Nullstelle bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Di 03.06.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm] x^{3}+4x^{2} [/mm] -10x -16. Zeige, dass K im Intervall (0;4) genau einen Punkt Q mit der x-Achse gemeinsam hat. Berechne den Näherungswert für die Abszisse des Punktes Q mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahren. (Ergebnis auf zwei Dezimalen gerundet angeben). |
Hallo Ihr,
so das Newton-Verfahren ist kein Problem. Die Nullstelle habe ich raus und zwar an der Stelle x= 2,512976051 bzw gerundet dann ja x=2,51. (Ergebnis müsste auch ziemlich sicher stimmen)
So aber nun ist die Frage wie ich zeigen kann, das in diesem Intervall K nur GENAU EINEN Punkt mit der x-Achse gemeinsam hat. Wenn ich den Graphen anschau dann seh ich ja das das so ist. Wie kann ich das aber beweisen ohne den Graph zu sehen?!
Viele Grüße Lisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Di 03.06.2008 | | Autor: | ardik |
Mein Gedanke war Käse, hatte nicht richtig geschaut.
ardik
Hallo Lisa,
Du könntest mit der Monotonie (für x > 0) argumentieren.
Schöne Grüße,
ardik
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Hallo, deine Funktion 3. Grades hat 3 Nullstellen, deine 1. Nullstelle ist korrekt, berechne die 2. und 3. Nullstelle, ebenso mit dem Newtonverfahren, ändere aber den Startwert, -1,1979... und -5,3150... diese Nullstellen liegen nicht im Intervall, mit einer kleinen Exceltabelle geht das wunderbar,
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 03.06.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
Also ehrlich gesagt glaube ich nicht das die Antwort korrekt ist! Ich wollte nicht die anderen Nullstellen bestimmen! Diese liegen ja auch überhaupt nicht im Intervall (0;4)! Sondern ich wollte wissen wie ich zeige das es im Intervall (0;4) NUR EINE Nullstelle hat! Wie beweise ich das? Das heißt ja auch so in der Aufgabe " Zeige das K.......GENAU EINEN PUNKT mit x-Achse gemeinsam hat..."!
Danke schon mal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Di 03.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Lisa_88,
naja, korrekt ist der Beweis schon (wenn man noch erläutert, dass die Funktion höchstens drei Nullstellen haben kann).
Die Aufgabenstellung würde mich allerdings auch veranlassen, nach einem anderen, eleganteren (?) Weg zu suchen.
Man könnte auch mit der Lage der Extrema zusammen mit dem y-Achsenschnittpunkt argumentieren.
Schöne Grüße,
ardik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Di 03.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Lisa,
bilde mal die 1. Ableitung und beschreibe dann das Funktionsverhalten auf dem genannten Intervall
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 03.06.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
Also f´(x)= 3x²+4x-10
f`(0) = -10
f`(1) = -3
f`(2) = 10
f`(3) = 29
f`(4) = 54
So, das müsste jetzt heißen das die Ableitung monoton steigend ist! Was heißt das jetzt für die Funktion bzw die Fragestellung warum es NUR EINE Nullstelle im Intervall (0;4) hat?! Ich verstehe das irgendwie gerade nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Di 03.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Lisa,
> Also f´(x)= 3x²+4x-10
> f'(0) = -10
> f'(1) = -3
> f'(2) = 10
> f'(3) = 29
> f'(4) = 54
>
> So, das müsste jetzt heißen das die Ableitung monoton
> steigend ist! Was heißt das jetzt für die Funktion bzw die
> Fragestellung warum es NUR EINE Nullstelle im Intervall
> (0;4) hat?! Ich verstehe das irgendwie gerade nicht!
naja, um eine weitere Nullstelle zu erhalten, müsste der Graph im Intervall wieder fallen - tut er aber nicht (das beweist deine Ableitung). Daraus folgt: Keine weitere Nullstelle!
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Di 03.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
> Also $f'(x)= [mm] 3x^2+4x-10 [/mm] $
Zunächst: Statt der 4 muss da eine 8 stehen.
Aber das ändert am Prinzip nicht viel.
> > So, das müsste jetzt heißen das die Ableitung monoton
> > steigend ist! Was heißt das jetzt für die Funktion
Erstmal nur, dass der Graph der Ausgangsfunktion im Intervall eine Linkskurve macht...
> > Fragestellung warum es NUR EINE Nullstelle im Intervall
> > (0;4) hat?! Ich verstehe das irgendwie gerade nicht!
>
> naja, um eine weitere Nullstelle zu erhalten, müsste der
> Graph im Intervall wieder fallen - tut er aber nicht
[so ähnlich sah mein oben erwähnter Denkfehler aus...]
Eben doch, nämlich links von ca. $x = 0,9$ (bzw. 1,3 mit der fehlerhaften Ableitung),
> (das beweist deine Ableitung).
wo also ein Extremum liegt.
Wegen der rechts davon positiven und links davon negativen Ableitung ein Minimum.
Es könnte also links davon noch eine Nullstelle liegen.
Wenn man nun aber noch berücksichtigt, dass der Graph die y-Achse bei $f(0)=-16$ schneidet (und kein weiteres Extremum rechts von der y-Achse liegt), wird klar, dass die nächste Nullstelle links von der y-Achse liegen muss.
Ach ja: Stetig ist diese Funktion ja sowieso...
Schöne Grüße
ardik
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:34 Di 03.06.2008 | | Autor: | ardik |
siehe meine gesonderte Mitteilung.
(war zu blöd, das System gleich sinnvoll zu nutzen.)
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