Problem mit LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gegeben sei folgendes LGS:
a+ b+ 6c+ 3d = 1
b+ 3c+ d = 2
2b+10c+ 2d = -4
-2a- 5c+ 4d = 0
Die angegebene Lösung ist:
a = [mm] 5-2\lambda; [/mm] b = [mm] 8-\lambda; [/mm] c = -2; d = [mm] \lambda
[/mm]
Es gibt also unendlich viele Lösungen. Allerdings komme ich nur auf eine spezielle Lösung dieses LGS und nicht auf die anderen!
Das LGS vereinfacht:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 10 & 2 \\ -2 & 0 & -5 & -4}\pmat{a\\b\\c\\d} [/mm] = [mm] \pmat{1\\2\\-4\\0}
[/mm]
Nun habe ich den Gauß-Algorithmus angewendet in folgenden Schritten:
- Veränderung der 3. Zeile durch 2* 2. Zeile - 3. Zeile
- Veränderung der 4. Zeile durch 2* 1. Zeile + 4. Zeile
- Veränderung der 4. Zeile durch 2. Zeile - 4. Zeile
- Veränderung der 4. zeile durch 3. Zeile - 4. Zeile
Dann kommt man auf folgende Darstellung:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}\pmat{a\\b\\c\\d} [/mm] = [mm] \pmat{1\\2\\8\\8}
[/mm]
Daraus erhält man
d = 8;
-4c = 8 <=> c = -2;
b+3*(-2)+8 = 2 <=> b = 0
a - 12 + 24 = 1 <=> a = -11
Diese Lösungen stimmen alle, allerdings komme ich einfach nich auf die anderen Lösungen, nur auf diese spezielle! Wer kann mir helfen?
Normalerweise wird mit dem Gauß-Algorithmus bei einem LGS mit unendlich vielen Lösungen immer mind. eine Zeile 0, woraus dann ein unterbestimmtes LGS entsteht, es logischerweise also unendlich viele Lösungen gibt. Lösungen werden dann in Abhängigkeit von einem Parameter dargestellt! Das ist bei mir aber nicht der Fall. Was mache ich falsch?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, in der 4. Gleichung steht +4d, in deiner Matrix steht aber -4, Steffi
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Hallo, ich habe jetz in der 4. Gleichung mit -4d gerechnet
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 6 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 10 & 2 & -4 \\ -2 & 0 & -5 & -4 & 0 }
[/mm]
bilde eine neue 3 Zeile: 2*2. Zeile minus 3. Zeile
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 6 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -4 & 0 & 8 \\ -2 & 0 & -5 & -4 & 0 }
[/mm]
jetzt bist du schon fertig,
aus 3. Zeile folgt: c=-2
aus 2. Zeile folgt: [mm] d=\lambda [/mm] und [mm] b=8-\lambda
[/mm]
aus 1. Zeile folgt [mm] a=5-2\lambda
[/mm]
Probe in 4. Zeile gibt wahre Aussage
Steffi
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Ok, also hört man auf sobald eine Zeile 3 Nullen enthält oder wie? Allgemein also soviele Nullen, bis man eine Variable direkt ablesen kann?
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Ganz so leicht kannst du es dir nicht machen. Ich müsste es noch weiterrechnen (wie jetzt folgt), um definitiv zu sehen, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
1. Wenn in einer Zeile nur noch eine Variable auftaucht, dann kannst du die mit dieser Gleichung natürlich sofort ausrechnen und in alle anderen Gleichungen einsetzen. Das geht immer so und verkleinert das LGS um eine Variable und eine Gleichung.
