Polynome und Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Es seien p,q reele Polynome auf [mm] \IC [/mm] = [mm] \IR^{2} [/mm] mit grad p [mm] \le [/mm] 2, grad q [mm] \le [/mm] 2. Schreiben Sie die Funktion
g: [mm] \IC \to \IC, [/mm] g(x)=g(x+iy)=p(x,y)+iq(x,y)
in der Form [mm] g(z)=f(z,\overline{z}), [/mm] wobei f: [mm] \IC^{2} \to \IC [/mm] ein komplexes Polynom von grad [mm] \le [/mm] 2 ist. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie: g ist genau dann holomorph, wenn g(z)=f(z,0) gilt. |
| Aufgabe 3 | Bestimmen Sie f für
[mm] g(z)=x-iy^{2}
[/mm]
g(z)=x+y+ix
[mm] g(z)=x+x^{2}-y^{2}+2i(xy-y) [/mm] |
Guten Abend,
ich habe wieder die Ehre euch mit schönen Aufgaben zur komplexen Analysis zu belästigen :).
Zu Aufgabe 1:
Meine Überlegung hierzu ist, dass ich die x und y ersetze durch:
[mm] x=\bruch{1}{2}(z+\overline{z})
[/mm]
[mm] y=-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z})
[/mm]
Jetzt bin ich mir etwas unsicher, wie ich es aufschreiben soll. Meine Idee:
[mm] g(z)=g(x+iy)=f(z,\overline{z})=p(\bruch{1}{2}(z+\overline{z}),-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))+iq(\bruch{1}{2}(z+\overline{z}),-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))
[/mm]
Bin ich dann soweit fertig oder soll noch meine Polynome aufschreiben?
[mm] p(x.y)=((ax^{2}+bx+c), (dy^{2}+ey+f))
[/mm]
[mm] q(x.y)=((ux^{2}+hx+j), (ky^{2}+ly+m))
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(z)=f(z,\overline{z})=(a(\bruch{1}{2}(z+\overline{z})^{2}+b\bruch{1}{2}(z+\overline{z})+c), d(-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))^{2}+e(-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))+f)))+i*(u(\bruch{1}{2}(z)^{2}+h\bruch{1}{2}(z+\overline{z})+j), (k(-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))^{2}+l(-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))+m))
[/mm]
Zu Aufgabe 2:
Nach Defintion aus unserer Vorlesung: g ist genau dann holomorph falls g komplex differenzierbar.
Zu Zeigen ist also g ist genau dann komplex differenzierbar wenn g(z)=(f,0) gilt.
[mm] f(z,0)=p(\bruch{1}{2}(z+0),-\bruch{1}{2}i(z-0))+iq(\bruch{1}{2}(z+0),-\bruch{1}{2}i(z-0))=p(\bruch{1}{2}z,-\bruch{1}{2}iz)+iq(\bruch{1}{2}z,-\bruch{1}{2}iz)=((a(\bruch{1}{2}z)^{2}+b\bruch{1}{2}z+c), (d(-\bruch{1}{2}iz))^{2}+e(-\bruch{1}{2}iz+f)))+i*((u(\bruch{1}{2}z)^{2}+h\bruch{1}{2}z+j), (k(-\bruch{1}{2}iz)^{2}+l(-\bruch{1}{2}iz)+m)
[/mm]
Jetzt meine Frage, wie geht es weiter, mit welcher Schreibweise?
Und der Beweis erfolg am Besten über die Cauchy-Riemann Gelichungen?
Zu Aufgabe 3:
Soll ich wie oben x und y mit z ausdrücken und ausrechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Fr 22.04.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Es seien p,q reele Polynome auf [mm]\IC[/mm] = [mm]\IR^{2}[/mm] mit grad p
> [mm]\le[/mm] 2, grad q [mm]\le[/mm] 2. Schreiben Sie die Funktion
> g: [mm]\IC \to \IC,[/mm] g(x)=g(x+iy)=p(x,y)+iq(x,y)
> in der Form [mm]g(z)=f(z,\overline{z}),[/mm] wobei f: [mm]\IC^{2} \to \IC[/mm]
> ein komplexes Polynom von grad [mm]\le[/mm] 2 ist.
> Zeigen Sie: g ist genau dann holomorph, wenn g(z)=f(z,0)
> gilt.
> Bestimmen Sie f für
> [mm]g(z)=x-iy^{2}[/mm]
> g(z)=x+y+ix
> [mm]g(z)=x+x^{2}-y^{2}+2i(xy-y)[/mm]
> Guten Abend,
>
> ich habe wieder die Ehre euch mit schönen Aufgaben zur
> komplexen Analysis zu belästigen :).
>
> Zu Aufgabe 1:
>
> Meine Überlegung hierzu ist, dass ich die x und y ersetze
> durch:
> [mm]x=\bruch{1}{2}(z+\overline{z})[/mm]
> [mm]y=-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt bin ich mir etwas unsicher, wie ich es aufschreiben
> soll. Meine Idee:
>
> [mm]g(z)=g(x+iy)=f(z,\overline{z})=p(\bruch{1}{2}(z+\overline{z}),-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))+iq(\bruch{1}{2}(z+\overline{z}),-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))[/mm]
Schöner ist f ans Ende zu setzen, da dies gezeigt werden soll:
[mm]g(z)=g(x+iy)=p(\bruch{1}{2}(z+\overline{z}),-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))+iq(\bruch{1}{2}(z+\overline{z}),-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))=f(z,\overline{z})[/mm]
>
> Bin ich dann soweit fertig oder soll noch meine Polynome
> aufschreiben?
