Maximales Widerstandsmoment < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | In einem Sägewerk fallen häufig Restschnitte der Abmessungen a und b an, deren Querschnitt nährungsweise durch die Parabel y=mx²+b beschrieben werden kann. Aus diesen Reststücken sollen Kanthölzer mit möglichst großen Widerstandsmoment W=d*h/6 hergestellt werden. Wie groß sind die Seitenlängen d und h zu wählen? |
Hallo zusammen,
bin froh das ich auf dieses Forum getroffen bin, wie ich gesehen hab sind sehr viele hilfsbereite User hier!
Ich häng hier an dieser Extremwertaufgabe und komme einfach nicht weiter.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich nehme an, das:
NB: y=-mx²+b
HB: W=d*h/6 (da maximum)
ZF: NB in HB eingesetzt
Mir fehlt nun der Ansatz wie ich die NB so umformen kann, dass sie mir irgendwas in der ZF bringt. Gehe ich richtig in der Annahme, dass ich bei dieser Aufgabenstellung mit der Hypotenuse von h/2 und d nicht das gewünschte Maximum errechnen kann?
Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar!
MfG Hannelore
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:26 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hannelore,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ist das Widerstandsmoment wirklich mit [mm] $\bruch{d*h}{6}$ [/mm] definiert?
Das müsste m.E. nämlich $W \ = \ [mm] \bruch{d*h^{\red{2}}}{6}$ [/mm] heißen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Sa 27.12.2008 | | Autor: | hannelore |
> Hallo Hannelore,
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> !!
>
>
> Ist das Widerstandsmoment wirklich mit [mm]\bruch{d*h}{6}[/mm]
> definiert?
>
> Das müsste m.E. nämlich [mm]W \ = \ \bruch{d*h^{\red{2}}}{6}[/mm]
> heißen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo Loddar,
mein fehler. Du hast natürlich Recht!
MfG Hannelore
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hannelore!
Dann bin ich ja beruhigt  ...
Ich dachte schon, ich hätte in der Vorlesung "Statik I" vollständig durchgeschlafen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hannelore!
Du benötigst hier keine Hypotenuse (oder andere Dreiecksseiten) ... die Nebenbedingung lautet hier - bedingt durch die vorgegebene Funktionsgleichung:
$$d \ = \ [mm] m*\left(\bruch{h}{2}\right)^2+b$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Danke erstmal für deine schnelle Antwort!
Das f(x)=d mit x = h/2 ist habe ich mir gedacht. Nun fangen aber meine Problemchen mit dieser Aufgabe erst richtig an.
Ist m m = d/(h/2) => m = (2d)/h?
Und dann ist noch die Unbekannte b.
Ich sehe einfach zu viele Unbekannte, die ich nicht Substituieren kann.
Danke schonmal im Voraus!
MfG Hannelore
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hannelore!
Du sollst diese Aufgabe für allgemeine (aber feste) $a_$ und $b_$ lösen. Dafür musst Du zunächst $m_$ ermitteln mit:
[mm] $$y\left(\bruch{a}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\left(\bruch{a}{2}\right)^2+b [/mm] \ = \ 0$$
Forme dies nun nach $m \ = \ ...$ um.
Anschließend verbleiben in Deiner Lösung $a_$ und $b_$ als Parameter, welche man für die Rechnung aber jeweils als Konstanten betrachtet.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Ich blick es immer noch nicht.
also m ergibt:
m = 4b / a²
eingesetzt in :
y = mx²+b
ergibt :
d= ( 4b / (a²) ) * x² + b
setze ich nun für x = h/2 ein und das ganze dann einfach in die ZF?
Danke für deine Hilfe!
MfG Hannelore
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hannelore!
> also m ergibt:
> m = 4b / a²
Nicht ganz: da fehlt ein Minuszeichen!
> d= ( 4b / (a²) ) * x² + b
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Siehe oben. Zudem muss es hier [mm] $\red{y} [/mm] \ = \ ... $ heißen.
> setze ich nun für x = h/2 ein und das ganze dann einfach in die ZF?
Siehe auch meine obige Antwort.
$$d \ = \ [mm] -\bruch{4b}{a^2}*\left(\bruch{h}{2}\right)^2+b$$
[/mm]
Edit: Ich hatte einen Variablendreher drin. Ist nun korrigiert.
