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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:43 Di 28.10.2014 | | Autor: | David15 |
| Aufgabe | In einem Stahlwerk werden 2 verschiedene Sorten Stahl hergestellt. Im folgenden die Daten für die beiden Stahlsorten:
- Verkaufspreis je t weichen Stahls: 600 EUR
- Verkaufspreis je t harten Stahls: 800 EUR
Zur Herstellung stehen 2 Typen Eisen zur Verfügung. Die Eigenschaften des Eisens sind wie folgt:
[mm] \vmat{ & Eisen Typ 1 & Eisen Typ 2 \\ PreisProTonne & 200 EUR & 350 EUR \\ verfuegbar & 400 t & 250 t}
[/mm]
Bei der Herstellung muss beachtet werden, dass der weiche Stahl mindestens zu 50% aus Eisen von Typ 1 und mindestens zu 10% aus Eisen von Typ 2 besteht. Genauso besteht harter Stahl zu mindestens 10% aus Eisen von Typ 1 und zu mindestens 60% aus Eisen von Typ 2. Außerdem darf weicher Stahl höchstens 40% Typ B und harter Stahl höchstens 30% Typ A enthalten.
a) Schreiben Sie das entsprechende lineare Programm auf, das Ihren Gewinn maximiert.
b) Nehmen wir nun noch an, dass zusätzlich Kohle zum Preis von 80 EUR je t zur Verfügung steht und zwar insgesamt 1500t. Für jede Tonne Stahl (egal welcher Sorte) werden 3 Tonnen Kohle benötigt. Schreiben Sie das LP auf, dass sich unter diesen Modifikationen ergibt! |
Hallo zusammen!
Ich würde euch gerne mal den Aufgabenteil a) vorrechnen und euch ggf. um Korrekturvorschläge bitten:
1. Schritt: Ich überlege mir, was überhaupt zu entscheiden ist. Dazu definiere ich mir einige Variablen. Diese lauten wie folgt:
- [mm] x_{ij}: [/mm] Menge von Eisensorte [mm] i\in\{1,...,2\} [/mm] für Stahlsorte [mm] j\in\{1,...,2\}
[/mm]
- [mm] y_{i}: [/mm] Menge von Eisensorte [mm] i\in\{1,...,2\}
[/mm]
- [mm] z_{j}: [/mm] Menge von Stahlsorte [mm] j\in\{1,...,2\}
[/mm]
2. Schritt: Dann stelle ich die Zielfunktion auf. Der Gewinn wird ja im Allgemeinen aus der Differenz zwischen Erlösen und Kosten gebildet. Demnach erhalte ich
- max [mm] 600*z_{1}+800*z_{2}-(200*y_{1}+350*y_{2})
[/mm]
3. Schritt: Dann gibt es noch einige Nebenbedingungen, die man dem Text entnehmen kann:
Mischverhältnisse
- [mm] z_{1}\ge0,5y_{1}\wedge{z}_{1}\ge0,1y_{2}
[/mm]
- [mm] {z}_{2}\ge0,1y_{1}\wedge{z}_{2}\ge0,6y_{2}
[/mm]
- [mm] z_{1}\le0,4y_{2} \wedge {z_{2}}\le0,3y_{1}
[/mm]
Verfügbarkeiten
- [mm] y_{1}\le400
[/mm]
- [mm] y_{2}\le250
[/mm]
Beziehung zwischen den Variablen
[mm] \summe_{i=1}^{2}x_{ij}=y_{i}\forall{j}\in\{1,...,2\}
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{2}x_{ij}=z_{j}\forall{i}\in\{1,...,2\}
[/mm]
Nichtnegativität
- [mm] x_{ij},y_{i},z_{j}\ge0\forall{i}\in\{1,...,2\}\wedge{j}\in\{1,...,2\}
[/mm]
Kann man das Ganze so stehen lassen oder gibt es ggf. etwas zu korrigieren? Außerdem würde ich ganz gerne den Umgang mit einer gängigen Software erlernen, mit der ich meine eigene Lösung überprüfen kann. Besonders würde mich zum Beispiel interessieren, mit welcher Software man in der Energiebranche modelliert und optimiert. Was könntet ihr mir das so empfehlen? Danke im Voraus an alle Helfer.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mi 29.10.2014 | | Autor: | meili |
Hallo David15,
> In einem Stahlwerk werden 2 verschiedene Sorten Stahl
> hergestellt. Im folgenden die Daten für die beiden
> Stahlsorten:
>
> - Verkaufspreis je t weichen Stahls: 600 EUR
> - Verkaufspreis je t harten Stahls: 800 EUR
>
> Zur Herstellung stehen 2 Typen Eisen zur Verfügung. Die
> Eigenschaften des Eisens sind wie folgt:
>
> [mm]\vmat{ & Eisen Typ 1 & Eisen Typ 2 \\ PreisProTonne & 200 EUR & 350 EUR \\ verfuegbar & 400 t & 250 t}[/mm]
>
> Bei der Herstellung muss beachtet werden, dass der weiche
> Stahl mindestens zu 50% aus Eisen von Typ 1 und mindestens
> zu 10% aus Eisen von Typ 2 besteht. Genauso besteht harter
> Stahl zu mindestens 10% aus Eisen von Typ 1 und zu
> mindestens 60% aus Eisen von Typ 2. Außerdem darf weicher
> Stahl höchstens 40% Typ B und harter Stahl höchstens 30%
> Typ A enthalten.
