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Forum "Operations Research" - Opti:Min.problem:lösbar,unlösb
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Opti:Min.problem:lösbar,unlösb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 Do 12.04.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Für welche $c [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist
$min [mm] \{c^T*x : x_1 + x_2 \le 3 , x_1 \le 2\}$ [/mm]

lösbar, eindeutig lösbar, unlösbar?



Hallo ihr Lieben,

wir haben das Minimierungsproblem gegeben :

$min [mm] \{c_1*x_1+c_2*x_2 : x_1 + x_2 \le 3 , x_1 \le 2\}$ [/mm]

aus den beiden Nebenbedingungen ergibt sich nur ein Schnittpunkt bei (2,1).
lösungsbereich ist beschränkt durch [mm] x_1 \le [/mm] 2 und [mm] x_1+x_2 \le [/mm] 3 ( [mm] x_2 \le 3-x_1, [/mm] also Steigung m =-1)
die Zielfunktion (ZF) ist ja [mm] c_1*x_1+c_2*x_2=z \gdw x_2= \bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}*x_1 [/mm]

so. Optimalpunkt muss Ecke sein : dementsprechen kann nur (2,1) optimal sein.

unendlich viele Lsg:
wenn ZF parallel zu einer NB so gibt es unendlich viele Lösungen. Heißt die Steigung dieser beiden Gerade muss gleich sein.
würde hier bedeuten :
ZF [mm] :x_2= \bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}*x_1 [/mm]
NB1 : [mm] x_2 \le 3-x_1 [/mm]
also wenn [mm] m=\bruch{c_1}{c_2}=1 \gdw c_1=c_2 [/mm]
NB2 [mm] x_1 \le [/mm] 2 ist ja in dem Sinne keine Fkt und hat keine Steigung

unlösbar:
Wann existiert keine Lösung?

eindeutig lösbar :
Wann existiert eine eindeutige Lösung?

es wäre super wenn ihr mir dazu ein paar Ideen liefern könntet und mir somit helft.

Liebe Grüße
Noya





        
Bezug
Opti:Min.problem:lösbar,unlösb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Fr 13.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die Aufgabe lässt sich mit recht trivialen Überlegungen lösen.
Eine Anmerkung zu deinem Ansatz:

>  die Zielfunktion (ZF) ist ja [mm]c_1*x_1+c_2*x_2=z \gdw x_2= \bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}*x_1[/mm]

man sollte sich immer überlegen, ob die Operationen, die man macht, überhaupt funktionieren. Nirgends ist angegeben, dass [mm] $c_1$ [/mm] oder [mm] c_2 [/mm] ungleich Null sein müssen… und schon machst du hier eine unerlaubte Operation.

Nun zum "trivialen" Ansatz.

Überlege dir folgende Fälle:

1.) [mm] $c_1 [/mm] > 0 [mm] \vee c_2 [/mm] > 0$
2.) [mm] $c_1 [/mm] = [mm] c_2 [/mm] = 0$
3.) sonst

Bei allen Fällen ergibt sich die Lösung relativ leicht, zur Kontrolle

1.) Keine Lösung
2.) Lösung nicht eindeutig
3.) Lösung nicht eindeutig

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Opti:Min.problem:lösbar,unlösb: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:17 Fr 13.04.2018
Autor: Noya


> und schon machst du hier eine unerlaubte Operation.

Stimmt....

>  
> Nun zum "trivialen" Ansatz.
>  
> Überlege dir folgende Fälle:
>  
> 1.) [mm]c_1 > 0 \vee c_2 > 0[/mm]
>  2.) [mm]c_1 = c_2 = 0[/mm]
>  3.) sonst
>  
> Bei allen Fällen ergibt sich die Lösung relativ leicht,

Nö irgendwie nicht so...
habe versucht jetzt alle möglichen Fällen zubetrachten...
[mm] c_1 x_1 [/mm] + [mm] c_2 x_2 [/mm] =z
1.Fall [mm] c_1=0 [/mm] und
1.1: [mm] c_2 [/mm] <0 [mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = [mm] \bruch{z}{c_2} [/mm]
1.2: [mm] c_2 [/mm] >0 [mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = [mm] \bruch{z}{c_2} [/mm]
1.3: [mm] c_2 [/mm] =0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0=z

2.Fall [mm] c_1 [/mm] >0
1.Fall [mm] c_1=0 [/mm] und
2.1: [mm] c_2 [/mm] <0 [mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = [mm] \bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}x_1 [/mm]
2.2: [mm] c_2 [/mm] >0 [mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = [mm] \bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}x_1 [/mm]
2.3: [mm] c_2 [/mm] =0 [mm] \Rightarrow x_1= \bruch{z}{c_1} [/mm]

3.Fall [mm] c_1<0 [/mm] und
3.1: [mm] c_2 [/mm] <0 [mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = [mm] \bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}x_1 [/mm]
3.2: [mm] c_2 [/mm] >0 [mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = [mm] \bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}x_1 [/mm]
3.3: [mm] c_2 [/mm] =0 [mm] \Rightarrow x_1=\bruch{z}{c_1} [/mm]

jetzt müsste ich ja rein theoretisch noch zu testen was bei welchem z passiert oder? irgendwie ralle ich das nicht so...

