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Polynomfunkt.3.Grad/Kegelschn.: Fragen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:13 Fr 02.05.2014
Autor: gmt

Aufgabe 1
Bsp1:
Eine Hyperbel in 1. Hauptlage mit den Asymptoten y= [mm] \pm [/mm] ([( [mm] \wurzel{2} [/mm] ) /2]x) geht durch den Punkt ( ( [mm] \wurzel{19} [/mm] )/3)
a) Gib die Gleichung der Hyperbel an



Aufgabe 2
Bsp2:
Von einer Polynomfunktion 3. Grades kennt man die 1. Ableitung mit f ' (x) = (x²-9)/3. Der Graph der Funktion schneidet die x - Achse an der Stelle 3.
a) Bestimme die Nullstellen!



Aufgabe 3
Bsp3

Bsp3:
Eine Ellipse geht durch die Punkte P (-2/2*( [mm] \wurzel{2} [/mm] )) und Q (4/-( [mm] \wurzel{5} [/mm] )) Die rechte große Halbachse der Ellipse ist der Durchmesser eines Kreises.
a) Fertige eine Zeichnung an und bestimme die Gleichungen von Ellipse und Kreis



Aufgabe 4
Bsp4:
Gegeben ist die reelle Funktion f(x) = x³-6x²+9x-4 und ihre Nullstelle N(1/0)
a) Bestimme die Nullstellen, die Extremstellen und den Wendepunkt von f



Ich bereite mich im Moment auf die Matura (die österreichische Abitur) vor und bin bei mehreren Beispielen auf Probleme gestoßen, die aber teilweise gleiche Ursachen haben.

Bsp1:
Hier bin ich auf das Problem gestoßen, dass wenn ich a und b nach der Formel im Formelheft (Asymptoten y = [mm] \pm [/mm] (b/a)x) in die Hyperbelformel der 1. Hauptlage einsetze, die Punkte nicht passen. Daher komme ich gar nicht dazu, weiterzurechnen, da ich die korrekte Gleichung nicht aufstellen kann.

Weiters wird später in dem Beispiel eine Ellipse hinzugefügt und man soll den Winkel, in dem die beiden sich schneiden, berechnen. Ich vermute dass dies durch an die Hyperbel/Ellipse angelegte Tangenten mit der Steigung f '(x) der jeweiligen Körpergleichung möglich wäre. Gibt es noch einen anderen, möglicherweise weniger aufwändigen Weg (bitte nur allgemein formulierte Antwort)?

Bsp2:

Man soll nachdem man f (x) = (x³-27x+54)/9 aufgestellt hat die Nullstellen bestimmen. Ich habe versucht die Gleichung mit dem Lösungswert 3 mittels Polynomdivision von kubisch auf quadratisch zu bringen, mir kommt jedoch ein Rest heraus, daher komme ich zu keiner Lösung. Die angegebenen Lösungen wären 3 und -6. Wie kommt man zu diesen?

Bsp3:

Wieder stehe ich vor demselben Problem wie in Bsp1, nämlich dass ich aus den angegebenen Punkten keine Gleichung bilden kann: Eigentlich sollte das zwar gehen, weil man für zwei Unbekannte (a und b) auch zwei Gleichungen (durch die Punkte P und Q) aufstellen kann, jedoch gelingt es mir nicht b²x²+a²y²=a²b² wenn x und y gegeben sind so umzuformen, dass ich zB a in b ausdrücken kann oder umgekehrt und es dann im anderen Term einsetzen kann. Wie geht das hier?

Bsp4:

Wieder dasselbe Problem wie bei Bsp2: Ich schaffe es nicht die kubische Gleichung in eine quadratische so umzuwandeln, dass mir bei der Polynomdivision kein Rest bleibt und so auf die Nullstellen zu kommen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, werde dies aber noch tun, wenn ich hier zu lange keine Antwort bekomme. Dann werde ich diesen Beitrag editieren und den Link angeben.

Ich danke im Vorfeld schon für jegliche Hilfestellung!

Edit:
http://www.onlinemathe.de/forum/Kegelschnittgleichungen-aufstellen

Edit:

Frage wurde beim Link beantwortet.

        
Bezug
Polynomfunkt.3.Grad/Kegelschn.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Fr 02.05.2014
Autor: meili

Hallo gmt,

[willkommenmr]

