Nullstellen/Pole bestimmen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Kuroi |
| Aufgabe | Ermitteln Sie bei den Funktionen die maximalen Definitionsmengen, Nullstellen, Pole (mit ihren Vielfachheiten) und behebbaren Definitionslücken sowie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten.
a) [mm] \bruch{x^3-4x}{x^2+1} [/mm] |
Habe zu obiger Aufgabe folgende Lösung und wollte wissen, ob diese richtig ist, oder ich etwas falsch gemacht bzw. vergessen habe.
Definitionsmenge/-lücken berechnen:
[mm] x^2+1=0 [/mm] |-1
[mm] x^2=-1 [/mm] |Wurzel aus [mm] x^2 [/mm] bzw. -1
-> Wurzel aus -1 nicht möglich - kein Ergebnis/keine Definitionslücken
Definitionsmenge: [mm] \IR
[/mm]
Nullstellen berechnen:
[mm] x^3-4x=0 [/mm] -> Polynomdivision (eine Nullstelle bei -2) -> [mm] x_1=-2
[/mm]
[mm] (x^3-4x):(x+2)=x^2-2x
[/mm]
[mm] x^2-2x [/mm] in p/q-Formel eingeben:
[mm] \bruch{2+/-\wurzel{(-2)^2-4*1*0}}{2*1}
[/mm]
[mm] x_2=2
[/mm]
[mm] x_3=0
[/mm]
Pole inklusive Asymptoten bzw. behebbare Definitionslücken kann ich ja nicht weiter untersuchen, da keine Definitionslücken vorhanden sind. Die Aufgabe wäre somit doch gelöst, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Mo 15.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ermitteln Sie bei den Funktionen die maximalen
> Definitionsmengen, Nullstellen, Pole (mit ihren
> Vielfachheiten) und behebbaren Definitionslücken sowie die
> Gleichungen der vertikalen Asymptoten.
>
> a) [mm]\bruch{x^3-4x}{x^2+1}[/mm]
> Habe zu obiger Aufgabe folgende Lösung und wollte wissen,
> ob diese richtig ist, oder ich etwas falsch gemacht bzw.
> vergessen habe.
>
> Definitionsmenge/-lücken berechnen:
>
> [mm]x^2+1=0[/mm] |-1
> [mm]x^2=-1[/mm] |Wurzel aus [mm]x^2[/mm] bzw. -1
> -> Wurzel aus -1 nicht möglich - kein Ergebnis/keine
> Definitionslücken
> Definitionsmenge: [mm]\IR[/mm]
>
>
> Nullstellen berechnen:
>
> [mm]x^3-4x=0[/mm] -> Polynomdivision (eine Nullstelle bei -2) ->
> [mm]x_1=-2[/mm]
> [mm](x^3-4x):(x+2)=x^2-2x[/mm]
>
>
> [mm]x^2-2x[/mm] in p/q-Formel eingeben:
>
> [mm]\bruch{2+/-\wurzel{(-2)^2-4*1*0}}{2*1}[/mm]
> [mm]x_2=2[/mm]
> [mm]x_3=0[/mm]
>
> Pole inklusive Asymptoten bzw. behebbare Definitionslücken
> kann ich ja nicht weiter untersuchen, da keine
> Definitionslücken vorhanden sind. Die Aufgabe wäre somit
> doch gelöst, oder?
Ja
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Kuroi |
| Aufgabe | | b) [mm] \bruch{2}{x^2-3x+2} [/mm] |
Nun die zweite Aufgabe, bei der ich allerdings hänge.
Definitionsmenge/-lücken berechnen:
[mm] x^2-3x+2=0 [/mm] -> Einsetzen in die p/q-Formel
[mm] \bruch{3+/-\wurzel{(-3)^2-4*1*2}}{2*1}
[/mm]
[mm] x_1=2
[/mm]
[mm] x_2=1
[/mm]
Definitionsmenge ist also: [mm] \IR [/mm] \ {2;1}
Nullstellen berechnen:
Weiß nicht, wie ich den Zähler ohne ein x gleich 0 setzen soll, würde allerdings mal vermuten, dass hier keine Nullstellen existieren. Wie beweise ich das rechnerisch?
