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| Aufgabe | Ermitteln sie eine Stammfunktion F zu f.
d) f(x) = [mm] (2x+5)*(x+2)^{8}
[/mm]
e) f(x) = x*cos(x)
h) f(x) = [mm] x^{3}*e^{2x}
[/mm]
j) f(x) = [mm] \bruch{x}{2}*\wurzel{8-x} [/mm] |
Liebes matheraum-Team,
Ich bin ehrlich gesagt überfordert mit unserer heutigen Matheaufgabe. Unser Tutor hat es nicht sonderlich gut mit der Devise "es etwas ruhiger angehen" und so habe ich den Eindruck, euch lieber nochmals um eine exakte Eklärung bitten zu müssen.
Heute haben wir mit dem Thema Produktintegration begonnen, und 2 Möglichkeiten - sowohl das direkte Auflösen als auch das Umformen - kennengelernt. Die allgemeine Formel, die ich hierzu anwende, lautet folgendermaßen:
F(x) = u*v - [mm] \integral_{a}^{b}{(u'*v)dx}
[/mm]
Als Beispiel ziehe ich nun einen meiner Problemfälle heran, nämlich h)
f(x) = [mm] x^{3}*e^{2x} [/mm] --> u = [mm] e^{2x} [/mm] || v' = [mm] x^{3} [/mm] --> u' = [mm] e^{2x}*2 [/mm] || v = [mm] \bruch{1}{4}x^{4} [/mm]
Nun habe ich alle nötigen "Variablen" meiner allgemeinen Formulierung bestimmt, oder? Mein nächster Schritt wäre nun die eigentliche Integration:
F(x) = [mm] e^{2x}*\integral_{a}^{b}{(e^{2x}*2*\bruch{1}{4}x^{4})dx}
[/mm]
An dieser Stelle weiß ich nun jedoch nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Wie löse ich nun das Integral, welches abgezogen werden soll, auf? Herkömmliches Mittel war in diesem Fall doch immer die Bildung der Stammfunktion, aber die ist an dieser Stelle ja eigentlich gesucht, oder verstehe ich da etwas falsch?
Ich hoffe jemand von euch kann mir die Integration an diesem Beispiel nochmal kurz anhand der einzelnen Schritte erläutern. Ich wäre demjenigen / derjenigen äußerst dankbar!
MfG,
fackelschein
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Hallo, tausche
[mm] u=x^3
[/mm]
[mm] v'=e^2^x
[/mm]
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Di 04.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo fackelschein!
Dein entscheidenden Tipp hat Dir Steffi bereits gegeben. Es bleibt hier noch anzumerken, dass das neue entstehende Integral nochmals mittels partieller Integration / Produktintegration behandelt werden muss.
Gruß
Loddar
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Gut, ich habe nun u und v' ausgetauscht, stehe nun aber wieder an der gleichen Stelle: Was muss ich tun um das Integral aufzulösen, geschieht dies über eine Aufleitung der Funktion die innerhalb des Integrals steht?
Falls lediglich das Integral zu entfernen ist wäre meine erste Lösung:
F(x) = [mm] x^{3}*\bruch{1}{2}e^{2x}-3x^{2}*\bruch{1}{2}e^{2x} [/mm] = [mm] x^{3}-3x^{2}
[/mm]
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Hallo, du hast den 1. Schritt nur fast geschafft, dir fehlt das Integral
[mm] \integral_{}^{}{x^3*e^2^x dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}x^3*e^2^x-\integral_{}^{}{\bruch{3}{2}x^2*e^2^x dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}x^3*e^2^x-\bruch{3}{2}\integral_{}^{}{x^2*e^2^x dx}
[/mm]
hast du den zweiten Hinweis von Loddar gelesen, mehrfach anwenden!!
das Integral [mm] \integral_{}^{}{x^2*e^2^x dx} [/mm] knackst du jetzt nach der gleichen Methode
[mm] u=x^2
[/mm]
[mm] v'=e^2^x
[/mm]
schön auf Klammern achten, dann kommt noch ein Integral, wende die gleiche Methode erneut an
Steffi
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Danke, doch - den Tipp habe ich gelesen, ich wollte nur wissen ob ich das Integral auf die gleiche Weise auflösen darf, oder ob es an dieser Stelle ein weiteres Mittel gibt.
