Problem Verständnis Aufgabe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Seien G;H Gruppen und sei f : G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung
g : G=/~_{f} [mm] \to [/mm] Bi( f ); [x] [mm] \mapsto [/mm] f (x)
ist wohldefiniert und injektiv. Aufgrund der Wahl der
Zielmenge ist g hier außerdem surjektiv, also insgesamt bijektiv.
a) Weisen Sie nach, dass auf G=/~_{f} durch
[x1] [mm] \* [/mm] [x2] := [x1 [mm] \* [/mm] x2] [mm] (\* [/mm] irgendeine Verknüpfung)
eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist, bezüglich der G=/~_{f} zur Gruppe wird.
b) Zeigen Sie, dass g ein Gruppenisomorphismus ist. |
Hallo.
Hab irgendwie Probleme mit der Aufgabe.
z.B. die b. Was soll man da groß sagen? Laut Aufgabenstellung ist g doch inj. und surj., also bijektiv. Und da steht auch, dass es ein Gruppenhom. ist.
Dann folgt doch schon, dass es ein Gruppenisomorphismus ist. Ist das echt so einfach?
Und die a. was soll ich da überhaupt machen? Danke sehr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Fr 14.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Seien G;H Gruppen und sei f : G [mm]\to[/mm] H ein
> Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung
> g : G=/~_{f} [mm]\to[/mm] Bi( f ); [x] [mm]\mapsto[/mm] f (x)
> ist wohldefiniert und injektiv. Aufgrund der Wahl der
> Zielmenge ist g hier außerdem surjektiv, also insgesamt
> bijektiv.
> a) Weisen Sie nach, dass auf G=/~_{f} durch
> [x1] [mm]\*[/mm] [x2] := [x1 [mm]\*[/mm] x2] [mm](\*[/mm] irgendeine Verknüpfung)
> eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist, bezüglich
> der G=/~_{f} zur Gruppe wird.
> b) Zeigen Sie, dass g ein Gruppenisomorphismus ist.
>
> Hallo.
>
> Hab irgendwie Probleme mit der Aufgabe.
>
> z.B. die b. Was soll man da groß sagen? Laut
> Aufgabenstellung ist g doch inj. und surj., also bijektiv.
Ja.
> Und da steht auch, dass es ein Gruppenhom. ist.
Nein, es steht nirgends, dass g ein Gruppenhomomorphismus ist.
Also muss gezeigt werden, dass g ein Gruppenhomomorphismus ist.
> Dann folgt doch schon, dass es ein Gruppenisomorphismus
> ist. Ist das echt so einfach?
Die Folgerung ist dann richtig.
>
> Und die a. was soll ich da überhaupt machen? Danke sehr.
Zeigen, dass (G=/~_{f}, *) eine Gruppe ist.
Die Verknüpfung [x]*[y] ist in a. definiert. Nun ist zu zeigen, dass sie die Axiome für eine Verknüpfung einer Gruppe erfüllt.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke.
Ich fange mal mit der a an (ist schließlich die erste Teilaufgabe ;))
Hier muss ich Ass., neutrales E. und invertierbare E. zeigen (salopp formuliert)
Ich mach jetzt mal Ass. geht das so (?):
[x] * ([y] * [z])
= f(x) * (f(y) * f(z))
= f(x) * (f(y*z))
= f(x*y*z)
Bei anderer Klammerung kommt dasselbe raus.
Stimmt dieser Weg denn?
Und was könnte das neutrale Element sein?
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> Hier muss ich Ass., neutrales E. und invertierbare E.
> zeigen (salopp formuliert)
>
> Ich mach jetzt mal Ass. geht das so (?):
>
> [x] * ([y] * [z])
>
> = f(x) * (f(y) * f(z))
>
[mm] \red{EDITIERT}
[/mm]
Hallo,
ich war Dir zuvor auf den Leim gegangen und mußte nun die komplette Antwort editieren.
Das, was Du hier schreibst, ist natürlich nicht richtig.
Es ist doch [x] nicht dasselbe wie f(x).
Verwende zum Beweis des Assoziativgesetzes die Def. der Verknüpfung sowie Eigenschaften der Gruppe G.
Kleiner Tip: es wäre nicht schlecht, wenn Du den Verknüfungen in G, H und [mm] G/{\sim_f} [/mm] verschiedene Verknüpfungszeichen zuordnen würdest. das schafft Klarheit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Nicht ganz, da ist noch ein Handgriff vonnöten.
Was soll denn noch fehlen???