> zur Kontrolle
>  
> 1.) Keine Lösung
>  2.) Lösung nicht eindeutig
>  3.) Lösung nicht eindeutig
>  
> Gruß,
>  Gono


Bezug
                        
Bezug
Opti:Min.problem:lösbar,unlösb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Di 17.04.2018
Autor: meili

Hallo Noya,

> > und schon machst du hier eine unerlaubte Operation.
>  Stimmt....
>  >  
> > Nun zum "trivialen" Ansatz.
>  >  
> > Überlege dir folgende Fälle:
>  >  
> > 1.) [mm]c_1 > 0 \vee c_2 > 0[/mm]
>  >  2.) [mm]c_1 = c_2 = 0[/mm]
>  >  3.)
> sonst
>  >  
> > Bei allen Fällen ergibt sich die Lösung relativ leicht,
> Nö irgendwie nicht so...
>  habe versucht jetzt alle möglichen Fällen
> zubetrachten...
>  [mm]c_1 x_1[/mm] + [mm]c_2 x_2[/mm] =z
>  1.Fall [mm]c_1=0[/mm] und
> 1.1: [mm]c_2[/mm] <0 [mm]\Rightarrow x_2[/mm] = [mm]\bruch{z}{c_2}[/mm]
>  1.2: [mm]c_2[/mm] >0 [mm]\Rightarrow x_2[/mm] = [mm]\bruch{z}{c_2}[/mm]
>  1.3: [mm]c_2[/mm] =0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0=z
>  
> 2.Fall [mm]c_1[/mm] >0
>  1.Fall [mm]c_1=0[/mm] und
> 2.1: [mm]c_2[/mm] <0 [mm]\Rightarrow x_2[/mm] =
> [mm]\bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}x_1[/mm]
>  2.2: [mm]c_2[/mm] >0 [mm]\Rightarrow x_2[/mm] =
> [mm]\bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}x_1[/mm]
>  2.3: [mm]c_2[/mm] =0 [mm]\Rightarrow x_1= \bruch{z}{c_1}[/mm]
>  
> 3.Fall [mm]c_1<0[/mm] und
> 3.1: [mm]c_2[/mm] <0 [mm]\Rightarrow x_2[/mm] =
> [mm]\bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}x_1[/mm]
>  3.2: [mm]c_2[/mm] >0 [mm]\Rightarrow x_2[/mm] =
> [mm]\bruch{z}{c_2}-\bruch{c_1}{c_2}x_1[/mm]
>  3.3: [mm]c_2[/mm] =0 [mm]\Rightarrow x_1=\bruch{z}{c_1}[/mm]
>  
> jetzt müsste ich ja rein theoretisch noch zu testen was
> bei welchem z passiert oder? irgendwie ralle ich das nicht
> so...

So wie ich die Aufgabe verstanden habe, soll $z$ minimiert werden, für
[mm] $x_1$, $x_2$ [/mm] entsprechend den Nebenbedingungen. Und die Frage
ist, wie hängt es von den [mm] $c_1$, $c_2$ [/mm] ab, ob es überhaupt eine
Lösung (also ein Minumum von $z$) gibt, ob es eine Lösung oder
eine eindeutige Lösung gibt.

Da alle [mm] $x_1 [/mm] < 0$ und [mm] $x_2 [/mm] < 0$ die Nebenbedingungen erfüllen,
gibt es für [mm] $c_1 [/mm] > 0$ und [mm] $c_2 [/mm] > 0$ kein Minimunm von $z$.

Für [mm] $c_1 [/mm] = 0$ und [mm] $c_2 [/mm] = 0$ ist $z = 0$ für alle [mm] $(x_1, x_2)$. [/mm]

Welche Werte kann $z$ annehmen für [mm] $c_1 [/mm] < 0$ und [mm] $c_2 [/mm] < 0$ ?

Für [mm] $c_1 [/mm] < 0$ und [mm] $c_2 [/mm] < 0$ und  [mm] $c_1 [/mm] = [mm] c_2$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] = - [mm] x_1 [/mm] +3$
ist $z = [mm] -3|c_2|$. [/mm]

>  
> > zur Kontrolle
>  >  
> > 1.) Keine Lösung
>  >  2.) Lösung nicht eindeutig
>  >  3.) Lösung nicht eindeutig
>  >  
> > Gruß,
>  >  Gono
>  

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Opti:Min.problem:lösbar,unlösb: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 Di 17.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hallo meili,

danke fürs Einspringen… ich kam noch nicht dazu zu antworten. Ich muss mich übrigens korrigieren beim dritten Fall. Dort gibt es auch nicht immer eine Lösung, bspw. für [mm] $c_2 [/mm] > [mm] c_1$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
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