Pole/behebbare Definitionslücken berechnen:
Ich weiß, dass ich den Bruch bzw. die einzelnen Polynome irgendwie umformen und dann wegkürzen muss, um auf die Pole bzw. behebbaren Definitionslücken zu kommen. Weiß auch, dass ich den Nenner unter Verwendung der zugehörigen Nullstellen so umformen kann:
[mm] ax^2+bx+c [/mm] = a*(x-x1)*(x-x2)
[mm] \bruch{2}{x^2-3x+2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(x-2)*(x-1)}
[/mm]
Aber wie ich nun weiter umformen und/oder kürzen kann, weiß ich nicht. Hilfe?
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> b) [mm]\bruch{2}{x^2-3x+2}[/mm]
> Nun die zweite Aufgabe, bei der ich allerdings hänge.
>
> Definitionsmenge/-lücken berechnen:
>
> [mm]x^2-3x+2=0[/mm] -> Einsetzen in die p/q-Formel
>
> [mm]\bruch{3+/-\wurzel{(-3)^2-4*1*2}}{2*1}[/mm]
> [mm]x_1=2[/mm]
> [mm]x_2=1[/mm]
>
> Definitionsmenge ist also: [mm]\IR[/mm] \ {2;1}
Hallo,
ja, richtig.
>
>
> Nullstellen berechnen:
>
> Weiß nicht, wie ich den Zähler ohne ein x gleich 0 setzen
> soll, würde allerdings mal vermuten, dass hier keine
> Nullstellen existieren. Wie beweise ich das rechnerisch?
Du kannst einfach schreiben, daß [mm] $\bruch{2}{x^2-3x+2}$=0 [/mm] keine Lösung hat, weil der Zähler offensichtlich für keine Wahl von x gleich 0 wird.
Mehr Beweis braucht's da nicht.
>
>
> Pole/behebbare Definitionslücken berechnen:
>
> Ich weiß, dass ich den Bruch bzw. die einzelnen Polynome
> irgendwie umformen und dann wegkürzen muss, um auf die
> Pole bzw. behebbaren Definitionslücken zu kommen. Weiß
> auch, dass ich den Nenner unter Verwendung der zugehörigen
> Nullstellen so umformen kann:
>
> [mm]ax^2+bx+c[/mm] = a*(x-x1)*(x-x2)
>
> [mm]\bruch{2}{x^2-3x+2}[/mm] = [mm]\bruch{2}{(x-2)*(x-1)}[/mm]
>
> Aber wie ich nun weiter umformen und/oder kürzen kann,
> weiß ich nicht. Hilfe?
Da gibt's nichts weiter zu tun.
Sowohl für [mm] x\to [/mm] 2 als auch für [mm] x\to [/mm] 1 bekommt man einen Ausdruck der Gestalt [mm] "\bruch{Zahl}{0}", [/mm] also handelt es sich um Polstellen.
Das mit der Kürzerei kommt bloß ins Spiel, wenn Du beim Einsetzen der Definitionslücke den Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] bekommst.
In dem Fall macht man eine Polynomdivision.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Kuroi |
| Aufgabe | | c) [mm] \bruch{x^3-x^2+5x-5}{x^3-x^2+x-1} [/mm] |
Vielen Dank für eure bisherigen Antworten, ihr helft mir wirklich weiter! An der folgenden Aufgabe hänge ich wieder im letzten Teil, bei der Bestimmung der Pole/behebbaren Definitionslücken.
