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| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN [/mm] und p [mm] \in\IN. [/mm] Zu x [mm] \in \IR^{n} [/mm] definiert man:
[mm] ||x||_{p} :=(\summe_{k=1}^{n}|x_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}},
[/mm]
[mm] ||x||_{\infty}:=max_{k=1,...,n} |x_{k}|
[/mm]
a) Beweisen Sie:
[mm] ||\*||_{p} [/mm] und [mm] ||\*||_{\infty} [/mm] sind Normen auf [mm] \IR^{n} [/mm] |
Hallo zusammen,
meine Fragen zu der Aufgabe sind erstmal sehr allgemein, weil ich noch Probleme habe, die Frage wirklich zu verstehen:
Gegeben ist irgendein x aus einem Vektorraum [mm] \IR^{n}, [/mm] wobei n die Dimension ist. Die Norm also die in einem Vekorraum definierte Länge von x, also
[mm] ||x||_{p} [/mm] wird hier definiert als [mm] (\summe_{k=1}^{n}|x_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}} [/mm] mit der Zusatzinformation:
[mm] ||x||_{\infty}:=max_{k=1,...,n} |x_{k}|
[/mm]
Das sind mal meine Rahmenbedingungen, oder?
Jetzt versuche ich ungefähr zu verstehen, was es damit auf sich hat:
n= Dimension des Vektorraumes
was bedeutet der Index „p“?
Was bedeutet der Index „k“?
Und was bedeutet ist in „einfachen“ Worten überhaupt diese Definition von Der Norm von x?
Das steht grade wie eine riesen Wand vor mir, weil ich fast nichts damit Anfangen kann, da ich es nicht sinnvoll mit meinem Wissen zu einer Norm verknüpfen kann.
Und zu der Aufgabe selbst:
Was soll ich mit [mm] "||\*||_{p} [/mm] und [mm] ||\*||_{\infty} [/mm] sind Normen“ eigentlich zeigen? Was ist [mm] "||\*||_{p}“ [/mm] denn für eine Norm?-Norm eines Punktes?=)
Wäre für Hilfe wirklich sehr dankbar!
Danke schonmal im Voraus an alle!
Liebe Grüße
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Hallo Theoretix,
> Seien n [mm]\in \IN[/mm] und p [mm]\in\IN.[/mm] Zu x [mm]\in \IR^{n}[/mm] definiert
> man:
>
> [mm]||x||_{p} :=(\summe_{k=1}^{n}|x_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}},[/mm]
>
>
> [mm]||x||_{\infty}:=max_{k=1,...,n} |x_{k}|[/mm]
>
> a) Beweisen Sie:
>
> [mm]||\*||_{p}[/mm] und [mm]||\*||_{\infty}[/mm] sind Normen auf [mm]\IR^{n}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> meine Fragen zu der Aufgabe sind erstmal sehr allgemein,
> weil ich noch Probleme habe, die Frage wirklich zu
> verstehen:
>
> Gegeben ist irgendein x aus einem Vektorraum [mm]\IR^{n},[/mm] wobei
> n die Dimension ist. Die Norm also die in einem Vekorraum
> definierte Länge von x, also
> [mm]||x||_{p}[/mm] wird hier definiert als
> [mm](\summe_{k=1}^{n}|x_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}}[/mm] mit der
> Zusatzinformation:
> [mm]||x||_{\infty}:=max_{k=1,...,n} |x_{k}|[/mm]
>
> Das sind mal meine Rahmenbedingungen, oder?
Sagen wir besser so:
Für jedes [mm]p\in\IN[/mm], also [mm]p=1,2,3,....[/mm] wird durch [mm]||x||_p[/mm] wie oben definiert eine Norm definiert.
