www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Normen
Normen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Normen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Sa 19.05.2012
Autor: AntonK

Aufgabe
Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt <*,*> und sei ||*|| die zugehörige Norm [mm] ||v||=\sqrt{}. [/mm] Zeigen Sie

[mm] ||v+w||^2+||v-w||^2=2(||v||^2+||w||^2) [/mm] für alle v,w [mm] \in [/mm] V.

Guten Tag,

habe diese Aufgabe und wollte so beginnen:

[mm] ||v+w||^2+||v-w||^2=\sqrt{}+\sqrt{} [/mm]

Nun meine Frage:

[mm] =(v_1+w^1)^2+(v_2+w^2)^2+(v_3+w^3)^2... [/mm]

Ich muss doch jeden Wert mit sich selbst multiplizieren und dann addieren, richtig? Bringt es mir etwas, dass so zu schreiben?

Danke schonmal!

        
Bezug
Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Sa 19.05.2012
Autor: Fulla

Hallo AntonK,

> Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt <*,*>
> und sei ||*|| die zugehörige Norm [mm]||v||=\sqrt{}.[/mm]
> Zeigen Sie
>  
> [mm]||v+w||^2+||v-w||^2=2(||v||^2+||w||^2)[/mm] für alle v,w [mm]\in[/mm]
> V.
>  Guten Tag,
>  
> habe diese Aufgabe und wollte so beginnen:
>  
> [mm]||v+w||^2+||v-w||^2=\sqrt{}+\sqrt{}[/mm]
>  
> Nun meine Frage:
>  
> [mm]=(v_1+w^1)^2+(v_2+w^2)^2+(v_3+w^3)^2...[/mm]
>  
> Ich muss doch jeden Wert mit sich selbst multiplizieren und
> dann addieren, richtig? Bringt es mir etwas, dass so zu
> schreiben?

da nicht angegeben ist, welches Skalarprodukt hier gemeint ist, geht das so nicht. Du benutzt das Standardskalarprodukt, aber du sollst die Aussage für ein beliebiges Skalarprodukt zeigen.

Benutze also die allgemeinen []Eigenschaften und beginne mit
[mm]\left\| v+w\right\|^2=\langle v+w, v+w\rangle=\langle v,v+w\rangle + \langle w,v+w\rangle[/mm]


Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
                
Bezug
Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Sa 19.05.2012
Autor: AntonK

Aufgabe
Sei [mm] V=\IR^n, n\ge2. [/mm] Wir definieren

[mm] ||v||_\infty:=max_i|v_i| [/mm] für [mm] v=(v_1,...,v_n)\in\IR [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] ||*||\infty [/mm] eine Norm auf V ist, dass es jedoch kein Skalarprodukt [mm] $\langle [/mm] *,* [mm] \rangle$ [/mm] auf V gibt mit [mm] ||v||=\sqrt{\langle v,v \rangle} [/mm] für alle v.

Ah, ok, verstehe, also:

$ [mm] \left\| v+w\right\|^2=\langle [/mm] v+w, [mm] v+w\rangle=\langle v,v+w\rangle [/mm] + [mm] \langle w,v+w\rangle= \langle [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] v,w [mm] \rangle+\langle [/mm] w,v [mm] \rangle+\langle [/mm] w,w [mm] \rangle [/mm] $

$ [mm] \left\| v-w\right\|^2=\langle [/mm] v-w, [mm] v-w\rangle=\langle v,v-w\rangle [/mm] - [mm] \langle w,v-w\rangle=\langle [/mm] v,v [mm] \rangle [/mm] - [mm] \langle [/mm] v,w [mm] \rangle-\langle [/mm] w,v [mm] \rangle+\langle [/mm] w,w [mm] \rangle [/mm] $

Beides zusammen ergibt:

[mm] $\left\| v+w\right\|^2+\left\| v-w\right\|^2=2\langle [/mm] v,v [mm] \rangle+2\langle [/mm] w,w [mm] \rangle=2(\langle [/mm] v,v [mm] \rangle+\langle [/mm] w,w [mm] \rangle)=2(||v||^2+||w||^2)$ [/mm]

Ok, das passt, danke bis dahin!

Habe oben noch den 2. Teil der Aufgabe hinzugefügt, und direkt ein paar Fragen:

[mm] ||v||_\infty [/mm] ist doch eigentlich die Supremungsnorm oder? Was sagt mir das?

Danke schonmal!

Bezug
                        
Bezug
Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Sa 19.05.2012
Autor: SEcki


> [mm]||v||_\infty[/mm] ist doch eigentlich die Supremungsnorm oder?
> Was sagt mir das?

Das, was dar steht - es ist in der Aufageb definiert worden!

SEcki


Bezug
                                
Bezug
Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Sa 19.05.2012
Autor: AntonK

Das heißt doch einfach, dass ich mir den Betragsmäßig größten Vektor aus der Norm picke, richtig?