Definitionsmenge/-lücken berechnen:
[mm] x^3-x^2+x-1=0
[/mm]
-> Polynomdivision mit Nullstelle [mm] x_1=1
[/mm]
[mm] (x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1
[/mm]
-> Einsetzen in die p/q-Formel bringt negativen Wert unter der Wurzel, also keine weiteren Definitionslücken
-> Definitionsmenge ist somit [mm] \IR [/mm] \ {1}
Nullstellen berechnen:
[mm] x^3-x^2+5x-5=0
[/mm]
-> Polynomdivision mit Nullstelle [mm] x_1=1
[/mm]
[mm] (x^3-x^2+5x-5):(x-1)=x^2+5
[/mm]
-> Einsetzen in die p/q-Formel bringt negativen Wert unter der Wurzel, also keine weiteren Nullstellen
-> da 1 nicht im Definitionsbereich enthalten ist, gibt es keine Nullstelle
Pole/behebbare Definitionslücken berechnen:
[mm] \bruch{x^3-x^2+5x-5}{x^3-x^2+x-1}
[/mm]
So, nun stehe ich da und weiß nicht, wie ich herausfinden kann, ob die Definitionslücke ein Pol oder eine behebbare Definitionslücke ist. Umformen wie in der letzten Aufgabe kann ich nicht, da der Nenner eine Funktion 3. Grades ist. Ausklammern macht in dem Fall ja auch keinen Sinn, da sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Bruch durch x hinten käme. Was muss ich also tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 15.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> c) [mm]\bruch{x^3-x^2+5x-5}{x^3-x^2+x-1}[/mm]
> Vielen Dank für eure bisherigen Antworten, ihr helft mir
> wirklich weiter! An der folgenden Aufgabe hänge ich wieder
> im letzten Teil, bei der Bestimmung der Pole/behebbaren
> Definitionslücken.
>
> Definitionsmenge/-lücken berechnen:
>
> [mm]x^3-x^2+x-1=0[/mm]
> -> Polynomdivision mit Nullstelle [mm]x_1=1[/mm]
> [mm](x^3-x^2+x-1):(x-1)=x^2+1[/mm]
> -> Einsetzen in die p/q-Formel bringt negativen Wert unter
> der Wurzel, also keine weiteren Definitionslücken
> -> Definitionsmenge ist somit [mm]\IR[/mm] \ {1}
>
>
> Nullstellen berechnen:
> [mm]x^3-x^2+5x-5=0[/mm]
> -> Polynomdivision mit Nullstelle [mm]x_1=1[/mm]
> [mm](x^3-x^2+5x-5):(x-1)=x^2+5[/mm]
> -> Einsetzen in die p/q-Formel bringt negativen Wert unter
> der Wurzel, also keine weiteren Nullstellen
> -> da 1 nicht im Definitionsbereich enthalten ist, gibt es
> keine Nullstelle
>
>
> Pole/behebbare Definitionslücken berechnen:
>
> [mm]\bruch{x^3-x^2+5x-5}{x^3-x^2+x-1}[/mm]
>
> So, nun stehe ich da und weiß nicht, wie ich herausfinden
> kann, ob die Definitionslücke ein Pol oder eine behebbare
> Definitionslücke ist. Umformen wie in der letzten Aufgabe
> kann ich nicht, da der Nenner eine Funktion 3. Grades ist.
> Ausklammern macht in dem Fall ja auch keinen Sinn, da
> sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Bruch durch x
> hinten käme. Was muss ich also tun?
Es ist doch für x [mm] \ne [/mm] 1:
[mm] \bruch{x^3-x^2+5x-5}{x^3-x^2+x-1}= \bruch{(x^2+5)(x-1)}{(x^2+1)(x-1)}= \bruch{x^2+5}{x^2+1}.
[/mm]
Damit ist 1 kein Pol, sondern ..
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Kuroi |
> Es ist doch für x [mm]\ne[/mm] 1:
>
> [mm]\bruch{x^3-x^2+5x-5}{x^3-x^2+x-1}= \bruch{(x^2+5)(x-1)}{(x^2+1)(x-1)}= \bruch{x^2+5}{x^2+1}.[/mm]
>
> Damit ist 1 kein Pol, sondern ..
