Prüfen ob Funktion stetig is < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Druss |
Hallo,
Die Funktion f(t) ist auf ihrem Definitionsbereich [mm] 1\le [/mm] t [mm] \le [/mm] T in drei Unterbereiche gegliedert:
[mm] U_1: 1\le [/mm] t [mm] \le T_1
[/mm]
[mm] U_2: T_1\le [/mm] t [mm] \le T_2
[/mm]
[mm] U_3: T_2< t\le [/mm] T
Es gilt, dass [mm] 1
Folgende Funktionen sind für f(t) = a+bt + [mm] cz_t [/mm] + [mm] d\omega_t [/mm] definiert
[mm] z_t [/mm] = 0 für [mm] t\le T_1
[/mm]
[mm] z_t [/mm] = [mm] (t-T_1)^3 [/mm] für [mm] T_1
[mm] z_t [/mm] = [mm] (T_2 [/mm] - [mm] T_1)^3 [/mm] für [mm] t\ge T_2+1
[/mm]
[mm] \omega_t [/mm] = 0 für [mm] t\le T_2
[/mm]
[mm] \omega_t [/mm] = [mm] (t-T_2)^2 [/mm] für [mm] T_2
es würden sich damit folgende Bereiche bilden
f(t) [mm] =\begin{cases}
a+bt , & \text{für} \ t\le T_1\\
a+bt + c(t-T_1)^3, & \text{für} \ T_1
Wenn ich nun den links- uns rechtsseitigen Grenzwert an den Stellen [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] berechne um so zu überprüfen ob die Funktion an diesen Bruchstellen stetig ist komme ich auf folgende Ergebnisse.
von links nach [mm] T_1:
[/mm]
[mm] \lim_{t \to T_1}f(t) [/mm] = [mm] \lim_{t \to T_1}{a+bt} [/mm] = [mm] a+bT_1
[/mm]
von rechts nach [mm] T_1:
[/mm]
[mm] \lim_{t \to T_1}f(t) [/mm] = [mm] \lim_{t \to T_1}{a+bt + c(t-T_1)^3} [/mm] = [mm] a+bT_1
[/mm]
würde also hier zu dem Ergebnis kommen, dass die Funktion an der Stelle [mm] T_1 [/mm] stetig ist da der gleiche Funktionswert vorliegt.
von links nach [mm] T_2:
[/mm]
[mm] \lim_{t \to T_2}f(t) [/mm] = [mm] \lim_{t \to T_2}{a+bt + c(t-T_1)^3} [/mm] = [mm] a+bT_2 [/mm] + [mm] c(T_2-T_1)^3
[/mm]
von rechts nach [mm] T_2:
[/mm]
[mm] \lim_{t \to T_2}f(t) [/mm] = [mm] \lim_{t \to T_1}{a+bt + c(T_2 - T_1)^3 + d(t-T_2)^2} [/mm] = [mm] a+bT_2 [/mm] + [mm] c(T_2 [/mm] - [mm] T_1)^3 [/mm]
Ich würde auch hier zu dem Ergebnis kommen, dass die Funktion an der Stelle [mm] T_2 [/mm] stetig ist.
Mir wurde jedoch gesagt, dass die Funktion zwar für [mm] T_1 [/mm] stetig sei nicht jedoch für [mm] T_2. [/mm] Wo liegt mein Fehler?
mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Druss |
Hallo!
> Ist [mm]t\ge T_2+1[/mm] so
> in der Aufgabenstellung oder + 1 ein Tipfehler? Im
> folgenden bist Du von [mm]t\ge T_2[/mm] ausgegangen
Ist kein Tippfehler und müsste somit berücksichtigt werden.