[mm]\infty[/mm] ist ja keine Zahl, daher definiert man [mm]||x||_{\infty}:=\max\limits_{k\in\{1,...,n\}}\{|x_k|\}[/mm]
>
> Jetzt versuche ich ungefähr zu verstehen, was es damit auf
> sich hat:
> n= Dimension des Vektorraumes
> was bedeutet der Index „p“?
Das ist eine natürliche Zahl
> Was bedeutet der Index „k“?
Das ist der Laufindex über die [mm]n[/mm] Vektorkomponenten im [mm]\IR^n[/mm]
Nehmen wir an, du hast den [mm]\IR^3[/mm] und [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{-1\\
3\\
-4}\in\IR^3[/mm]
Dann ist [mm]||x||_{\infty}=\max\limits_{k=1,2,3}\{|x_k|\}=\max\{|-1|,|3|,|-4|\}=4=|x_3|[/mm]
Für [mm]p=2[/mm] hast du im [mm]\IR^n[/mm] die euklidische Norm:
Die kennst du aus dem [mm]\IR^2[/mm] und [mm]\IR^3[/mm]
Im [mm]\IR^2[/mm]: Mit [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2}\in\IR^2[/mm] ist [mm]||x||_2=\left( \ \sum\limits_{k=1}^{2}|x_k|^2 \ \right)^{\frac{1}{2}}[/mm]
[mm]=\sqrt{x_1^2+x_2^2}[/mm]
Kommt dir das bekannt vor?
Wie sieht die [mm]1[/mm]-Norm aus? Sagen wir im [mm]\IR^3[/mm]
[mm]\left|\left|\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}\right|\right|_1 \ = \ \left(\sum\limits_{k=1}^{3}|x_k|^1\right)^{\frac{1}{1}} \ = \ |x_1|+|x_2|+|x_3|[/mm]
>
> Und was bedeutet ist in „einfachen“ Worten überhaupt
> diese Definition von Der Norm von x?
>
> Das steht grade wie eine riesen Wand vor mir, weil ich fast
> nichts damit Anfangen kann, da ich es nicht sinnvoll mit
> meinem Wissen zu einer Norm verknüpfen kann.
>
> Und zu der Aufgabe selbst:
>
> Was soll ich mit [mm] src=" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%2520src%253D%24$" _cke_realelement="true">" _cke_realelement="true" render?d='108&s=![$%24[/mm]"']() und ![[/mm][mm]]()
> Normen“ eigentlich zeigen? Was ist <IMG class=latex alt=" <span?><IMG class=latex alt="[/mm]" _cke_realelement="true" render?d='108&s=[mm]%24[/mm]"' teximg.matheraum.de http:></SPAN><IMG class=latex alt="[/mm]<br">
Also hier: [mm]||\bullet||_p:\IR^n\to\IR^{\ge 0}, x\mapsto ||x||_p=\ldots[/mm] siehe die Def. oben
analog für die [mm]\infty[/mm]-Norm
Zeigen musst du die Normeigenschaften.
Dazu müsst ihr doch was aufgeschrieben haben ...
Sehr schön und anschaulich ist auch der Wikipediaartikel
http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum
Da sind sogar die Einheitsbälle bzgl. verschiedener [mm]p[/mm]-Normen dargestellt.
Lies dir das mal durch, dort stehen auch die zu zeigenden Normeigenschaften ...
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> Wäre für Hilfe wirklich sehr dankbar!
>
> Danke schonmal im Voraus an alle!
>
> Liebe Grüße
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Das „p“ macht mir noch ein bisschen zu schaffen:
Was bedeutet es denn für ein Element aus einem Vektorraum verschiedene Normen für p=1,2.... zu definieren?
Also der Norm Begriff ist doch mehr oder weniger ein abstrakter Längenbegriff also etwas „absolutes“...wieso kann man denn nun p variieren und erhält dann eine 1-Norm, 2-Norm...etc-was bedeutet das?