Ich bin noch ziemlich grün hinter den Ohren in dem Thema, will hier keine Lösung haben, nur mal einen Anhaltspunkt, weil ich mir unter der Aufgabe so nicht vorstellen kann. ||*|| heißt ja nur, dass ich einen Vektorraum auf die reellen Zahlen abbilde, wobei ich x auf die Norm von x abbilde. Wobei die Norm definiert ist als [mm] $\sqrt{\langle v,v \rangle}$, [/mm] also den Abstand.

Aber wie genau zeige ich, dass etwas eine Norm auf V ist? Meine Idee wäre es diese Kriterien zu nutzen, Definitheit und Co.

Bezug
                                        
Bezug
Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:07 So 20.05.2012
Autor: meili

Hallo,

> Das heißt doch einfach, dass ich mir den Betragsmäßig
> größten Vektor aus der Norm picke, richtig?

Vielleicht meinst Du das richtige, aber so ist es sehr verquer formuliert.

Der Betrag, der betragsmäßig größte Komponente des Vektors, gibt
den Wert der Norm des Vektors bei der Supremumsnorm.
$ [mm] ||v||_\infty:=max_i|v_i| [/mm] $ für $ [mm] v=(v_1,...,v_n)\in\IR^n [/mm] $

>  
> Ich bin noch ziemlich grün hinter den Ohren in dem Thema,
> will hier keine Lösung haben, nur mal einen Anhaltspunkt,
> weil ich mir unter der Aufgabe so nicht vorstellen kann.
> ||*|| heißt ja nur, dass ich einen Vektorraum auf die
> reellen Zahlen abbilde, wobei ich x auf die Norm von x
> abbilde.

Soweit richtig, mit der Einschränkung: Bei einer Norm wird nach [mm] $\IR_0^+$ [/mm] abgebildet.
Und diese Abbildung muss die Eigenschaften (Axiome)
Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllen.
Siehe []Definition Norm.

> Wobei die Norm definiert ist als [mm]\sqrt{\langle v,v \rangle}[/mm],
> also den Abstand.

Nein.
Es gibt zwar Normen [](induzierte Normen), die diese Eigenschaft erfüllen.
Es gibt aber auch Normen, die nicht von einem Skalarprodukt abgeleitet sind;
und es auch kein Skalarprodukt <.,.> gibt,
das  $ [mm] ||v||=\sqrt{\langle v,v \rangle} [/mm] $ für alle v [mm] $\in$ [/mm] V erfüllt.

Bei dieser Aufgabe sollst Du zeigen, dass die Supremumsnorm solch ein
Beispiel ist.

>  
> Aber wie genau zeige ich, dass etwas eine Norm auf V ist?
> Meine Idee wäre es diese Kriterien zu nutzen, Definitheit
> und Co.

[ok]

Gruß
meili

Bezug
                                                
Bezug
Normen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 So 20.05.2012
Autor: AntonK

Verstehe, danke!

Ok, die "Axiome" zu zeigen sollte kein Problem sein, versuch ich gleich mal.

Wie zeige ich aber, dass kein Skalarprodukt existiert, da bräuchte ich noch einen Tipp, bitte.

Danke nochmal.

Bezug
                                                        
Bezug
Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 So 20.05.2012
Autor: SEcki


> Wie zeige ich aber, dass kein Skalarprodukt existiert, da
> bräuchte ich noch einen Tipp, bitte.

1. Teil, also deine erste Frage.

SEcki


Bezug
                                                                
Bezug
Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 So 20.05.2012
Autor: AntonK

Ich verstehe nicht, was du meinst... welchen ersten Teil meinst du? Mir ist nicht bewusst, wie man bei sowas beginnt, sicherlich spielt Cauchy-Schwarz eine Rolle oder?

Habe nun zumindest bewiesen, dass es eine Norm auf V ist.

Bezug
                                                                        
Bezug
Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 So 20.05.2012
Autor: meili

Hallo,
> Ich verstehe nicht, was du meinst... welchen ersten Teil
> meinst du? Mir ist nicht bewusst, wie man bei sowas
> beginnt, sicherlich spielt Cauchy-Schwarz eine Rolle oder?

Cauchy-Schwarz gilt unter der Vorraussetzung, dass die Norm von einem
Skalarprodukt induziert wird.

>  
> Habe nun zumindest bewiesen, dass es eine Norm auf V ist.

Ok, damit ist der erste Teil der 2. Aufgabe erledigt.

Um zu zeigen, dass es kein Skalarprodukt $ [mm] \langle \cdot{},\cdot{} \rangle [/mm] $ auf V gibt mit $ [mm] ||v||_{\infty}=\sqrt{\langle v,v \rangle} [/mm] $ für alle v [mm] $\in$ [/mm] V,
hilft die []Parallelogrammgleichung bzw. der Satz von Jordan-von Neumann.

Wenn Du den Satz nicht direkt verwenden kannst, weil ihr ihn vielleicht noch nicht hattet,
kannst Du vielleicht aus dem []Beweis das gewünschte zusammen basteln.

Gruß
meili


Bezug
                                                                                
Bezug
Normen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:32 Mo 21.05.2012
Autor: AntonK

Ich denke, ich habe es nun, danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de