Nachdem ich das Integral nun insgesamt dreimal aufgelöst habe, wäre mein Ergebnis folgendes:
F(x) = [mm] (\bruch{1}{2}x^{3}*e^{2x})-\bruch{3}{2}*(x^{2}*\bruch{1}{2}e^{2x})-(x*e^{2x})-\bruch{1}{4}*e^{2x}
[/mm]
Stimmt dies, mMn war die "Abstufung" der Exponenten erstmal logisch, am Ende ist dann ein Argument völlig aufgelöst.
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Hallo, ich glaube du hast das Prinzip jetzt verstanden, ich hatte dir vorhin den Hinweis gegeben, auf die Klammern zu achten, da ist einiges passiert, leider kann ich nicht sagen wo, du hast die Zwischenschritte nicht notiert, ich gebe dir mal
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}x^{3}*e^{2x}-\bruch{3}{4}x^{2}*e^{2x}+\bruch{3}{4}x*e^{2x}-\bruch{3}{8}e^{2x}+C
[/mm]
überprüfe deine Brüche
Steffi
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Dankeschön, ich denke es wäre hilfreich wenn du mir die "erste Wiederholung" kurz zeigen könntest, damit ich weiß wo und wie ich da auf Klammern achten und sie setzen muss.
Mein letzter Schritt vor der Wiederholung ist:
F(x) = [mm] (\bruch{1}{2}x^{3}*e^{2x})-\bruch{3}{2}*\integral_{a}^{b}{x^{2}*e^{2x}dx} [/mm]
Mein erster Schritt nach der Wiederholung:
F(x) = [mm] (\bruch{1}{2}x^{3}*e^{2x})-\bruch{3}{2}*(x^{2}*\bruch{1}{2}e^{2x})-\integral_{a}^{b}{2x*\bruch{1}{2}e^{2x}dx} [/mm]
Vielen Dank nochmal für deine umfassende Hilfe, wirklich nicht selbstverständlich. Dies ist deine Lösung?
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Hallo fackelschein,
> Dankeschön, ich denke es wäre hilfreich wenn du mir die
> "erste Wiederholung" kurz zeigen könntest, damit ich weiß
> wo und wie ich da auf Klammern achten und sie setzen muss.
>
> Mein letzter Schritt vor der Wiederholung ist:
>
> F(x) =
> [mm](\bruch{1}{2}x^{3}*e^{2x})-\bruch{3}{2}*\integral_{a}^{b}{x^{2}*e^{2x}dx}[/mm]
>
> Mein erster Schritt nach der Wiederholung:
>
> F(x) =
> [mm](\bruch{1}{2}x^{3}*e^{2x})-\bruch{3}{2}*(x^{2}*\bruch{1}{2}e^{2x})-\integral_{a}^{b}{2x*\bruch{1}{2}e^{2x}dx}[/mm]
>
Hier sind doch Klammern zu setzen:
[mm](\bruch{1}{2}x^{3}*e^{2x})-\bruch{3}{2}*\left\blue{(} \ (x^{2}*\bruch{1}{2}e^{2x})-\integral_{}^{}{2x*\bruch{1}{2}e^{2x}dx} \ \right\blue{)}\red{+C}[/mm]
Und dann kommt noch eine Integrationskonstante C hinzu.
>
> Vielen Dank nochmal für deine umfassende Hilfe, wirklich
> nicht selbstverständlich. Dies ist deine Lösung?
Gruss
MathePower
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