Wäre schön, wenn mir das jemand beantworten könnte!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
>
> Das „p“ macht mir noch ein bisschen zu schaffen:
>
> Was bedeutet es denn für ein Element aus einem Vektorraum
> verschiedene Normen für p=1,2.... zu definieren?
>
> Also der Norm Begriff ist doch mehr oder weniger ein
> abstrakter Längenbegriff also etwas
> „absolutes“...wieso kann man denn nun p variieren und
> erhält dann eine 1-Norm, 2-Norm...etc-was bedeutet das?
>
> Wäre schön, wenn mir das jemand beantworten könnte!
Mal Dir mal ein Rechteck und bezeichne die Ecke links unten mit S (Startpunkt) und die Ecke rechts oben mit Z (Zielpunkt). Stell Dir vor S ist der Ursprung im x-y-Koordinatensystem. Der Zielpunkt habe die Koordinaten [mm] (z_1,z_2)
[/mm]
Nun ist das Rechteck ein Golfplatz , auf dem Dieter Bohlen Golf spielt und Dir was auf die Nase gibt, wenn Du quer über den Rasen läufst .
Der kürzeste Weg von S nach Z hat die Länge [mm] ||(z_1,z_2)||_2
[/mm]
Wenn Du keins auf die Nase kriegen willst, mußt Du einen längeren Weg wählen, z.B. längs der Seiten des Golfplatzes.
Dann legst Du einen Weg der Länge [mm] ||(z_1,z_2)||_1 [/mm] zurück und kannst D. Bohlen noch einen Stinkefinger zeigen.
FRED
>
> Liebe Grüße
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Coole Antwort, danke=)
Also zu der Aufgabe speziell,
wenn ich zeigen will, dass ||⋅||p und ||⋅|| [mm] \infty [/mm] Normen auf [mm] \IR^{n} [/mm] sind, muss ich doch „einfach“ die 3 definierten Eigenschaften einer Norm zeigen:
i) [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V: [mm] ||u||\ge [/mm] 0 und ||u|| =0 [mm] \gdw [/mm] u=0
ii) [mm] \forall \alpha \in [/mm] K, [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V: [mm] ||\alpha u||=|\alpha| [/mm] ||u||
iii) (Dreiceksungleichung gilt)
Wenn ich das nun zeigen möchte für i)
Dann setze ich in meine definierte Norm einfach mal ein „u“ aus V ein:
[mm] (\summe_{k=1}^{n} |u_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Wie argumentiere ich nun, dass i) erfüllt ist, also, dass der Ausdruck [mm] \ge [/mm] 0 und 0 ist gdw. u=0...Also man „sieht“ es doch eig, weil der Betrag so definiert ist, dass er [mm] \ge [/mm] 0 ist und =0 gdw. u=0...reicht das als Begründung, oder kann man das noch mathematisch schöner darstellen??
zu ii)
Schreib ich das ganze mit:
[mm] (\summe_{k=1}^{n} |\alpha u_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
wobei ich bei einem Produkt zweier Beträge doch auch die Beträge einzeln multiplizieren kann, also:
[mm] (\summe_{k=1}^{n} |\alpha| |u_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}} [/mm] und da [mm] \alpha [/mm] von der Summe nicht betroffen ist, kann ich es ganz nach vorne ziehen und erhalte meinen gewünschten Ausdruck:
[mm] |\alpha| [/mm] ||u|| ???
Wäre für Anmerkungen, Tipps dankbar!
Vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mi 24.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Coole Antwort, danke=)
>
> Also zu der Aufgabe speziell,
>
> wenn ich zeigen will, dass ||⋅||p und ||⋅|| [mm]\infty[/mm]
> Normen auf [mm]\IR^{n}[/mm] sind, muss ich doch „einfach“ die 3
> definierten Eigenschaften einer Norm zeigen:
>
> i) [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V: [mm]||u||\ge[/mm] 0 und ||u|| =0 [mm]\gdw[/mm] u=0
>
> ii) [mm]\forall \alpha \in[/mm] K, [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V: [mm]||\alpha u||=|\alpha|[/mm]
> ||u||
>
> iii) (Dreiceksungleichung gilt)
>
> Wenn ich das nun zeigen möchte für i)
>
> Dann setze ich in meine definierte Norm einfach mal ein
> „u“ aus V ein:
>
> [mm](\summe_{k=1}^{n} |u_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}}[/mm]
>
> Wie argumentiere ich nun, dass i) erfüllt ist, also, dass
> der Ausdruck [mm]\ge[/mm] 0 und 0 ist gdw. u=0...Also man
> „sieht“ es doch eig, weil der Betrag so definiert ist,
> dass er [mm]\ge[/mm] 0 ist und =0 gdw. u=0...reicht das als
> Begründung, oder kann man das noch mathematisch schöner
> darstellen??
Am besten aufteilen in
(i a)[mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V: [mm]||u||\ge[/mm] 0
und
(i b)[mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V: $||u||$ = 0 [mm]\gdw[/mm] u=0.
Bei (i a) kannst das "sehen" damit begründen, dass in den Definitonen von [mm]||x||_p[/mm] und [mm]||x||_{\infty}[/mm] die Wurzel aus der Summe von Potenzen von Beträgen bzw. das Maximum von Beträgen vorkommt und deren Eigenschaften.
Bei (i b) das Gegenteil annehmen und zum Widerspruch führen.
>
> zu ii)
>
> Schreib ich das ganze mit:
>
> [mm](\summe_{k=1}^{n} |\alpha u_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}}[/mm]
>
> wobei ich bei einem Produkt zweier Beträge doch auch die
> Beträge einzeln multiplizieren kann, also:
>
> [mm](\summe_{k=1}^{n} |\alpha| |u_{k}|^p)^{\bruch{1}{p}}[/mm] und da
> [mm]\alpha[/mm] von der Summe nicht betroffen ist, kann ich es ganz
> nach vorne ziehen und erhalte meinen gewünschten
> Ausdruck:
>
> [mm]|\alpha|[/mm] ||u|| ???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Am Anfang noch [mm]\alpha u[/mm] = [mm] $\vektor{\alpha u_1 \\ \vdots \\ \alpha u_n}$, [/mm] und [mm]||\alpha u||[/mm] = ... davor setzen.
>
> Wäre für Anmerkungen, Tipps dankbar!
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Liebe Grüße
Gruß
meili
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Hallo,
wenn ich also
||u|| = 0 gdw. u=0. beweisen möchte mit dem angesprochen Widerspruchsbweis, dann nehme ich das Gegenteil an, also dass ||0|| [mm] \not= [/mm] 0 und führe das zu einem Widerspruch, also setze ich 0 in meine Norm ein:
[mm] (\summe_{k=1}^{n}||0_{k}||^p)^{\bruch{1}{p}}\not=0
[/mm]
Aber der Betrag von 0=0, also ist auch [mm] 0^p=0 [/mm] und auch die p-te Wurzel, also habe ich [mm] 0\not=0, [/mm] was ein Widerspruch ist.
Ist das wirklich so einfach, oder muss ich das präziser machen?
Gruß
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Hallo nochmal,
Widerspruchsbeweis ist doch gar nicht nötig. Das verkompliziert doch nur
Geradeheraus:
[mm]||u||_p=0\Rightarrow \left(\sum\limits_{k=1}^n|u_k|^p\right)^{1/p}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^n|u_k|^p=0 \Rightarrow |u_k|^p=0 \ \forall k[/mm]
[mm]\Rightarrow |u_k|=0 \ \forall k\Rightarrow u_k=0 \ \forall k \Rightarrow u=0[/mm]
Andersherum: [mm]u=0\Rightarrow u_k=0 \ \forall k\ldots[/mm]
Das gilt doch alles trivialerweise wegen der Def. des Betrages in [mm] $\IR$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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