>
> a) Schreiben Sie das entsprechende lineare Programm auf,
> das Ihren Gewinn maximiert.
>
> b) Nehmen wir nun noch an, dass zusätzlich Kohle zum Preis
> von 80 EUR je t zur Verfügung steht und zwar insgesamt
> 1500t. Für jede Tonne Stahl (egal welcher Sorte) werden 3
> Tonnen Kohle benötigt. Schreiben Sie das LP auf, dass sich
> unter diesen Modifikationen ergibt!
> Hallo zusammen!
>
> Ich würde euch gerne mal den Aufgabenteil a) vorrechnen
> und euch ggf. um Korrekturvorschläge bitten:
>
>
> 1. Schritt: Ich überlege mir, was überhaupt zu
> entscheiden ist. Dazu definiere ich mir einige Variablen.
> Diese lauten wie folgt:
>
> - [mm]x_{ij}:[/mm] Menge von Eisensorte [mm]i\in\{1,...,2\}[/mm] für
> Stahlsorte [mm]j\in\{1,...,2\}[/mm]
>
> - [mm]y_{i}:[/mm] Menge von Eisensorte [mm]i\in\{1,...,2\}[/mm]
>
> - [mm]z_{j}:[/mm] Menge von Stahlsorte [mm]j\in\{1,...,2\}[/mm]
>
>
> 2. Schritt: Dann stelle ich die Zielfunktion auf. Der
> Gewinn wird ja im Allgemeinen aus der Differenz zwischen
> Erlösen und Kosten gebildet. Demnach erhalte ich
>
> - max [mm]600*z_{1}+800*z_{2}-(200*y_{1}+350*y_{2})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> 3. Schritt: Dann gibt es noch einige Nebenbedingungen, die
> man dem Text entnehmen kann:
>
>
> Mischverhältnisse
>
> - [mm]z_{1}\ge0,5y_{1}\wedge{z}_{1}\ge0,1y_{2}[/mm]
>
> - [mm]{z}_{2}\ge0,1y_{1}\wedge{z}_{2}\ge0,6y_{2}[/mm]
>
> - [mm]z_{1}\le0,4y_{2} \wedge {z_{2}}\le0,3y_{1}[/mm]
Für die Mischungsverhältnisse ist es besser die [mm] $x_{ij}$ [/mm] zu verwenden.
Ausserdem stimmen die Ungleichungen so nicht.
z.B.: Stahlsorte 1 [mm] ($z_1$) [/mm] muss mindestens 50% der Eisensorte 1 und
mindestens 10% , aber höchstens 40% der Eisensorte 2 enthalten.
Das ist dann: [mm] $(x_{1;1} \ge 0,5*z_1) \\ \wedge \\ (0,1*z_1 \le x_{2;1} \le 0,4*z_1)$
[/mm]
>
>
> Verfügbarkeiten
>
> - [mm]y_{1}\le400[/mm]
>
> - [mm]y_{2}\le250[/mm]
>
>
> Beziehung zwischen den Variablen
>
> [mm]\summe_{i=1}^{2}x_{ij}=y_{i}\forall{j}\in\{1,...,2\}[/mm]
>
> [mm]\summe_{j=1}^{2}x_{ij}=z_{j}\forall{i}\in\{1,...,2\}[/mm]
Aber einfacher und klarer:
[mm] $x_{1;1} [/mm] + [mm] x_{1;2} [/mm] = [mm] y_1$
[/mm]
[mm] $x_{2;1} [/mm] + [mm] x_{2;2} [/mm] = [mm] y_2$
[/mm]
[mm] $x_{1;1} [/mm] + [mm] x_{2;1} [/mm] = [mm] z_1$
[/mm]
[mm] $x_{1;2} [/mm] + [mm] x_{2;2} [/mm] = [mm] z_2$
[/mm]
>
>
> Nichtnegativität
>
> -
> [mm]x_{ij},y_{i},z_{j}\ge0\forall{i}\in\{1,...,2\}\wedge{j}\in\{1,...,2\}[/mm]
>
>
> Kann man das Ganze so stehen lassen oder gibt es ggf. etwas
> zu korrigieren? Außerdem würde ich ganz gerne den Umgang
> mit einer gängigen Software erlernen, mit der ich meine
> eigene Lösung überprüfen kann. Besonders würde mich zum
> Beispiel interessieren, mit welcher Software man in der
> Energiebranche modelliert und optimiert. Was könntet ihr
> mir das so empfehlen? Danke im Voraus an alle Helfer.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 30.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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