Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{2x-3}{x^2-6x+18} [/mm] |
Ich habe die Nullstellen berechnet und bin auf x1= 3+3i und x2=3-3i gekommen.
Wie soll ich nun die Partialburchzerlegung durchführen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}[/mm]
> Ich habe die Nullstellen berechnet und bin auf x1= 3+3i
> und x2=3-3i gekommen.
> Wie soll ich nun die Partialburchzerlegung durchführen ?
Für die reelle PBZ brauchst Du nichts mehr tun. Die lautet: [mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}[/mm]
Für die komplexe PBZ mache den Ansatz:
[mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}= \bruch{A}{x-(3+3i)}+ \bruch{B}{x-(3-3i)}[/mm] und bestimme A und B.
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Auf die letzte Zeile bin ich auch schon gekommen, aber mein Versuch ist leider gescheitert.
Ich habe auf beiden Seiten [mm] \* (x^2-6x+18) [/mm] gerechnet und bin dann auf folgendes gekommen :
2x-3 = [mm] \bruch{A(x-6x+18)}{-(3+3i)} [/mm] + [mm] \bruch{B(x-6x+18)}{-(3+3i)}
[/mm]
Wobei mir das völlig falsch vorkommt :S
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Hallo,
> letzte Zeile
Es ist:
[mm] $x^{2}-6x+18=(x-(3+3i))(x-(3-3i))$ [/mm]
Du musst rechts noch kürzen und dann Koeffizienten vergleichen!
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] x^{2}-6x+18=(x-(3+3i))(x-(3-3i)) [/mm]
Wie kommst du denn auf diese Zeile ? :S
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Hallo,
> wie
das hast du selber ausgerechnet im ersten Post!
Gruss
kushkush
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Hallo Bilmem!
Bestimme mal die Lösungen der Gleichung [mm] $x^2-6x+18 [/mm] \ = \ 0$ (z.B. mittels  p/q-Formel).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:57 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Das habe ich doch schon, ich komme auf
x1= 3+3i
x2= 3-3i
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Di 10.05.2011 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Bilmem!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und wie lautet nun Deine Frage?
Mit den Nullstellen kennst Du doch auch automatisch die Linearfaktoren des Ausgangsterms.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
> Ich habe auf beiden Seiten [mm]\* (x^2-6x+18)[/mm] gerechnet und bin
> dann auf folgendes gekommen :
>
> 2x-3 = [mm]\bruch{A(x-6x+18)}{-(3+3i)}[/mm] +
> [mm]\bruch{B(x-6x+18)}{-(3+3i)}[/mm]
Ist das denn so richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> > Ich habe auf beiden Seiten [mm]\* (x^2-6x+18)[/mm] gerechnet und bin
> > dann auf folgendes gekommen :
> >
> > 2x-3 = [mm]\bruch{A(x-6x+18)}{-(3+3i)}[/mm] +
> > [mm]\bruch{B(x-6x+18)}{-(3+3i)}[/mm]
Nein !
Es ist
2x-3 = [mm]\bruch{A(x^2-6x+18)}{x-(3+3i)}[/mm] + [mm]\bruch{B(x^2-6x+18)}{x-(3-3i)}[/mm]
>
>
>
> Ist das denn so richtig ?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich versuche die ganze Zeit A und B auszurechnen, aber kriege es iwie nicht hin, was mache ich denn falsch :(
Als nächstes habe ich folgendes gemacht:
-x-9+9i = [mm] Ax^2 [/mm] - 6Ax +18A + [mm] \bruch{Bx^2-6Bx+18B \* (-3i) }{3i}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich versuche die ganze Zeit A und B auszurechnen, aber
> kriege es iwie nicht hin, was mache ich denn falsch :(
>
> Als nächstes habe ich folgendes gemacht:
>
> -x-9+9i = [mm]Ax^2[/mm] - 6Ax +18A + [mm]\bruch{Bx^2-6Bx+18B \* (-3i) }{3i}[/mm]
Ich weiß nicht , was Du da treibst !