> Ja, wenn Du noch jeden Schritt begründest.
Ja natürlich. Ich muss da ja u.a damit begründen, dass f nach Aufgabenstellung ein Gruppenhom. ist.
> Tja.
> Vielleicht schreibst Du erstmal auf, was das neutrale Element (nenn es
> vielleicht einfach mal [n]) leisten muß.
Naja, dann muss gelten (ich schreibs jetzt wieder salopp auf)
[x] * [n] = [x] (für das rechts-neutrale Element)
f(x) * ? = f(x)
Das ? müsste doch dann [mm] id_{G} [/mm] sein
[mm] id_{G} [/mm] : g [mm] \to [/mm] G, [x] [mm] \mapsto [/mm] [x]
Geht das so?
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Hallo,
beachte bitte, daß ich die zuvor gegebene Antwort editieren mußte. Sie war völlig falsch!
> [x] * [n] = [x] (für das rechts-neutrale Element)
Verwende auch hier die Def. der Verknüpfung:
[x] * [n] = [x]
<==>
[mm] [x\*_G [/mm] n]=[x].
Dies sollte Dich auf eine Idee bringen, welches n man für das neutrale Element [n] nehmen kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Jetzt versteh ich garnichts mehr.
> Verwende zum Beweis des Assoziativgesetzes die Def. der Verknüpfung
> sowie Eigenschaften der Gruppe G.
> Kleiner Tip: es wäre nicht schlecht, wenn Du den Verknüfungen in G, H und > $ [mm] G/{\sim_f} [/mm] $ verschiedene Verknüpfungszeichen zuordnen würdest. das
> schafft Klarheit.
Was meinst du damit? Sry, aber versteh das irgendwie nicht. :(
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> Jetzt versteh ich garnichts mehr.
Hallo,
könntest Du genauer sagen, was Du nicht verstehst?
Dein Fehler: Du hast irgendwie verwendet, daß [x] dasselbe ist wie f(x), und dies stimmt nicht.
Es ist g([x])=f(x), aber das g ist bei Aufgabe a) ja überhaupt nicht im Rennen.
Du mußt mit der Def. der Multiplikation der Äquivalenzklassen arbeiten.
>
> > Verwende zum Beweis des Assoziativgesetzes die Def. der
> Verknüpfung
> > sowie Eigenschaften der Gruppe G.
>
> > Kleiner Tip: es wäre nicht schlecht, wenn Du den
> Verknüfungen in G, H und > [mm]G/{\sim_f}[/mm] verschiedene
> Verknüpfungszeichen zuordnen würdest. das
> > schafft Klarheit.
>
> Was meinst du damit? Sry, aber versteh das irgendwie nicht.
Du hast in dieser Aufgabe drei Gruppen: G, H und G / [mm] {\sim_f} [/mm] mit jeweils einer Verknüpfung.
Ich sage: verwende für diese Verknüpfungen verschiedene Zeichen, damit Du nicht so leicht durcheinanderkommst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Mittlerweile fange ich an, dass zu verstehn.
> Du mußt mit der Def. der Multiplikation der Äquivalenzklassen arbeiten
Nur damit das nachher nicht irreführend ist. Es geht um eine allgemeine Verknüpfung.
Aber wenn ich nicht f(x) und so nutzen darf (was mir jetzt auch klar ist), wie soll ich das dann zeigen (also die Assoziativität) ?
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> Mittlerweile fange ich an, dass zu verstehn.
>
> > Du mußt mit der Def. der Multiplikation der
> Äquivalenzklassen arbeiten
>
> Nur damit das nachher nicht irreführend ist. Es geht um
> eine allgemeine Verknüpfung.
>
> Aber wenn ich nicht f(x) und so nutzen darf (was mir jetzt
> auch klar ist), wie soll ich das dann zeigen (also die
> Assoziativität) ?
Hallo,
wie ich gesagt habe: unter Verwendung der Def. und der Eigenchaften der Gruppe.
Zu zeigen ist ([x]*[y])*[z]=[x]*([y]*[z]).
Also rechnet man halt beide Seiten mal aus und guckt nach, ob sie gleich sind,
oder man formt eine Seite so lange um, bis man die zweite hat.
[mm] ([x]*[y])*[z]=[x\*_G [/mm] y]*[z] [mm] \qquad \quadnach [/mm] Def. der Multiplikation v. Äquivalenzklassen
= ... usw. usf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Geht es hier denn um die Multiplikation? Ist doch hier eine allgemeine Verknüpfung?