>
> FRED
>
Tut mir leid, diese Umformung verstehe ich nicht. Kannst du sie eventuell etwas ausführlicher erläutern?
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Hallo, sowohl der Zähler, als auch der Nenner wir für x=1 zu Null, mache also folgende Polynomdivisionen
[mm] (x^3-x^2+5x-5):(x-1)=
[/mm]
[mm] (x^3-x^2+x-1):(x-1)=
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Kuroi |
Aaaah, jetzt geht mir ein Licht auf - das sind die Ergebnisse aus den 2 Polynomdivisionsrechnungen. Hab' ich gar nicht erkannt. Aber wieso darf ich diese jetzt einfach mit der Nullstelle in den Zähler bzw. den Nenner einsetzen? Darf ich das etwa bei jeder höhergradigen gebrochen-rationalen Funktion, oder nur, wenn Zähler als auch Nenner die gleiche Nullstelle haben? Gibt's dafür eine feste Formel/Regel?
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Hallo Kuroi,
> Aaaah, jetzt geht mir ein Licht auf - das sind die
> Ergebnisse aus den 2 Polynomdivisionsrechnungen. Hab' ich
> gar nicht erkannt. Aber wieso darf ich diese jetzt einfach
> mit der Nullstelle in den Zähler bzw. den Nenner
> einsetzen? Darf ich das etwa bei jeder höhergradigen
> gebrochen-rationalen Funktion, oder nur, wenn Zähler als
> auch Nenner die gleiche Nullstelle haben? Gibt's dafür
> eine feste Formel/Regel?
Was wird denn wo eingesetzt? Zähler und Nenner werden faktorisiert.
Wenn Zähler und Nenner eine gemeinsame Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] haben, die in gleicher Vielfachheit auftritt (also in Zähler und Nenner [mm] $(x-x_0)^m$ [/mm] steht), dann hast du an dieser Stelle eine hebbare Definitionslücke
Du kannst die Funktion, die zuvor an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht definiert ist, stetig fortsetzen durch die Definition [mm] $f(x_0):=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mo 15.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist doch für x [mm]\ne[/mm] 1:
> >
> > [mm]\bruch{x^3-x^2+5x-5}{x^3-x^2+x-1}= \bruch{(x^2+5)(x-1)}{(x^2+1)(x-1)}= \bruch{x^2+5}{x^2+1}.[/mm]
>
> >
> > Damit ist 1 kein Pol, sondern ..
> >
> > FRED
> >
>
> Tut mir leid, diese Umformung verstehe ich nicht.
Deine Polynomdivisionen liefern das doch !!!
FRED
> Kannst du
> sie eventuell etwas ausführlicher erläutern?
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Hallo Kuroi,
ein kleiner Tipp, um unnötige Rechnungen zu vermeiden:
> Ermitteln Sie bei den Funktionen die maximalen
> Definitionsmengen, Nullstellen, Pole (mit ihren
> Vielfachheiten) und behebbaren Definitionslücken sowie die
> Gleichungen der vertikalen Asymptoten.
>
> a) [mm]\bruch{x^3-4x}{x^2+1}[/mm]
> Nullstellen berechnen:
>
> [mm]x^3-4x=0[/mm] -> Polynomdivision
Vieeel einfacher: Klammere in [mm] $x^3-4x=0$ [/mm] linkerhand $x$ aus:
[mm] $\gdw x\cdot{}(x^2-4)=0$
[/mm]
Nun ist ein Produkt genau dann =0, wenn (mind.) einer der Faktoren =0 ist.
Also [mm] $\gdw [/mm] x=0 \ [mm] \text{oder} [/mm] \ [mm] x^2-4=0$
[/mm]
Das kannst du hier ablesen:
$x=0$ oder [mm] $x^2=4$, [/mm] dh. $x=0$ oder [mm] $x=\pm [/mm] 2$
Gruß
schachuzipus
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