Du hast:
2x-3 = $ [mm] \bruch{A(x^2-6x+18)}{x-(3+3i)} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B(x^2-6x+18)}{x-(3-3i)} [/mm] $
Jetzt mach doch mal das, was kushkush gesagt hat !!
FRED
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
>
> Ich weiß nicht , was Du da treibst !
>
Das weiß ich leider auch nicht :(
>
> Jetzt mach doch mal das, was kushkush gesagt hat !!
>
> FRED
Wenn ich das mache, was kushkush mir gesagt hat, komme ich auf
2x-3= Ax-3A+3Ai + Bx-3B-3Bi
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Hallo Bilmem,
>
> >
> > Ich weiß nicht , was Du da treibst !
> >
>
> Das weiß ich leider auch nicht :(
> >
>
>
> > Jetzt mach doch mal das, was kushkush gesagt hat !!
> >
> > FRED
>
>
>
> Wenn ich das mache, was kushkush mir gesagt hat, komme ich
> auf
>
>
> 2x-3= Ax-3A+3Ai + Bx-3B-3Bi
Also [mm]\red{2}x+\blue{(-3)} \ = \ \red{(A+B)}x+\blue{(-3)(A-Ai+B+Bi)}[/mm]
Nun aber ...
Bedenke, [mm]A,B\in\IC[/mm] !!!!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
> > 2x-3= Ax-3A+3Ai + Bx-3B-3Bi
>
> Also [mm]\red{2}x+\blue{(-3)} \ = \ \red{(A+B)}x+\blue{(-3)(A-Ai+B+Bi)}[/mm]
>
> Nun aber ...
>
> Bedenke, [mm]A,B\in\IC[/mm] !!!!
>
Wie kommst du auf 2x + (-3) auf der linken Seite ? Wieso muss man jetzt addieren und wie muss ich die Koeffizienten ablesen ?
A+B = 2 ?!?
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Hallo,
> wie auf 2x+(-3)
$2x+(-3)=2x-3$
> wie muss ich die Koeffizienten ablesen
Das Rote auf der linken Seite muss das Rote auf der Rechten ergeben, genau gleich für das Blaue. Dann kommst du auf ein Gleichungssystem.
> A+B=2
ja
> 2x-3=A(x-3+i) + B(x-3-i)
Alternativ kannst du A und B auch erhalten, wenn du die entgegengesetzte Nullstelle einsetzt in die Gleichung.
Willst du A rausbekommen, setzt du $x=3+3i$ und dann hast du
$2(3+3i)-3=A(3+3i-3+3i) + B(3+3i-3-3i)$
[mm] $\gdw A=\frac{3+6i}{6i}$
[/mm]
analog für B
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Aber dann müsste man doch 3+3i einsetzen und nicht 3+i oder ?
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Hallo
> Dann
ja
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
> [mm]2(3+3i)-3=A(3+3i-3+3i) + B(3+3i-3-3i)[/mm]
> [mm]\gdw A=\frac{3+6i}{6i}[/mm]
>
>
So jetzt habe ich ja A raus und muss das in die Gleichung einsetzen, also
[mm] \bruch{(3+6i)/6i}{(x-(3-3i))}
[/mm]
Wie kann ich denn so etwas integrieren ?
Außerdem bekomme ich etwas anderes raus , undzwar:
Ai= 1+1i - [mm] \bruch{3}{6}[/mm]
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Hallo Bilmem,
> > [mm]2(3+3i)-3=A(3+3i-3+3i) + B(3+3i-3-3i)[/mm]
> > [mm]\gdw A=\frac{3+6i}{6i}[/mm]
>
> >
> >
>
>
> So jetzt habe ich ja A raus und muss das in die Gleichung
> einsetzen, also
>
> [mm]\bruch{(3+6i)/6i}{(x-(3-3i))}[/mm]
>
> Wie kann ich denn so etwas integrieren ?
>
Wende die normalen Integrationsregeln an.
Hier mußt Du Dich allerdings mit dem komplexen Logarithmus auseinandersetzen.