> [mm]p(x.y)=((ax^{2}+bx+c), (dy^{2}+ey+f))[/mm]
>
> [mm]q(x.y)=((ux^{2}+hx+j), (ky^{2}+ly+m))[/mm]
Die Polynome sehen doch etwas anders aus:
[mm]p(x.y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f[/mm]
[mm]q(x.y)=ux^{2}+ky^{2}+lxy+mx+ny+h[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow g(z)=f(z,\overline{z})=(a(\bruch{1}{2}(z+\overline{z})^{2}+b\bruch{1}{2}(z+\overline{z})+c), d(-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))^{2}+e(-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))+f)))+i*(u(\bruch{1}{2}(z)^{2}+h\bruch{1}{2}(z+\overline{z})+j), (k(-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))^{2}+l(-\bruch{1}{2}i(z-\overline{z}))+m))[/mm]
Die Polynome p und q einsetzen, ausmultiplizieren und eventuell noch zusammenfassen nach z und [mm] $\overline{z}$, [/mm] macht [mm] $f\left(z,\overline{z}\right)$ [/mm] noch deutlicher.
>
> Zu Aufgabe 2:
> Nach Defintion aus unserer Vorlesung: g ist genau dann
> holomorph falls g komplex differenzierbar.
>
> Zu Zeigen ist also g ist genau dann komplex differenzierbar
> wenn g(z)=(f,0) gilt.
>
> [mm]f(z,0)=p(\bruch{1}{2}(z+0),-\bruch{1}{2}i(z-0))+iq(\bruch{1}{2}(z+0),-\bruch{1}{2}i(z-0))=p(\bruch{1}{2}z,-\bruch{1}{2}iz)+iq(\bruch{1}{2}z,-\bruch{1}{2}iz)=((a(\bruch{1}{2}z)^{2}+b\bruch{1}{2}z+c), (d(-\bruch{1}{2}iz))^{2}+e(-\bruch{1}{2}iz+f)))+i*((u(\bruch{1}{2}z)^{2}+h\bruch{1}{2}z+j), (k(-\bruch{1}{2}iz)^{2}+l(-\bruch{1}{2}iz)+m)[/mm]
[mm]f(z,0)=p(\bruch{1}{2}(z+0),-\bruch{1}{2}i(z-0))+iq(\bruch{1}{2}(z+0),-\bruch{1}{2}i(z-0))=p(\bruch{1}{2}z,-\bruch{1}{2}iz)+iq(\bruch{1}{2}z,-\bruch{1}{2}iz)[/mm]
Bis hierher ist es ok.
Dann p und q einsetzen... und es gibt ein komplexes Polynom?
Aber das ist nur die eine Richtung, wenn f(z,0).
Zu zeigen ist auch, wenn nicht f(z,0), so ist g(z) nicht holomorph.
>
> Jetzt meine Frage, wie geht es weiter, mit welcher
> Schreibweise?
> Und der Beweis erfolg am Besten über die Cauchy-Riemann
> Gelichungen?
>
>
> Zu Aufgabe 3:
> Soll ich wie oben x und y mit z ausdrücken und
> ausrechnen?
Ja.
Gruß
meili
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Ich danke dir meili für deine ausführliche Antwort. "Deine" Polynome haben mich auf dem richtigen Weg gebracht.
Noch eine kleine Nachfrage zu Aufgabe 2:
Ich habe gewählt:
[mm] p(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+h
[/mm]
[mm] g(x,y)=kx^2+ly^2+mxy+nx+uy+v
[/mm]
Bei der Rückrichtung habe ich herausbekommen:
[mm] f(z,0)=(a+ik-b-il-ic+m)*\bruch{1}{4}z^2+(d+in-ie+u)*\bruch{1}{2}z+(h+iv)*z^0
[/mm]
Es ist ein komplexes Polynom, also komplex diffbbar, also holomorph.
Bei der Rückrichtung habe ich:
[mm] f(z,\overline{z})=(a+ik)*(\bruch{1}{4}z^2+\bruch{2}{4}z\overline{z}+\bruch{1}{4}\overline{z}^2)+(b+il)*(-\bruch{1}{4}z^2+\bruch{2}{4}z\overline{z}-\bruch{1}{4}\overline{z}^2)+(c+im)*(-\bruch{1}{4}iz^2+\bruch{1}{4}i\overline{z}^2)+(d+in)*(\bruch{1}{2}z+\bruch{1}{2}\overline{z})+(e-iu)*(-\bruch{1}{2}iz+\bruch{1}{2}i\overline{z})+h+iv
[/mm]
Auf dem letzten Zettel haben wir bewiesen dass [mm] z\overline{z} [/mm] und [mm] \overline{z} \forall [/mm] z [mm] \not= [/mm] 0 nicht komplex diffbar sind. Kann ich schon daraus schlussfolgern, dass für [mm] g(z)\not=f(z,0) [/mm] das ganze nicht komplex diffbar ist und somit holomorph?
Beste Grüße
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