Es wäre dann
f(t) [mm] =\begin{cases}
a+bt , & \text{für} \ t\le T_1\\
a+bt + c(t-T_1)^3, & \text{für} \ T_1
Eigentlich dürfte sich doch am Rest nichts verändern weil wir mal davon ausgehen, dass der Index diskrete Zeitpunkte t darstellt also 1,2,3,...
wenn also zuvor galt, dass
a + bt + [mm] c(T_2 [/mm] - [mm] T_1)^3 [/mm] + [mm] d(t-T_2)^2 [/mm] & [mm] \text{für }T_2< t\le [/mm] T
wäre [mm] T_2+1 [/mm] sowieso der erste Zeitpunkt gewesen in welchem t in diesem Bereich [mm] U_3 [/mm] liegen würde oder nicht?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Fr 09.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] z_t [/mm] ist in deinem Text für T2<t<T2+1 nicht definiert, damit kannst du ja den linken GW von f(t) bei T2 nicht bestimmen.
wenn die fkt nicht def. ist, ist sie auch nicht stetig, oder du hast den Teil zw T2 und T1+1 unterschlagen.
woher weiss man, dass T>T2+1 ist?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Druss |
Hallo,
Ja du hast recht die Funktion [mm] z_t [/mm] ist in der Tat für [mm] T_2 [/mm] < t< [mm] T_2+1 [/mm] nicht definiert.
Das [mm] t\ge T_2+1 [/mm] ist weiß ich aus der Augabenstellung und bezieht sich einfach auf den Zeitraum wo t größer ist als [mm] T_2+1. [/mm] In diesem Fall ändert sich die Funktion wobei wie schon angemerkt, die Funktion von Übergang [mm] T_1 [/mm] auf [mm] T_2 [/mm] nicht definiert ist weswegen es auch dann zutrifft, dass die Funktion an dieser Stelle ein Knick aufweisen wird (so wie es zuvor vermutet wurde)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 09.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Knick haeisst nicht unstetig!
2. von Stetigkeit oder nicht kann man bei einer nicht definierten fkt nicht reden, also auch keine Vermutung anstellen ob sie springt oder sonst was.
Wie willst du in Bio die Eigenschaften eines Wombats bestimmen, wenn du nicht weisst bzw. definierst ,was das ist.
Also keine Spekulation wie knick oder sonstwas. Wombats sind weder Säugetiere noch Vögel, auch keine Zwitter. eine nicht def. fkt ist weder stetig noch unstetig.
also ist an der Stelle T2 die fkt linksseitig stetig, rechtseitig keine Aussage. (also auch nicht unstetig)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> [mm]z_t[/mm] ist in deinem Text für T2<t<T2+1 nicht definiert,
> damit kannst du ja den linken GW von f(t) bei T2 nicht
> bestimmen.
> wenn die fkt nicht def. ist, ist sie auch nicht stetig,
Stetigkeit bezieht sich (in allen mir bekannten Definitionen) stets auf den Definitionsbereich. Z.B. ist somit auch jede Funktion [mm] $\IN \to \IR$ [/mm] (jeweils bzgl. der vom Betrage induzierten Metrik) (glm.) stetig, auch, wenn eine solche Funktion $f: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] an z.B. $x=1/2$ nicht definiert ist.
Beweis der Stetigkeit:
Zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ wählt man [mm] $\delta=1/2\,,$ [/mm] dann folgt für alle $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] nun aus $|n-m| < [mm] \delta=1/2$ [/mm] sofort [mm] $n=m\,,$ [/mm] was $|f(n)-f(m)|=0< [mm] \epsilon$ [/mm] impliziert. Damit ist die Funktion sogar glm. stetig, insbesondere stetig.
P.S.:
Wenn man z.B. $f: [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit $f(x):=x$ ($x [mm] \ge [/mm] 1$) betrachtet, so ist dieses komische Gebilde übrigens auch keine Funktion (denn es gibt z.B. kein [mm] $f(1/\pi)\,,$ [/mm] obwohl [mm] $1/\pi \in [0,\infty)$). [/mm]
P.P.S.:
Vielleicht habe ich Deinen Text auch fehlinterpretiert, und Du meinst eigentlich, dass man nicht von einer stetigen Funktion sprechen kann, wenn man eigentlich gar keine Funktion vorliegen hat? Dann macht Deine Aussage auch Sinn!
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