>
>
> Außerdem bekomme ich etwas anderes raus , undzwar:
>
> Ai= 1+1i - [mm]\bruch{3}{6}[/mm]
Umgeformt nach A ist das doch dasselbe wie oben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ist A und [mm] A_i [/mm] das gleiche ? :S
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Hallo nochmal,
> Ist A und [mm]A_i[/mm] das gleiche ? :S
Ich nehme an, du meinst mit [mm]A_i[/mm] eher [mm]A\cdot{}i[/mm] ??
Das ist natürlich nicht dasselbe wie [mm]A[/mm]!
Wie auch?
Es ist doch [mm]i\neq 1[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Aber wieso bekomme ich denn
[mm] A_i= 1+1_i [/mm] - [mm] \bruch{3}{6} [/mm] heraus und kushkush etwas anderes ?
Mennoo :(
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Hallo Bilmem,
> Aber wieso bekomme ich denn
>
> [mm]A_i= 1+1_i[/mm] - [mm]\bruch{3}{6}[/mm] heraus und kushkush etwas anderes
> ?
Das soll doch wohl
[mm]A_i= 1+1\blue{*i}[/mm] - [mm]\bruch{3}{6}[/mm]
heißen.
Bringe die rechte Seite nun auf den Hauptnenner.
>
> Mennoo :(
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] A_i= \bruch{6+6 i}{6} [/mm] - [mm] \bruch{3}{6}
[/mm]
Aber wieso werde ich dieses "i" nicht los ?
Ich bekomme
A = [mm] \bruch{1}{2 i } [/mm] + 1
heraus :S
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Hallo,
> ich bekomme für A
> [mm] $\frac{3+6i}{6i}$
[/mm]
stimmt
> [mm] 1+\frac{i}{2}
[/mm]
das stimmt nicht. Rechne vor!
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
6 + 6 [mm] \* [/mm] i - 3 = A (3 + 3 [mm] \* [/mm] i - 3 + 3 [mm] \* [/mm] i ) + B (3 + 3 [mm] \* [/mm] i -3 - 3 [mm] \* [/mm] i)
6 + 6 [mm] \* [/mm] i - 3 = A (6 [mm] \* [/mm] i )
3+ 6 [mm] \* [/mm] i = 6 [mm] \* [/mm] A [mm] \* [/mm] i
[mm] \bruch{3}{i} [/mm] + 6 = 6A
A = 1 - [mm] \bruch{3}{6 \* i}
[/mm]
A = 1 - [mm] \bruch{1}{2 \* i }
[/mm]
Die Aufgabe macht mich langsam verrückt :(
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Hallo,
< rechnung
bis zur 4.ten Zeile hast dus richtig.
so gehts weiter:
[mm] $$6A=\frac{3}{i}+6$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] A= 1+ [mm] \frac{3}{6i}$
[/mm]
mit [mm] $\frac{1}{i}=-i$
[/mm]
[mm] $\gdw A=1-\frac{i}{2}$
[/mm]
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 10.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
> Hallo,
>
>
> < rechnung
>
> bis zur 4.ten Zeile hast dus richtig.
>
> so gehts weiter:
>
> [mm]$$6A=\frac{3}{i}+6$[/mm]
> [mm]\gdw A= 1+ \frac{3}{6i}[/mm]
Aber woher kommt denn jetzt das "+" her ?
Das muss doch 1- [mm] \bruch{3}{6i} [/mm] heißen ?!?
Ohh neinn ! Ich habe den Fehler entdeckt, dankeschön :)
Jetzt habe ich aber ein anderes Problem, woher kommt das [mm] \bruch{1}{i} [/mm] = - i ??
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Hallo
> woher
mit dem komplex konjugierten des nenners erweitern!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Danke kushkush ! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Wie funktioniert es mit dem komplexen Logarithmus ?
Ich will jetzt das :
[mm] \bruch{1-(i/2)}{(x-(3+i)}
[/mm]
integrieren, aber habe Problem dabei :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:46 Mi 11.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
willst du das wirklich komplex rechnen oder nicht doch das reelle integral?
