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Messbarkeit von Sandwich-Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Fr 16.10.2020
Autor: Jellal

Hallo zusammen!

Ich stecke gerade in einem Kapitel, dass das Lebesgue Maß auf einem reellen Intervall I einführt.

Ein Zitat:
As a consequence we see that any set E of measure zero [mm] (m^{*}(E) [/mm] = 0) is Lebesgue measurable and m(E) = 0. This important property is called the completeness of Lebesgue measure and is equivalent (by Proposition 2.10 below) to the following: for any two Lebesgue measurable sets A, B with A ⊂ B so that B \ A is a set of measure zero, we have that any set E sandwiched between A and B, A ⊂ E ⊂ B, is automatically Lebesgue measurable.

[mm] m^{*}(A) [/mm] ist das äußere Maß. Das innere Maß wurde definiert als [mm] m_{*}=\Delta [/mm] I - [mm] m^{*}(I\A). [/mm]
Eine Menge ist nun Lebesgue-messbar gdw. [mm] m^{*}(A)=m_{*}(A). [/mm]
Die genannte Proposition sagt, dass Komplemente, endliche Vereinigungen oder Schnittmengen von messbaren Mengen wieder messbar sind.

Ich versuche diese Sandwich-Aussage zu beweisen.
Sei also A ⊂ E ⊂ B mit A,B messbar und [mm] m(A\backslash [/mm] B) = 0.
zz: E ist messbar.

Es gilt stets [mm] m_{*}(E)\le m^{*}(E). [/mm] Ich muss also nur die umgekehrte Ungleichung zeigen.
E = A [mm] \cup ((B\backslash A)\cap [/mm] B), also [mm] m^{*}(E)=m^{*}(A \cup ((B\backslash A)\cap [/mm] B))
Wegen Subadditivität von [mm] m^{*} [/mm] gilt:
[mm] m^{*}(E)\le m^{*}(A) [/mm] + [mm] m^{*}((B\backslash A)\cap [/mm] B)).

Nun ist wegen Monotonie von [mm] m^{*} [/mm] aber [mm] m^{*}((B\backslash A)\cap [/mm] B))=0 und damit [mm] m^{*}(E)\le m^{*}(A). [/mm]
Gleichzeitig aber auch wegen Monotonie  [mm] m^{*}(A)\le m^{*}(E). [/mm] Widerspruch.

Wo ist mein Fehler?

mfG.
Jellal

        
Bezug
Messbarkeit von Sandwich-Menge: Anmerkung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:00 Sa 17.10.2020
Autor: meili

Hallo Jellal,


$E = A [mm] \cup [/mm] ((B/A) [mm] \cap [/mm] B)$ ist nicht ok,
da $A [mm] \subset [/mm] B$, ist $(B/A) [mm] \cap [/mm] B) = B/A$ und $A [mm] \cup [/mm] ((B/A) [mm] \cap [/mm] B) = B$

$E = A [mm] \cup [/mm] ((B/A) [mm] \cap [/mm] E)$
aber, ob das für den Beweis weiter hilft?


gruß
meili


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Bezug
Messbarkeit von Sandwich-Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:49 Mo 19.10.2020
Autor: Jellal

Vielen Dank Meili!

Doch, das hilft, s.u. :)!

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Bezug
Messbarkeit von Sandwich-Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Sa 17.10.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nun ist wegen Monotonie von [mm]m^{*}[/mm] aber [mm]m^{*}((B\backslash A)\cap[/mm]
> B))=0 und damit [mm]m^{*}(E)\le m^{*}(A).[/mm]
>  Gleichzeitig aber
> auch wegen Monotonie  [mm]m^{*}(A)\le m^{*}(E).[/mm] Widerspruch.

Wo ist da ein Widerspruch?
Ich sehe keinen Widerspruch…

> Wo ist mein Fehler?

Bis auf dem Tipp von meilli, der aber am Beweis nix ändert, machst du keinen.
Außer Widersprüche zu sehen, wo keine sind.
Dein Beweisansatz ist zielführend, wenn auch unnötig kompliziert.
Wenn du die zu zeigende Aussage mit deinem Ansatz fertig gezeigt hat, zeig ich dir, wie es schneller geht…

Kleiner Tipp noch… ein [mm] $m^\*$ [/mm] machst du mit m^\*

Gruß,
Gono

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Bezug
Messbarkeit von Sandwich-Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:59 Mo 19.10.2020
Autor: Jellal

Hallo Gono,

ok, jetzt sehe ich auch keinen Widerspruch mehr x)

Nochmal:

[mm] m_\*(E) \le m^\*(E). [/mm]

Andersrum:
Mit Meilis Anmerkung: [mm] m^\*(E)=m^\*(A\cup((B\backslash A)\cap [/mm] E)) [mm] \le m^\*(A) [/mm] + [mm] m^\*((B\backslash A)\cap [/mm] E)) wegen Subadditivität.

Wegen 0 [mm] \le m^\*((B\backslash A)\cap [/mm] E)) [mm] \le m^\*(B\backslash [/mm] A)=0
ist [mm] m^\*(E) \le m^\*(A). [/mm]
Wegen Monotonie aber auch [mm] m^\*(E) \ge m^\*(A), [/mm] also [mm] m^\*(E)=m^\*(A). [/mm]

Dann [mm] m^\*(E)=m^\*(A)=m_\*(A)\le m_\*(E) [/mm] wegen Messbarkeit von A und Monotonie.
Also ist E messbar und tatsächlich m(E)=m(A), was ja auch intuitiv Sinn ergibt, da alles was in B aber nicht in A ist, Maß 0 hat.

