\bruch{\pi\*(0,5y)²}{2}
[/mm]
Ich wüsste wie ich weitermachen müsste, wenn Zahlen gegeben wären.
Aber hier geht es ja vermutlich um eine allgemein gültige Formel.
Mit Zahlen hätte ich das hier versucht:
1. die Funktion A nach x auflösen
2. den x-Wert in die Ursprungsgleichung A einsetzen
3. davon die erste und zweite Ableitung machen
4. die erste Ableitung gleich Null setzen und damit
5. y rausfinden
6. diesen y-Wert wieder in die ürsprüngliche Gleichung A einsetzen
Wie es jetzt weitergeht weiß ich leider nicht.
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen.
Danke im Voraus
Yukiko
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Hallo, das sieht doch schon sehr gut aus
[mm] u_g_e_s=\bruch{\pi*y}{2}+2x+y [/mm] der Durchmesser vom Kreis entspricht ja y
[mm] A_g_e_s(x,y)=x*y+\bruch{\pi}{8}y^{2} [/mm] sieht doch so schöner aus
jetzt steht in deiner Aufgabe "bei gegeben [mm] u_g_e_s", [/mm] da hast du also eine bekannte Größe, nur das bei dieser Aufgabe eben nicht steht [mm] u_g_e_s= [/mm] .... cm, stellen wir also die 1. Gleichung um
[mm] x=\bruch{u_g_e_s}{2}-\bruch{\pi}{4}y-\bruch{y}{2}
[/mm]
jetzt wie immer einsetzen
[mm] A_g_e_s(y)=(\bruch{u_g_e_s}{2}-\bruch{\pi}{4}y-\bruch{y}{2})*y+\bruch{\pi}{8}y^{2}
[/mm]
jetzt löse mal die Klammern auf und klammere [mm] y^{2} [/mm] aus, bilde die 1. Ableitung, beachte dabei, [mm] u_g_e_s [/mm] ist eine Konstante
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Yukiko |
Hallo Steffi
Bin zwar etwas spät damit, aber ich wollte mich noch für die schnelle Antwort bedanken.
Gruß Hanna
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