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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Sa 26.01.2013 | | Autor: | dietrina |
| Aufgabe | a) Beweisen sie, mit Hilfe von Vektorgeometrie, dass sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks in der Ebene in einem Punkt treffen.
b) Berechnen sie die Koordinate dieses Punktes (Wählen sie eine Basis) |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2746233350903&set=p.2746233350903&type=1&theater
Ich hoffe das man den link öffnen kann. Dort habe ich bereits angefangen für jede mttelsenkrechte eine Gleichung aufzustellen. Allerdings führt das Gleichsetzen dieser, um den Punkt herauszubekommen, zu keinem Ergebnis.
Hoffentlich kann mir jemand helfen.
Mit freundlichen Grüßen
dietrina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Sa 26.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo dietrina,
leider kann ich deinen Link nicht öffnen.
Vielleicht kannst Du deine Rechnung in deine Frage kopieren.
Es lässt sich dann auch einfacher korrigieren.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Sa 26.01.2013 | | Autor: | dietrina |
Habe die Datei nun einfach angehängt, hoffe das diese bald sichtbar ist.
Lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Sa 26.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Habe die Datei nun einfach angehängt, hoffe das diese bald
> sichtbar ist.
>
> Lg
Sie ist inzwischen.
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Sa 26.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst ja im [mm] \IR^{3} [/mm] durch drei Punkte A B und C eine Ebene eindeutig festlegen.
Also liegen auch die Kanten des Dreiecks ABC in dieser Ebene, und damit auch alle Mittelsenkrechten dieses Dreiecks.
Bestimme also zuerst die Mittelpunkte der Kanten.
Also:
[mm] \overrightarrow{m_{AB}}=\vec{a}+\frac{1}{2}\cdot\overrighgtarrow{AB}=\vec{a}+\frac{1}{2}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=\frac{1}{2}\cdot\vec{a}+\frac{1}{2}\cdot\vec{b}
[/mm]
Berechne nun die anderen Mittelpunkte genauso.
Danach bestimme die Geraden der Mittelsenkrechten. Für die beiden Vektoren dieser Geraden nutze nur die Ortsvektoren der Punkte A, B und C.
Berechne dann die Schnittpunkte dieser Geraden.
Marius
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Das Gleichsetzen der Geradengleichung der Mittelsenkrechten habe ich ja leider nicht hinbekommen. Ich hoffe du kontest sehen was ich bisher gerechnet habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 28.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo dietrina,
Im folgenden seien $A, B, C, [mm] \ldots$ [/mm] Vektoren im [mm] $\IR^2\,,$ $A\bullet [/mm] B$ das Skalarprodukt von $A$ und $B$ und die Strecke [mm] $\overline [/mm] {AB}$ die Menge [mm] $\{A+(B-A)*\lambda\colon 0\le\lambda\le 1\}\,.$
[/mm]
Es gilt: Der Nullvektor liegt genau dann auf der Mittelsenkrechten der Strecke [mm] $\overline [/mm] {EF}$, wenn ${E+F [mm] \over 2}\bullet [/mm] (F-E) = [mm] 0\,.$
[/mm]
Für drei Vektoren $A, B, C$ ergibt sich mit dem Kommutativgesetz und der Bilinearität des Skalarproduktes:
[mm] $(A+B)\bullet(B-A) [/mm] + [mm] (B+C)\bullet(C-B) [/mm] + [mm] (C+A)\bullet(A-C) [/mm] = [mm] 0\,.$
[/mm]
Liegt der Nullvektor auf zwei der Mittelsenkrechten der drei Strecken [mm] $\overline [/mm] {AB}, [mm] \overline [/mm] {BC}, [mm] \overline {CA}\,,$ [/mm] so sind zwei der drei Summanden gleich 0 und damit auch der dritte. Daraus folgt, daß der Nullvektor auch auf der Mittelsenkrechten der dritten Strecke liegt.
Gruß,
Wolfgang
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