Naja, immerhin war meine Idee korrekt.....

Schneller geht es doch sicher, wenn man die erwähnte Proposition irgendwie benutzt. Dazu müsste man E irgendwie ausdrücken durch A und B oder andere messbare Mengen. Aber in dem obigen Ausdruck kommt ja E selbst auch wieder vor, das hilft nicht...

vG.
Jellal


EDIT:
Ich kann ja auch benutzen, dass jede Menge mit äußerem Maß = 0 messbar ist!
Wegen 0 [mm] \le m_\*((B\backslash A)\cap [/mm] E) [mm] \le m^\*((B\backslash A)\cap [/mm] E) [mm] \le m^\*(B\backslash [/mm] A) = 0, ist die Menge [mm] (B\backslash A)\cap [/mm] E messbar und wegen der Proposition dann auch die Vereinigung E = A [mm] \cup ((B\backslash A)\cap [/mm] E).

So?

EDIT2: Dann möchte ich jetzt noch die Rückrichtung zeigen. Also angenommen, die Sandwich-Aussage gilt. Ich will zeigen, mittels Proposition, dass dann jede Menge mit äußerem Maß 0 messbar sein muss.

Nun kann ich schreiben [mm] B\backslash [/mm] A = (E [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] E). Wegen der Proposition sind beide Mengen auf der rechten Seite messbar, so also auch [mm] B\backslash [/mm] A.
Kann ich nun einfach sagen, dass ich zu jeder Menge C mit [mm] m^\*(C)=0 [/mm] Sandwich-Mengen A,B,E finden kann mit C = [mm] B\backslash [/mm] A? Weil dann wäre ich fertig.


Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit von Sandwich-Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Mo 19.10.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich hatte dir ja versprochen, dir zu zeigen, wie es schneller geht… du brauchst nämlich gar keine wilden Mengenverknüpfungen.

Wir haben [mm] $m(B\setminus [/mm] A) = 0 [mm] \gdw [/mm] m(A) = m(B) =: c$
Nun sind das innere und das äußere Maß monoton, wir haben also:

1.) $c = [mm] m_\*(A) \le m_\*(E) \le m_\*(B) [/mm] = c$
2.) $c= [mm] m^\*(A) \le m^\*(E) \le m^\*(B) [/mm] = c$

Daraus folgt [mm] $m_\*(E) [/mm] = [mm] m^\*(E)$ [/mm] und wir sind fertig…
Dein Ansatz ist aber ok und wichtig, denn er funktioniert auch bei unendlichen Mengen, wo wir [mm] $m(B\setminus [/mm] A) = 0 [mm] \gdw [/mm] m(A) = m(B)$ nicht folgern können…

> EDIT2: Dann möchte ich jetzt noch die Rückrichtung
> zeigen. Also angenommen, die Sandwich-Aussage gilt. Ich
> will zeigen, mittels Proposition, dass dann jede Menge mit
> äußerem Maß 0 messbar sein muss.

Also erst mal: Die "Sandwich-Aussage" hat keine Rückrichtung.
Das ist eine Implikation, nämlich: Liegt eine Menge zwischen zwei meßbaren Mengen mit dem gleichen Maß, so ist diese Menge ebenfalls meßbar.

Dass jede Menge mit Maß Null meßbar ist (egal ob sie zwischen zwei Mengen liegt, oder nicht), folgt direkt aus der Bedingung, dass äußeres und inneres Maß für meßbare Mengen gleich sein sollen.
Denn für Mengen mit äußerem Maß Null gilt offenbar:

$0 [mm] \le m_\*(E) \le m^\*(E) [/mm] = 0$ und es folgt [mm] $m_\*(E) [/mm] = [mm] m^\*(E) [/mm] = 0$

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Messbarkeit von Sandwich-Menge: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:21 Mo 19.10.2020
Autor: Jellal

Hallo Gono,

danke für deine Schilderung.


> Also erst mal: Die "Sandwich-Aussage" hat keine
> Rückrichtung.
>  Das ist eine Implikation, nämlich: Liegt eine Menge
> zwischen zwei meßbaren Mengen mit dem gleichen Maß, so
> ist diese Menge ebenfalls meßbar.
>  
> Dass jede Menge mit Maß Null meßbar ist (egal ob sie
> zwischen zwei Mengen liegt, oder nicht), folgt direkt aus
> der Bedingung, dass äußeres und inneres Maß für
> meßbare Mengen gleich sein sollen.
>  Denn für Mengen mit äußerem Maß Null gilt offenbar:
>
> [mm]0 \le m_\*(E) \le m^\*(E) = 0[/mm] und es folgt [mm]m_\*(E) = m^\*(E) = 0[/mm]

Ich meinte Rückrichtung der im Zitat behaupteten Aussage
"Mengen E mit [mm] m^\*(E)=0 [/mm] sind messbar" [mm] \gdw [/mm] "alle E mit A [mm] \subset [/mm] E [mm] \subset [/mm] B mit messbaren A,B und [mm] m^\*(B \backslash [/mm] A)=0 sind messbar".
In meinem Edit1 habe ich die eine Richtung gezeigt. In Edit2 die andere. Aber anscheinend braucht man diese Äquivalenz gar nicht und beide Aussagen folgen von fundamentaleren Annahmen...

Bezug
                                        
Bezug
Messbarkeit von Sandwich-Menge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 21.10.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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