Dank an Steffi21 für den Hinweis.
Dies nun in die Zielfunktion einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Sa 27.12.2008 | | Autor: | hannelore |
Danke! Hat mich völlig verwirrt. War gerade dabei dir Frage zu formulieren. ;)
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Moin Loddar, Moin Zusammen,
Kannst du oder ihr mir bitte nochmal helfen.
Ich fasse erst mal kurz meine Ergebnisse zusammen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist das soweit richtig?
Muss ich nun die ZF nach h ableiten, 0 setzen und nach h auflösen?
Danke und Gruss Hannelore!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hannelore!
Ich kann nunmehr nur noch einen Fehler entdecken. In der vorletzten Zeile muss es ganz am Ende [mm] $h^2$ [/mm] und nicht [mm] $\left(\bruch{h}{2}\right)^2$ [/mm] heißen.
Schließlich lautet auch die Formel für das Widerstandsmoment: $W \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*d*h^2$ [/mm] .
Ansonsten stimmt es. Nun diese Zielfunktion $W(h) \ = \ ...$ nach $h_$ ableiten, diese Ableitung gleich Null setzen und nach $h \ = \ ...$ auflösen.
Gruß
Loddar
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Moin Loddar,
Danke für deine schnelle Antwort.
Ich habe h/2 genommen, da ich W für den I. Quadranten berechnen wollte und dann das Ergebnis * 2 nehmen. Wäre das falsch, wenn ja warum?
MfG Hannelore
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hannelore!
Da durch die Formel $W \ = \ [mm] \bruch{1}{6}*d*h^{\red{2}}$ [/mm] der Term $h_$ quadratisch eingeht (und nicht linear), kannst Du hier nicht einfach eine Hälfte betrachten und anschließend verdoppeln.
Gruß
Loddar
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Moin Loddar, Moin zusammen,
eine schwere Geburt. ;)
Ich habe nun folgendes gemacht und es sieht nach nichts sinnvollem aus. Wo liegt mein Fehler?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank und Gruss Hannelore!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
[mm] W(h)=-\bruch{b}{6a^{2}}*h^{4}+\bruch{b}{6}*h^{2}
[/mm]
W'(h)= - [mm] \bruch{2b}{3a^{2}}*h^{3}+\bruch{b}{3}*h
[/mm]
du hast das "minus" leider unterschlagen
[mm] 0=-\bruch{2b}{3a^{2}}*h^{3}+\bruch{b}{3}*h
[/mm]
[mm] \bruch{2b}{3a^{2}}*h^{3}=\bruch{b}{3}*h
[/mm]
jetzt schaffst du es,
Steffi
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Hallo Steffi, Hallo zusammen,
aus dem Minus ist beim abtippen der Rechnung leider ein Plus geworden. In der Gleichung hatte ich aber tatsächlich die 2 wegfallen lassen. Nun sieht es bei mir so aus und ich denke das Ergebnis könnte nun stimmen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank nochmal Loddar und Steffi!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo hannelore,
> Hallo Steffi, Hallo zusammen,
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> aus dem Minus ist beim abtippen der Rechnung leider ein
> Plus geworden. In der Gleichung hatte ich aber tatsächlich
> die 2 wegfallen lassen. Nun sieht es bei mir so aus und ich
> denke das Ergebnis könnte nun stimmen?
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank nochmal Loddar und Steffi!
Gruß
MathePower
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Hallo Steffi, Hallo zusammen,
aus dem Minus ist beim abtippen der Rechnung leider ein Plus geworden. In der Gleichung hatte ich aber tatsächlich die 2 wegfallen lassen. Nun sieht es bei mir so aus und ich denke das Ergebnis könnte nun stimmen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank nochmal Loddar und Steffi!
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Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo hannelore,
> Hallo Steffi, Hallo zusammen,
>
> aus dem Minus ist beim abtippen der Rechnung leider ein
> Plus geworden. In der Gleichung hatte ich aber tatsächlich
> die 2 wegfallen lassen. Nun sieht es bei mir so aus und ich
> denke das Ergebnis könnte nun stimmen?
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Auch das stimmt.
>
> Vielen Dank nochmal Loddar und Steffi!
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:19 So 28.12.2008 | | Autor: | hannelore |
Danke vielmals!
Mfg Hannelore
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