2. Ziel beim Gauß ist ja die Dreiecks- bzw. Diagonalform. Wenn du jetzt das c berechnet hast, setzt du das einfach überall ein und schreibst die drei anderen Gleichungen nochmal auf:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 3 & 13 \\ 0 & 1 & 1 & 8 \\ -2 & 0 & -4 & -10 } [/mm] $
Du kannst jetzt ganz normal mit dem Gauß-Verfahren weitermachen (1. Zeile mal 2 und mit der letzten addieren):
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 3 & 13 \\ 0 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 2 & 2 & 16 } [/mm] $
Im nächsten Schritt würdest du die -2-fache 2. Zeile mit der letzten addieren, aber du siehst hier natürlich auch schon, dass die untere Zeile genau die doppelte der vorletzten ist, d.h. nach dem nächsten Schritt sieht das so aus:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 3 & 13 \\ 0 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
Was ja dann genau dem Format entspricht, das du für die unendlich vielen Lösungen kennst. Das Procedere mit dem Parameter hast du ja selbst beschrieben.
Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie Steffi das in ihrem letzten Schritt schon sehen konnte. Wenn dort andere Zahlen stehen, z.B.
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 13 \\ 0 & 1 & 1 & 8 \\ -2 & 0 & -4 & -10 } [/mm] $
dann gibt es eine eindeutige Lösung. Ich kann das an der Stelle also nicht auf Anhieb sehen...
Das einzig Besondere ist dann tatsächlich, dass du eine der Unbekannten schon zwischendurch ermittelt hast, ansonsten musst du meiner Ansicht nach so etwas wie das Gauß-Verfahren bis zum Ende durchziehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Vielen Dank, nur habe ich ja bis zum Ende gerechnet wie Du in meinem ersten Post siehst und habe nur eine Lösung raus!
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> Ganz so leicht kannst du es dir nicht machen. Ich müsste
> es noch weiterrechnen (wie jetzt folgt), um definitiv zu
> sehen, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
>
> 1. Wenn in einer Zeile nur noch eine Variable auftaucht,
> dann kannst du die mit dieser Gleichung natürlich sofort
> ausrechnen und in alle anderen Gleichungen einsetzen. Das
> geht immer so und verkleinert das LGS um eine Variable und
> eine Gleichung.
> 2. Ziel beim Gauß ist ja die Dreiecks- bzw. Diagonalform.
> Wenn du jetzt das c berechnet hast, setzt du das einfach
> überall ein und schreibst die drei anderen Gleichungen
> nochmal auf:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 & 13 \\ 0 & 1 & 1 & 8 \\ -2 & 0 & -4 & -10 }[/mm]
>
> Du kannst jetzt ganz normal mit dem Gauß-Verfahren
> weitermachen (1. Zeile mal 2 und mit der letzten
> addieren):
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 & 13 \\ 0 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 2 & 2 & 16 }[/mm]
>
> Im nächsten Schritt würdest du die -2-fache 2. Zeile mit
> der letzten addieren, aber du siehst hier natürlich auch
> schon, dass die untere Zeile genau die doppelte der
> vorletzten ist, d.h. nach dem nächsten Schritt sieht das
> so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 & 13 \\ 0 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Was ja dann genau dem Format entspricht, das du für die
> unendlich vielen Lösungen kennst. Das Procedere mit dem
> Parameter hast du ja selbst beschrieben.
>
> Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie Steffi das in ihrem
> letzten Schritt schon sehen konnte. Wenn dort andere Zahlen
> stehen, z.B.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 13 \\ 0 & 1 & 1 & 8 \\ -2 & 0 & -4 & -10 }[/mm]
>
> dann gibt es eine eindeutige Lösung. Ich kann das an der
> Stelle also nicht auf Anhieb sehen...
>
> Das einzig Besondere ist dann tatsächlich, dass du eine
> der Unbekannten schon zwischendurch ermittelt hast,
> ansonsten musst du meiner Ansicht nach so etwas wie das
> Gauß-Verfahren bis zum Ende durchziehen.
Ja ok, aber ich hab es wie gesagt bis zum Ende r´gerechnet, wie Du sehen kannst und bin nur auf eine Lösung gekommen :(
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> Ja ok, aber ich hab es wie gesagt bis zum Ende
> r´gerechnet, wie Du sehen kannst und bin nur auf eine
> Lösung gekommen :(
Hallo,
rechne ein weiteres Mal.