Also:
([x] * [y] ) * [z] = ([x*y]) * z = [x+y+z]
Bei anderer Richtung kommt dasselbe raus.
Ist das neutrale Element dann [1]?
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> Geht es hier denn um die Multiplikation? Ist doch hier eine
> allgemeine Verknüpfung?
>
Hallo,
es ist irgendeine Verknüpfung, welche ich aufgrund der Tatsache, daß sie mit dem Multiplikationszeichen bezeichnet ist, "Multiplikation" genannt habe.
Sie hat in der Tat nichts mit der Multiplikation von Zahlen zu tun!
Wir haben es hier ja gar nicht mit Zahlen zu tun.
> Also:
>
> ([x] * [y] ) * [z] = ([x*y]) * z = [x+y+z]
Was meinst Du mit dem dem "+" ?
Nochmal von vorn:
wir haben eine Gruppe (G, [mm] \*_G) [/mm] mit dem neutralen Element [mm] 1_G,
[/mm]
und eine Gruppe (H, [mm] \*_H) [/mm] mit dem neutralen Element [mm] 1_H,
[/mm]
weiter einen Gruppenhomomorphismus f: [mm] g\to [/mm] H.
Auf der Gruppe G wurde einen Äquivalenzrelation [mm] \sim_f [/mm] definiert in folgender Weise:
für alle x,y [mm] \in [/mm] G: [mm] x\sim_f [/mm] y [mm] \quad \gdw \quad [/mm] f(x)=f(y).
Wenn man eine Äquivalenzrelation auf G hat, kann man die Menge aller Äquivalenzklassen von G bzgl. dieser Relation betrachten,
das ist die Menge G / [mm] {\sim_f}.
[/mm]
Auf dieser Menge wurde nun eine Verknüpfung [mm] \* [/mm] erklärt:
[x] * [y] := [mm] [x\*_G [/mm] y].
Du möchtest nun hier zeigen, daß (G / [mm] {\sim_f} [/mm] , [mm] \*) [/mm] eine Gruppe ist.
Nun zum Beweis der Assoziativität: mit dem + hast Du Dich wahrscheinlich nur vertippt.
Trotzdem ist es so, wie es jetzt dasteht, nicht richtig.
Wenn ich [mm] [x\*_G [/mm] y]*[z] streng nach Definitionsvorschrift ausrechne, bekomme ich [mm] [(x\*_G [/mm] y) [mm] \*_G [/mm] z].
Du solltest solche "Kleinigkeiten" nicht auf die leichte Schulter nehmen.
Exaktes Arbeiten ist das A und O, wenn Du einigermaßen erfolgreich Mathe studieren möchtest.
> Ist das neutrale Element dann [1]?
Ja. Wobei Du genau wissen solltest, was Du mit "1" meinst!
Mit meinen hier im Thread verwendeten Bezeichnungen ist das neutrale Element von (G / [mm] {\sim_f} [/mm] , [mm] \*) [/mm] die Restklasse [mm] [1_G],
[/mm]
in Zeichen: [mm] 1_{G / {\sim_f} }= [1_G].
[/mm]
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal
Beim + hatte ich mich wirklich nur vertippt (hab mich selbst gewundert, als ich das gesehn habe xD)
> Wenn ich $ [x*_G $ y]*[z] streng nach Definitionsvorschrift ausrechne,
> bekomme ich $ [(x*_G $ y) $ *_G $ z].
> Du solltest solche "Kleinigkeiten" nicht auf die leichte Schulter nehmen.
> Exaktes Arbeiten ist das A und O, wenn Du einigermaßen erfolgreich Mathe
> studieren möchtest.
Ja, deswegen mag ich Mathe ja auch. Aber vielen Dank für diesen Hinweis. Ich werde es auf jeden Fall beachten.
Ähm, das mit dem neutralen Element versteh ich jetzt (und auch da ein Danke). Aber wie sieht das Inverse aus??? Es muss ja das neutrale Element rauskommen.
Aber dann müsste doch [x] * [1/x] gelten und somit müsste [1/x] das Inverse sein?
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> wie sieht das Inverse aus??? Es
> muss ja das neutrale Element rauskommen.
>
> Aber dann müsste doch [x] * [1/x] gelten
Hallo,
???
Das ist einfach ein Term, und man kann nicht über falsch oder richtig befinden...
Bei Gleichungen könnte man das...
> und somit müsste
> [1/x] das Inverse sein?
