Partialbruchzerlegung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Ich suche die Partialbruchzerlegung von
[mm] \frac{2z^2-5z+7}{1+z-5z^2+3z^3} [/mm] |
Hallo
Habe gemacht
[mm] 1+z-5z^2+3z^3 [/mm] : (z-1)= [mm] 3z^2+2z-1
[/mm]
und [mm] 3z^2+2z-1 [/mm] =0
[mm] z_1 [/mm] = 1
[mm] z_2 [/mm] = 1/3
Komme also auf die Faktorisierung des Nenners:
[mm] 1+z-5z^2+3z^3 [/mm] = [mm] (z-1)^2 [/mm] * (z-1/3)
was für die Partialbruchzerlegung bedeutet:
[mm] \frac{2z^2-5z+7}{1+z-5z^2+3z^3} [/mm] = [mm] \frac{A}{(z-1)} [/mm] + [mm] \frac{B}{(z-1)^2} [/mm] + [mm] \frac{C}{(3z-1)}
[/mm]
In Lösungsbuch steht aber:
[mm] \frac{A}{(1-z)} [/mm] + [mm] \frac{B}{(1-z)^2} [/mm] + [mm] \frac{C}{(1+3z)}
[/mm]
Wieso darf man so die Vorzeichen vertauschen? wieso schreibt man nicht auch 1-3z wenn man sowieso alle Vorzeichen anders wählt?
Ich verstehe das nicht ganz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Di 12.02.2013 | | Autor: | fred97 |
1/3 ist keine Nullstelle des Nennerpolynoms, sondern -1/3
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Stimmt sry,
Dann erhalte ich:
$ [mm] \frac{2z^2-5z+7}{1+z-5z^2+3z^3} [/mm] $ = $ [mm] \frac{A}{(z-1)} [/mm] $ + $ [mm] \frac{B}{(z-1)^2} [/mm] $ + $ [mm] \frac{C}{(3z+1)} [/mm] $
Trotzdem steht in der lösung jeweils (1-z) und [mm] (1-z)^2 [/mm] in den nennern.
Wenn man (z-1) hat darf man das immer umschreiben zu (1-z).
Und die Vorzeichen gehen das in die Koeffizienten A,B,C ein. Oder muss man da auf die Vz achten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Di 12.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt sry,
> Dann erhalte ich:
>
> [mm]\frac{2z^2-5z+7}{1+z-5z^2+3z^3}[/mm] = [mm]\frac{A}{(z-1)}[/mm] +
> [mm]\frac{B}{(z-1)^2}[/mm] + [mm]\frac{C}{(3z+1)}[/mm]
> Trotzdem steht in der lösung jeweils (1-z) und [mm](1-z)^2[/mm] in
> den nennern.
>
> Wenn man (z-1) hat darf man das immer umschreiben zu
> (1-z).
Ja, aber beachte [mm] \frac{A}{(z-1)} [/mm] = [mm] \frac{-A}{(1-z)}
[/mm]
FRED
> Und die Vorzeichen gehen das in die Koeffizienten A,B,C
> ein.
Oder muss man da auf die Vz achten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Hallo
$ [mm] \frac{2z^2-5z+7}{1+z-5z^2+3z^3} [/mm] $ = $ [mm] \frac{A}{(z-1)} [/mm] $ +
> $ [mm] \frac{B}{(z-1)^2} [/mm] $ + $ [mm] \frac{C}{(3z+1)} [/mm] $ =$ [mm] \frac{-A}{(1-z)} [/mm] $ +
> $ [mm] \frac{B}{(1-z)^2} [/mm] $ + $ [mm] \frac{C}{(3z+1)} [/mm]
-A *(1-z) (1+3z) + [mm] B*(1+3z)+C*((1-z)^2) [/mm] = [mm] 2z^2 [/mm] - 5z +7
-A - 2zA + [mm] 3z^2 [/mm] A + B + 3zB + C - 2zC + [mm] z^2 [/mm] C = [mm] 2z^2 [/mm] - 5z +7
[mm] z^2(3A [/mm] +C) + z*(-2A+3B-2C) - A +B +C= [mm] 2z^2 [/mm] - 5z +7
der Koeffvergleich:
3A + C =2 <=> C= 2- 3A
-2A + 3B - 2C = -5
-A + B + C =7
IIGlg: -2A + 3B - (2-3A) = -5
<=>IV:3B + A = -3
III Glg: -A +B + (2-3A) = 7
<=> V:-4A + B = 5
4* IV + V : 13B = 7
B= 7/13
In der lösung soll B=1 rauskommen, was es auch tut wenn ich statt -A doch A belasse..??
Ich bin verwirrt,!
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Hallo,
bis
(1) 3A+C=2
(2) -2A+3B-2C=-5
(3) -A+B+C=7
ist alles korrekt, aus (1) folgt C=2-3A auch noch korrekt, jetzt C=2-3A in (2) einsetzen
-2A+3B-2(2-3A)=-5
jetzt ist dein Fehler passiert, du hast den Faktor 2 vor der Klammer verbasselt
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Di 12.02.2013 | | Autor: | juklowin68 |
Deine Lösung ist auch richtig.
Den ersten Bruch kannst du mit (-1) erweitern, so bekommst du den Nenner aus dem Lösungsbuch.
Der Nenner des zweiten Bruches ist identisch zu dem im Lösungsbuch. Du kannst das Binom ausrechnen, um dich davon zu überzeugen.
Den dritten Bruch kannst du hingegen nicht auf die gleiche Form bringen. Wenn alle Vorzeichen vertauscht wären, dann müsste 1-3z stehen. Ich nehme an, dass du die Lösung aus dem Lösungsbuch falsch abgeschrieben hast oder dass diese falsch ist.
Jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass deine Polynomdivision falsch ist. Es sollte -2z und nicht +2z heissen. Somit sind die Nullstellen 1 und -1/3, was nun auf die Lösungen im Lösungsbuch führt.
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