Musst du das mit Prtialbruchzerlegung im komplexen machen, oder war das nur deine Idee?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich muss ein bestimmtes Integral mittels Partialbruchzerlegung lösen :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Bilmem!
> Ich muss ein bestimmtes Integral mittels Partialbruchzerlegung lösen
Na super, dann hätten wir uns das ganze Theater mit den komplexen Zahlen hier sparen können.
Das passiert, wenn man nur Bruchstücke (wenn überhaupt) der eigentlichen Aufgabenstellung verrät. ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
oh nein :(
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> Wie funktioniert es mit dem komplexen Logarithmus ?
>
>
> Ich will jetzt das :
>
> [mm]\bruch{1-(i/2)}{(x-(3+i)}[/mm]
>
> integrieren, aber habe Problem dabei :(
Hallo Bilmem,
dieser Term hat die Form [mm] \frac{a}{x-b} [/mm] mit komplexen
Werten für a und b. Das kann man zunächst einmal
analog betrachten wie mit reellen a und b.
Bei der anschließenden Auswertung muss
man dann den Logarithmus ln(x-3-i) korrekt
interpretieren.
Hast du eine ganz konkrete Aufgabenstellung ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] \integral_{-5}^{2}{\bruch{x^2-4x+15}{x^2-6x+18}dx}
[/mm]
So sah die Aufgabe aus, ich habe denn mittels Polynomdivision folgendes erreicht:
1+ [mm] \bruch{2x-3}{x^2-6x+18}
[/mm]
Die Nullstellen: [mm] x_1= [/mm] 3+3i; [mm] x_2= [/mm] 3-3i
Ich soll die Aufgabe mittels Partialbruchzerlegung lösen :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{-5}^{2}{\bruch{x^2-4x+15}{x^2-6x+18}dx}[/mm]
>
>
>
> So sah die Aufgabe aus, ich habe denn mittels
> Polynomdivision folgendes erreicht:
>
> 1+ [mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}[/mm]
>
> Die Nullstellen: [mm]x_1=[/mm] 3+3i; [mm]x_2=[/mm] 3-3i
>
> Ich soll die Aufgabe mittels Partialbruchzerlegung lösen
Die 1 dürfte keine Probleme machen
Wie Du
[mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}[/mm]
int. kannst hab ich Dir hier
https://matheraum.de/read?i=792664
gesagt
FRED
> :(
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Also musste ich A und B gar nicht ausrechnen, mennoo :(
Die Nullstellen auch nicht ? :S
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also musste ich A und B gar nicht ausrechnen, mennoo :(
Nein. Aber was soll das "mennoo" ? Hättest Du gleich die komplette Aufgabenstellung verraten, hätten alle Beteiligten weniger Arbeit gehabt
>
>
> Die Nullstellen auch nicht ? :S
Das war nicht übeflüssig ! Die Information, dass der Nenner keine reelle Nullstelle hat, ist schon wichtig
FRED
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Entschuldigung :(
Ich habe es jetzt mit deinem Link versucht und komme auf
2 ln [mm] |x^2-6x+18|-arctan(x-3)
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Entschuldigung :(
>
> Ich habe es jetzt mit deinem Link versucht und komme auf
>
> 2 ln [mm]|x^2-6x+18|-arctan(x-3)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Roadrunner hat dir doch schon alles mundgerecht serviert, du musst nur zubeißen.
Woher kommt die 2 beim [mm] $\ln$ [/mm] ?
Auch beim [mm] $\arctan$-Ausdruck [/mm] hapert's ...
Das x von der zu integrierenden 1 hast du auch vergessen
Greife Roadrunners Umformung auf und rechne nochmal nach
Am Besten rechnest du die dort vorgeschlagene Substitution hier vor!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Roadrunner hat recht. Was für ein Theater !
Schau mal hier:
http://www.opt.math.tugraz.at/lehre/mat_ingmath/MI-W08/12.2 Integration rationaler Funktionen.pdf
S. 17/18
FRED
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Hallo Bilmem!