> Bsp1:
>  Eine Hyperbel in 1. Hauptlage mit den Asymptoten y= [mm]\pm[/mm]
> ([( [mm]\wurzel{2}[/mm] ) /2]x) geht durch den Punkt ( ( [mm]\wurzel{19}[/mm]
> )/3)
>  a) Gib die Gleichung der Hyperbel an
>  Bsp2:
>  Von einer Polynomfunktion 3. Grades kennt man die 1.
> Ableitung mit f ' (x) = (x²-9)/3. Der Graph der Funktion
> schneidet die x - Achse an der Stelle 3.
> a) Bestimme die Nullstellen!
>  Bsp3
>
> Bsp3:
>  Eine Ellipse geht durch die Punkte P (-2/2*( [mm]\wurzel{2}[/mm] ))
> und Q (4/-( [mm]\wurzel{5}[/mm] )) Die rechte große Halbachse der
> Ellipse ist der Durchmesser eines Kreises.
> a) Fertige eine Zeichnung an und bestimme die Gleichungen
> von Ellipse und Kreis
>  Bsp4:
>  Gegeben ist die reelle Funktion f(x) = x³-6x²+9x-4 und
> ihre Nullstelle N(1/0)
> a) Bestimme die Nullstellen, die Extremstellen und den
> Wendepunkt von f
>  Ich bereite mich im Moment auf die Matura (die
> österreichische Abitur) vor und bin bei mehreren
> Beispielen auf Probleme gestoßen, die aber teilweise
> gleiche Ursachen haben.
>
> Bsp1:
>  Hier bin ich auf das Problem gestoßen, dass wenn ich a
> und b nach der Formel im Formelheft (Asymptoten y = [mm]\pm[/mm]
> (b/a)x) in die Hyperbelformel der 1. Hauptlage einsetze,
> die Punkte nicht passen. Daher komme ich gar nicht dazu,
> weiterzurechnen, da ich die korrekte Gleichung nicht
> aufstellen kann.
>
> Weiters wird später in dem Beispiel eine Ellipse
> hinzugefügt und man soll den Winkel, in dem die beiden
> sich schneiden, berechnen. Ich vermute dass dies durch an
> die Hyperbel/Ellipse angelegte Tangenten mit der Steigung f
> '(x) der jeweiligen Körpergleichung möglich wäre. Gibt
> es noch einen anderen, möglicherweise weniger aufwändigen
> Weg (bitte nur allgemein formulierte Antwort)?
>  
> Bsp2:
>  
> Man soll nachdem man f (x) = (x³-27x+54)/9 aufgestellt hat
> die Nullstellen bestimmen. Ich habe versucht die Gleichung
> mit dem Lösungswert 3 mittels Polynomdivision von kubisch
> auf quadratisch zu bringen, mir kommt jedoch ein Rest
> heraus, daher komme ich zu keiner Lösung. Die angegebenen
> Lösungen wären 3 und -6. Wie kommt man zu diesen?
>  
> Bsp3:
>
> Wieder stehe ich vor demselben Problem wie in Bsp1,
> nämlich dass ich aus den angegebenen Punkten keine
> Gleichung bilden kann: Eigentlich sollte das zwar gehen,
> weil man für zwei Unbekannte (a und b) auch zwei
> Gleichungen (durch die Punkte P und Q) aufstellen kann,
> jedoch gelingt es mir nicht b²x²+a²y²=a²b² wenn x und
> y gegeben sind so umzuformen, dass ich zB a in b
> ausdrücken kann oder umgekehrt und es dann im anderen Term
> einsetzen kann. Wie geht das hier?
>
> Bsp4:
>  
> Wieder dasselbe Problem wie bei Bsp2: Ich schaffe es nicht
> die kubische Gleichung in eine quadratische so umzuwandeln,
> dass mir bei der Polynomdivision kein Rest bleibt und so
> auf die Nullstellen zu kommen.

Zu Bsp 2 und 4:
Ohne zu wissen wie du die Polynomdivision durchführst, kann dir kaum
jemand sagen, warum ein Rest herauskommt, wo eigentlich keiner sein sollte.

Wenn man von $f(x) = [mm] (x^3-27x+54)/9$ [/mm] durch Polynomdivision eine
Nullstelle [mm] $x_0 [/mm] = 3$ abspalten will, muss man [mm] $(x^3-27x+54):(x-3)$ [/mm] oder
[mm] $\left(\bruch{1}{9}*x^3-3x+6\right):(x-3)$ [/mm] rechnen.
Beides mal geht es auf ohne Rest.


Bei Bsp4:
[mm] $(x^3-6x^2+9x-4):(x-1) [/mm] = [mm] x^2-5x+4 [/mm] = (x-4)(x-1)$.
[mm] $x^3-6x^2+9x-4 [/mm] = [mm] (x-1)^2*(x-4)$. [/mm]

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt, werde dies aber noch tun, wenn ich
> hier zu lange keine Antwort bekomme. Dann werde ich diesen
> Beitrag editieren und den Link angeben.
>
> Ich danke im Vorfeld schon für jegliche Hilfestellung!

Gruß
meili


Bezug
                
Bezug
Polynomfunkt.3.Grad/Kegelschn.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 Fr 02.05.2014
Autor: gmt

Danke meili! :)

Ich habe den Fehler schon gefunden - ich habe die Polynomdivision mit (x+3) statt (x-3) durchgeführt, deswegen kam auch als ich bei einem Online Rechner nachgeprüft habe das falsche raus.


Bezug
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