Naja. Du hast es mit der Gruppe G zu tun, und ich bin mir nicht sehr sicher, daß Ihr hier Brüche definiert habt.
Aber wenn Du mir sagen möchtest, daß [mm] [x^{-1}] [/mm] das Inverse zu [x] ist, in Zeichen [mm] [x^{-1}]=[x]^{-1}, [/mm] ist das richtig.
Wichtig ist es, daß man sich klarmacht, daß es zu x wirklich ein Inverses gibt: weil G eine Gruppe ist, können wir sicher sein.
Gruß v. Angela
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> a) Weisen Sie nach, dass auf G=/~_{f} durch
> [x1] [mm]\*[/mm] [x2] := [x1 [mm]\*[/mm] x2] [mm](\*[/mm] irgendeine Verknüpfung)
> eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist
Hallo,
Meili hat nicht extra daraufhingewiesen, aber diesen Arbeitsauftrag solltest Du keinesfalls vergessen, er ist sehr wichtig.
Du mußt hierfür zeigen, daß die oben definierte Verknüpfung repräsentantenunabhängig ist, dh, daß für [mm] [x_i]=[y_i] [/mm] gilt
[mm] [x_1] $\*$ [x_2]=[y_1] $\*$ [y_2].
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok, danke. (lass jetzt den Index weg)
Also [x] = [y]
Daraus folgt x ~ y
Also: f(x) = f(y) ??? So?
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> Ok, danke. (lass jetzt den Index weg)
>
> Also [x] = [y]
>
> Daraus folgt x ~ y
>
> Also: f(x) = f(y) ??? So?
Hallo,
diese Vorüberlegung für den Beweis der Wohldefiniertheit ist richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:52 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Kannst du mir vllt kurz zeigen, wie man das dann formal aufschreibt?
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> Kannst du mir vllt kurz zeigen, wie man das dann formal
> aufschreibt?
Hallo,
was meinst Du denn mit "das"?
Den Beweis für die Wohldefiniertheit?
Den sollst Du führen und nicht ich.
Was zu zeigen ist, habe ich Dir doch recht genau gesagt, und nun würde ich mal ein bißchen Aktivität sehen wollen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Das Problem ist, dass ich gar keine Ahnung habe, wie ich die Wohldefiniertheit zeigen soll. Ich dachte, mein Ansatz wär schon die Lösung. Das geht aber schon (?):
[x] = [y]
=> x ~ y
=> f(x) = f(y)
Aber nun? Kannst du mir einen Tipp geben?
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> Das Problem ist, dass ich gar keine Ahnung habe, wie ich
> die Wohldefiniertheit zeigen soll. Ich dachte, mein Ansatz
> wär schon die Lösung. Das geht aber schon (?):
>
> [x] = [y]
>
> => x ~ y
>
> => f(x) = f(y)
>
> Aber nun? Kannst du mir einen Tipp geben?
Hallo,
ich glaube, ich wiederhole mich jetzt...
Es wurde eine Verknüpfung auf der Menge G / [mm] {\sim_f} [/mm] definiert durch [mm] [x]*[y]:=[x\*_G [/mm] y] für alle [x], [mm] [y]\in [/mm] G / [mm] {\sim_f}.
[/mm]
Deren Wohldefiniertheit soll und muß nun untersucht werden.
Wonach müssen wir schauen? Es darf nicht passieren, daß wir Elemente [x], [y] haben, für die wir keinen Funktionswert bestimmen können, weil [mm] x\*_G [/mm] y nicht definiert ist oder es die zugehörige Restklasse nicht gibt. Beides ist hier kein Problem, und man kann diesen Punkt getrost ignorieren - wobei estrotzem kein Fehler ist, sich im Stillen mal zu überlegen, daß es wirklich kein Problem ist.
Der springende Punkt ist ein anderer: ist der Funktionswert wirklich eindeutig bestimmt?
Dies ist ein typisches Problem, wenn man es mit Funktionen, die auf Äquivalenzklassen angewendet werden, zu tun hat.
Es können ja zwei Äquivalenzklassen [x] und [a] gleich sein, obgleich x und a nicht gleich sind.
Wir müssen sicherstellen, daß das Ergebnis der Verknüpfung unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen ist.
Prüfen müssen wir hier also: sofern [x]=[a] und [y]=[b], ist dann auch [x]*[y]=[a]*[b] ?
Wenn dies nicht der Fall ist, können wir die Verknüpfung getrost in die Tonne kloppen - wofür sollte sie taugen? Sie wäre ein unberechenbares Etwas.