So geht es viel weniger komplex (und so viel mehr real bzw. reell):
[mm] $\bruch{2x-3}{x^2-6x+18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x \ \red{-6+6} \ -3}{x^2-6x+18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-6+3}{x^2-6x+18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-6}{x^2-6x+18}+\bruch{3}{x^2-6x+18}$
[/mm]
Beim ersten Bruch liegt nunmehr im Zähler die Ableitung des Nenners vor.
Der zweite Bruch lässt sich nun wie folgt umformen:
[mm] $\bruch{3}{x^2-6x+18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{x^2-6x \ \red{+9-9} \ +18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{x^2-6x+9+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{(x-3)^2+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{9*\left[\bruch{(x-3)^2}{9}+1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3*\left[\bruch{(x-3)^2}{3^2}+1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{\left(\bruch{x-3}{3}\right)^2+1}$
[/mm]
Weiter mit der Substitution $u \ := \ [mm] \bruch{x-3}{3}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe es anders gemacht
Die Ableitung des Nenners: 2x-6
2x-3 = 2x-4+1= 2(x-2)+1
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2x-3}{x^2-6x+18} dx} [/mm] = 2 [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1x-2}{x^2-6x+18} dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-6x+18} dx}
[/mm]
[mm] x^2-6x+18 [/mm] = [mm] (x-3)^2 [/mm] +9
Substitution: y= (x-3), dy=dx
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-6x+18} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+9} dx} [/mm] = arctany= arctan (x-3)
Was habe ich hier falsch gemacht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe es anders gemacht
>
> Die Ableitung des Nenners: 2x-6
>
> 2x-3 = 2x-4+1= 2(x-2)+1
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{2x-3}{x^2-6x+18} dx}[/mm] = 2
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1x-2}{x^2-6x+18} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-6x+18} dx}[/mm]
>
> [mm]x^2-6x+18[/mm] = [mm](x-3)^2[/mm] +9
>
> Substitution: y= (x-3), dy=dx
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-6x+18} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+9} dx}[/mm] = arctany= arctan
> (x-3)
>
> Was habe ich hier falsch gemacht ?
>
>
arctan(y) ist keine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{y^2+9} [/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] arctan müsste die Stammfunktion sein, aber was habe ich denn noch falsch gemacht ?
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Hallo,
> stammfunktion müsste sein
nein
> was falsch
das kann man nicht wissen weil du das Integral nicht vorgerechnet hast!
um [mm] $\integral \frac{1}{y^{2}+9} [/mm] dy$ zu bestimmen, verwende die Substitution $y:=3tan(x)$
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
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> Der zweite Bruch lässt sich nun wie folgt umformen:
>
> [mm]\bruch{3}{x^2-6x+18} \ = \ \bruch{3}{x^2-6x \ \red{+9-9} \ +18} \ = \ \bruch{3}{x^2-6x+9+9} \ = \ \bruch{3}{(x-3)^2+9} \ = \ \bruch{3}{9*\left[\bruch{(x-3)^2}{9}+1\right]} \ = \ \bruch{1}{3*\left[\bruch{(x-3)^2}{3^2}+1\right]} \ = \ \bruch{1}{3}*\bruch{1}{\left(\bruch{x-3}{3}\right)^2+1}[/mm]
>
> Weiter mit der Substitution [mm]u \ := \ \bruch{x-3}{3}[/mm] .
>
Ich verstehe nicht, was du nach \ [mm] \bruch{3}{(x-3)^2+9} [/mm] \ gemacht hast :(
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Hallo Bilmem!
> Ich verstehe nicht, was du nach [mm]\bruch{3}{(x-3)^2+9}[/mm]
> gemacht hast :(
Ich habe im Nenner $9_$ ausgeklammert.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe das so ausgerechnet, wie du es beschrieben hast und komme auf
[mm] \bruch{1}{3} \* \bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^2 +1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3} \* \bruch{1}{u^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \* [/mm] arctan (u) = [mm] \bruch{1}{3} \* [/mm] arctan [mm] (\bruch{x-3}{3})^2
[/mm]
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Hallo Bilmem!