Wie schon von Vorrednern erwähnst, stimmt die -4 in der vorletzten Zeile nicht,
und die letzte Zeile ist auch verkehrt.
Beim Vergleich mit der korrekten ZSF, die ich gepostet hatte, solltest Du es sehen können.
Rechne halt nochmal, wenn Du wieder aufs falsche Ergebnis kommst, poste die Zwischenschritte - mit ihren Ergebnissen.
Gruß v. Angela
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> Ok, also hört man auf sobald eine Zeile 3 Nullen enthält
> oder wie? Allgemein also soviele Nullen, bis man eine
> Variable direkt ablesen kann?
Hallo,
Du fährst am besten, wenn Du den Gaußalgorithmus konsequent bis zum Ende durchziehst, also bis zur ZSF, und zumindest für inhomogene Systeme ist das Aufstellen der reduzierten ZSF kein Fehler, weil man hier auf einen Blick alles ablesen kann:
Die red. ZSF zu Deiner Matrix ist
1 0 0 2 |5
0 1 0 1 |8
0 0 1 0 |-2
0 0 0 0 |0 ,
und Du kannst hier sofort ablesen
1. daß es eine Lösung gibt (Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten),
2. daß die Lösung des homogenen Systems die Dimension 1 hat (Rang der Koeffizientenmatrix=3), und daß [mm] \vektor{2\\1\\0\\-1} [/mm] eine Basis des Kerns ist,
3. daß [mm] \vektor{5\\8\\-2\\0} [/mm] eine spezielle Lösung ist.
Damit hast Du [mm] L=\vektor{5\\8\\-2\\0} [/mm] + [mm] <\vektor{2\\1\\0\\-1}>.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Hallo, ich habe jetz in der 4. Gleichung mit -4d gerechnet
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 6 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 10 & 2 & -4 \\ -2 & 0 & -5 & -4 & 0 }[/mm]
>
> bilde eine neue 3 Zeile: 2*2. Zeile minus 3. Zeile
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 6 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -4 & 0 & 8 \\ -2 & 0 & -5 & -4 & 0 }[/mm]
>
> jetzt bist du schon fertig,
>
> aus 3. Zeile folgt: c=-2
> aus 2. Zeile folgt: [mm]d=\lambda[/mm] und [mm]b=8-\lambda[/mm]
> aus 1. Zeile folgt [mm]a=5-2\lambda[/mm]
>
> Probe in 4. Zeile gibt wahre Aussage
>
> Steffi
Wieso folgt aus der 2. Zeile [mm] d=\lambda[/mm] [/mm] und [mm]b=8-\lambda[/mm]?
Wenn ich diese Zeile ablese habe ich: b = 8 - d und d = 8 - b ?
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> > Hallo, ich habe jetz in der 4. Gleichung mit -4d gerechnet
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 1 & 6 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 10 & 2 & -4 \\ -2 & 0 & -5 & -4 & 0 }[/mm]
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> >
> > bilde eine neue 3 Zeile: 2*2. Zeile minus 3. Zeile
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 1 & 6 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -4 & 0 & 8 \\ -2 & 0 & -5 & -4 & 0 }[/mm]
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> >
> > jetzt bist du schon fertig,
> >
> > aus 3. Zeile folgt: c=-2
> > aus 2. Zeile folgt: [mm]d=\lambda[/mm] und [mm]b=8-\lambda[/mm]
> > aus 1. Zeile folgt [mm]a=5-2\lambda[/mm]
> >
> > Probe in 4. Zeile gibt wahre Aussage
> >
> > Steffi
> Wieso folgt aus der 2. Zeile [mm]d=\lambda[/mm][/mm] und [mm]b=8-\lambda[/mm]?
> Wenn ich diese Zeile ablese habe ich: b = 8 - d und d = 8
> - b ?
Hallo,
aus der Matrix oben folgt mit einem Blick fast nix.
Ich denke, daß Steffi eigentlich die korrekte ZSF noch posten wollte und über diese spricht.
Gruß v. Angela
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