Nichtlineares LGS Newton < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Do 17.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
| Aufgabe | Guten Abend ,
habe gerade Probleme bei dieser Aufgabe:
Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem
min[mm] g(x) = \wurzel{x^2+1} + 5 [/mm]
Welches nichtlineare Gleichungssystem G(x) = 0 muss dafür gelöst werden? Überprüfen Sie,
ob es sich um ein Minimum handelt.
Gleichungssystem für Newton-Verfahren?
Ansatz :
[mm] g`(x) = x*(x^2 + 1)^{-1/2} [/mm]
[mm] g``(x) =\bruch{1}{\wurzel{x^2+1} } -\bruch{x^2}{(x^2+1)^{3/2}[/mm]
Wisst ihr wie ich hier genau weiter vorgehen muss?
Was wollen die bei der a) noch von mir?
b)Berechnen Sie einen Schritt des Newtonverfahrens, d.h. x^(1), ausgehend vom Startpunkt
x^(0) = 0.5, um eine Näherung für die Lösung von G(x) = 0 zu bestimmen |
Habe nicht gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 Fr 18.03.2022 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem
>
> min[mm] g(x) = \wurzel{x^2+1} + 5[/mm]
> Welches nichtlineare
> Gleichungssystem G(x) = 0 muss dafür gelöst werden?
> Überprüfen Sie,
> ob es sich um ein Minimum handelt.
> Gleichungssystem für Newton-Verfahren?
>
> Ansatz :
>
> [mm]g'(x) = x*(x^2 + 1)^{-1/2}[/mm]
>
> [mm]g''(x) =\bruch{1}{\wurzel{x^2+1} } -\bruch{x^2}{(x^2+1)^{3/2}[/mm]
Anderer Ansatz:
g(x) ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert, überall differenzierbar, auf [mm] $(-\infty [/mm] , 0)$ streng monoton fallend, auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] streng monoton steigend und achsensymmetrisch zur y-Achse. Also hat sie bei x = 0 ein (absolutes und lokales) Minimum. Also muß keine Gleichung und schon gar kein Gleichungssystem gelöst werden.
>
>
> Wisst ihr wie ich hier genau weiter vorgehen muss?
> Was wollen die bei der a) noch von mir?
>
>
> b)Berechnen Sie einen Schritt des Newtonverfahrens, d.h.
> x^(1), ausgehend vom Startpunkt
> x^(0) = 0.5, um eine Näherung für die Lösung von G(x)
> = 0 zu bestimmen
Aufgabenteil b) wäre hier wegen a) oder auch wegen des 'Nullproduktsatzes' reine Beschäftigungstherapie. Aber wie Newton geht, weißt du ja inzwischen :)
Gruß aus HH
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Fr 18.03.2022 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Ansatz:
Ich denke, man kann sehen, dass für die Funktion $ g(x) = [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] + 5 $ gilt:
$g(x) [mm] \ge [/mm] 6$ für alle reellen $x$, denn [mm] $x^2 [/mm] +1 [mm] \ge [/mm] 1.$
Weiter ist $g(0)=6.$
Somit hat $g$ in $x=0$ ihr absolutes Minimum.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 18.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
Weil 6 >0 ist daher Minimum oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Fr 18.03.2022 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Frage ist unverständlich, dass g bei x=0 ein min hat hat nichts mit 6>0 zu tun, wäre [mm] g(x)=\sqrt(x^2+1)-5 [/mm] damit g(0)=-4<0 wäre das Min noch immer bei x=0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 20.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
bei der b) so vorgehen?
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_0 [/mm] - (F(0))/(F`(0)) = 0- 6/1 = 6
[mm] x_2 [/mm] = 6 - F(6)/F`(6) = ....
So vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 So 20.03.2022 | | Autor: | statler |
> bei der b) so vorgehen?
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_0[/mm] - (F(0))/(F'(0)) = 0- 6/1 = 6
>
> [mm]x_2[/mm] = 6 - F(6)/F'(6) = ....
>
> So vorgehen?
Nee! Gesucht ist eine Nullstelle von g'. Also so: [mm] $x_{1} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] - [mm] \frac{g'(x_{0})}{g''(x_{0})} [/mm] = ...$,
und die Vorgabe war [mm] $x_{0} [/mm] = 0,5$.
Damit bist du fertig, weil nur eine Iteration gefordert war.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 20.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
Woher weisst du das eine Näherung von g` gesucht ist ?
Mir ist das nicht so klar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:23 Mo 21.03.2022 | | Autor: | fred97 |
geht es denn nicht um die Gleichung $g'=0$ ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mo 21.03.2022 | | Autor: | Nash33 |
Die Aufgabe ist so wie geschrieben ? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mo 21.03.2022 | | Autor: | fred97 |
> Die Aufgabe ist so wie geschrieben ? :)
Für die Minimierung von g, soll also die Gleichung $g'=0$ gelöst werden.
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g(x) = [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] + 5
Wenn es sich hier um das Einüben von Analysis und Newton-Verfahren handelt - ok, dann blasen wir das Ganze entsprechend auf.
Ansonsten: 5 speilt keine Rolle. Eine Wurzel hat den kleinsten Wert, wenn der Radikand den kleinsten Wert hat, aber nicht negativ ist. [mm] x^2 [/mm] ist immer positiv oder Null, also bei 0 am kleinsten, die 1 spielt auch keine Rolle mehr. Also liegt bei x=0 ein Minimum vor. Stoff der Klasse 9 oder so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Di 22.03.2022 | | Autor: | meili |
Hallo Nash33,
> Guten Abend ,
> habe gerade Probleme bei dieser Aufgabe:
> Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem
>
> min[mm] g(x) = \wurzel{x^2+1} + 5[/mm]
> Welches nichtlineare
> Gleichungssystem G(x) = 0 muss dafür gelöst werden?
> Überprüfen Sie,
> ob es sich um ein Minimum handelt.
> Gleichungssystem für Newton-Verfahren?
>
> Ansatz :
>
> [mm]g'(x) = x*(x^2 + 1)^{-1/2}[/mm]
>
> [mm]g''(x) =\bruch{1}{\wurzel{x^2+1} } -\bruch{x^2}{(x^2+1)^{3/2}[/mm]
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>
> Wisst ihr wie ich hier genau weiter vorgehen muss?
> Was wollen die bei der a) noch von mir?
Leider hast du nicht geschrieben was a) ist.
Aber ich nehme an es ist " Welches nichtlineare Gleichungssystem G(x) = 0 muss dafür gelöst werden?"
Dafür hast du in deinem Ansatz richtig die erste und zweite Ableitung von g
hingeschrieben, aber für ein Gleichungssystem fehlt noch:
g'(x) = 0
g''(x) > 0
Dann wird auch klar, dass das Nwetonverfahren auf g'(x) = 0 angewendet werden soll.
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>
> b)Berechnen Sie einen Schritt des Newtonverfahrens, d.h.
> x^(1), ausgehend vom Startpunkt
> x^(0) = 0.5, um eine Näherung für die Lösung von G(x)
> = 0 zu bestimmen
> Habe nicht gestellt
Gruß
meili
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