Sei also vorausgesetzt, daß [x]=[a] und [y]=[b], dh. es ist f(x)=f(a) und f(y)=f(b).
Du mußt nun prüfen, ob unter dieser Voraussetzung [x]*[y]=[a]*[b] gilt,
ob also [mm] [x\*_G y]=[a\*G [/mm] b] richtig ist.
Was mußt Du dafür prüfen? Du scheinst es zu wissen, wie ich deinen Vorüberlegungen entnehme.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..bestimmt ist das super einfach xD
Aber deine Erklärung hab ich verstanden. Hoffe ich zumindest. Ein großes Danke dafür.
Also [x] = [a] und [y] = [b]
Weitere Voraussetzung ist [x] [mm] \* [/mm] [y] = [a] [mm] \* [/mm] [b]
Wenn ich nun prüfen soll, ob [x [mm] \* [/mm] y] = [a [mm] \* [/mm] b] richtig ist, kann ich doch folgendes machen:
f(x [mm] \* [/mm] y) = f(a [mm] \* [/mm] b)
Damit muss gelten: x [mm] \* [/mm] y = a [mm] \* [/mm] b
Reicht das nicht aus oder ist das kompletter Unsinn?
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> Hmm..bestimmt ist das super einfach xD
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> Aber deine Erklärung hab ich verstanden. Hoffe ich
> zumindest. Ein großes Danke dafür.
>
> Also [x] = [a] und [y] = [b]
> Weitere Voraussetzung ist [x] [mm]\*[/mm] [y] = [a] [mm]\*[/mm] [b]
Nein, das ist keine Voraussetzung, sondern wir wollen herausfinden, ob das gilt.
Wenn es gilt, ist die Verknüpfung unabhängig von den Repräsentanten.
> Wenn ich nun prüfen soll, ob [x [mm]\*[/mm] y] = [a [mm]\*[/mm] b] richtig
> ist, kann ich doch folgendes machen:
>f(x [mm]\*[/mm] y) = f(a [mm]\*[/mm] b)
>
> Damit muss gelten: x [mm]\*[/mm] y = a [mm]\*[/mm] b
Wenn f injektiv ist, dann stimmt diese Folgerung. Und wenn x*y=a*b, dann ist natürlich auch [x*y]=[a*b] und somit [x]*[y]=[a]*[ b].
Bloß leider steht nirgendwo, daß f injektiv ist....
Aber etwas anderes wissen wir über x*y und a*b, wenn die Funktionswerte unter f gleich sind: die beiden sind äquivalent bzgl der Äquivalenzrelation [mm] \sim_f.
[/mm]
Versuche jetzt mal, den Beweis schlüssig aufzuschreiben, in etwa so:
Voraussetzung: [x] = [a] und [y] = [b]
zu zeigen: [x]*[y]=[a]*[ b] , dh. [x*y]=[a*b].
Beweis:
nach Voraussetzung ist [x] = [a] und [y] = [b], dh. [mm] x\sim_f [/mm] a und [mm] y\sim_f [/mm] b, dh. f(x)=f(a) und f(y)=f(b).
f ist ein Homomorphismus.
Also ist
f(x*y)= .... = .... = f(a*b)
==> x*y ??? a*b
Also ist ...= ... und somit [x]*[y]=[a]*[ b].
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Wie kann man den Homomorphismus bei b zeigen?
Es müsste ja gelten: g(|x| [mm] \* [/mm] |y|) = g(|x|) [mm] \* [/mm] g(|y|)
Und es gilt: g(|x| [mm] \* [/mm] |y|) = g(|x [mm] \* [/mm] y|)
Aber was jetzt? (Die Aufgabe gibt nur 1 Punkt, kann also nicht SO schwer sein)
Danke vielmals für Hilfe.
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> Wie kann man den Homomorphismus bei b zeigen?
>
> Es müsste ja gelten: g(|x| [mm]\*[/mm] |y|) = g(|x|) [mm]\*[/mm] g(|y|)
Hallo,
ja, das ist zu zeigen. (Allerdings geht es hier nicht um Beträge, sondern um Äquivalenzklassen. Eckige Klammern.)
>
> Und es gilt: g(|x| [mm]\*[/mm] |y|) = g(|x [mm]\*[/mm] y|)
>
> Aber was jetzt? (Die Aufgabe gibt nur 1 Punkt, kann also
> nicht SO schwer sein)
Jetzt guckst Du mal nach, wie g definiert ist.
Gruß v. Angela
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