Sorry, aber das ist einfach nur grausam, was und wie es dasteht ... ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
> [mm]\bruch{1}{3} \* \bruch{1}{u^2+1}[/mm]
Da Du hier weder das Integralzeichen noch das Differential $dx_$ mit aufschreibst, geht Dir der entscheidende Faktor beim Substituieren des Differentials verloren.
> = [mm]\bruch{1}{3} \*[/mm] arctan (u)
Und dieses Gleichheitszeichen tut einfach nur weh, da Du behauptest, dass Ausgangsfunktion und Stammfunktion identisch sind (liegt am fehlenden Integralzeichen zuvor).
Wie gesagt: hier fehlt noch ein Faktor.
> = [mm]\bruch{1}{3} \*[/mm] arctan [mm](\bruch{x-3}{3})^2[/mm]
Und wo hier urplötzlich das Quadrat herkommt, erschließt sich mir leider überhaupt nicht.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
[mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{1}{3} \* \bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^2 +1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{1}{3} \* \bruch{1}{u^2+1} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \* [/mm] arctan [mm] (\bruch{x-3}{3})
[/mm]
Ist das so besser ?
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Hallo!
> Ist das so besser ?
Naja, etwas ... Und wie hast Du $dx_$ durch $du_$ ersetzt?
Schließlich hatte ich ja geschrieben, dass Dir noch ein Faktor fehlt.
Leite Deine vermeintliche Stammfunktion einfach mal ab. Entsteht dann die Ausgangsfunktion?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Nach [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{3} \* \bruch{1}{u^2+1} du}
[/mm]
führe ich doch die Rücksubstitution durch, also :
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3} \* arctan \bruch{x-3}{3} dx}
[/mm]
Wenn ich dann alles zusammenfasse komme ich auf
[mm] \integral_{a}^{b}{ 1x+ ln|x^2-6x+18| +\bruch{1}{3} \* arctan \bruch{x-3}{3} dx}
[/mm]
Ich frage mich auch gerade woher ich dieses "1/3" bekommen habe :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Bilmem!
> Nach [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{3} \* \bruch{u^2+1}{4} du}[/mm]
Wo kommt dieser Term her? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Sorry, aber mir drängt sich gerade der Eindruck auf, dass wir die Mathematik verlassen haben und nunmehr ein heiteres Beruferaten durchführen ...
> Wenn ich dann alles zusammenfasse komme ich auf
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{ 1x+ ln|x^2-6x+18| +\bruch{1}{3} \* arctan \bruch{x-3}{3} dx}[/mm]
Und nochmals meine Frage (abgesehen von der wiederholt falschen Darstellung!): was erhältst Du als Ableitung dieses Terms?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo, ich gebe dir noch eine Anwort, ist ja wirklich sehr schwierig mit dir, es ist zu lösen
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-3}{x^{2}-6x+18} dx}
[/mm]
zerlegt in :
(1)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-6}{x^{2}-6x+18} dx}
[/mm]
(2)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{3}{x^{2}-6x+18} dx}
[/mm]
(1)
die Stammfunktion lautet [mm] ln(|x^{2}-6x+18|)+C
[/mm]
im Zähler steht die Ableitung des Nenners
(2)
der Term [mm] \bruch{3}{x^{2}-6x+18} [/mm] wird umgeformt zu [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^{2}+1}
[/mm]
es ist also zu lösen
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3}*\bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^{2}+1}
dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] ziehen wir als Faktor vor das Integral
[mm] \bruch{1}{3}\integral_{}^{}{\bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^{2}+1}
dx}
[/mm]
jetzt kommt die Substitution
[mm] u=:\bruch{x-3}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{3}
[/mm]
dx=3du (der Faktor 3 fehlt dir)
also
[mm] \bruch{1}{3}\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}+1}*3du}
[/mm]
den faktor 3 ziehen wir auch noch vor das Integral
[mm] \bruch{1}{3}*3\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}+1}du}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}+1}du}
[/mm]
=arctan(u)+C
Rücksubstitution
[mm] =arctan(\bruch{x-3}{3})+C
[/mm]
Steffi
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