Quader, maximales Volumen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Mo 31.03.2008 | | Autor: | lumi3000 |
| Aufgabe | | Ein 36 cm langer Draht soll zu einem Quader hergestellt werden. Wie lang sind die Kanten, damit der Quader das maximale Volumen hat? |
Hallo liebe Forenmitglieder,
ich steh gerade total auf dem Schlauch. Das ist unsere erste Anwendungsaufgabe zu dem Thema und leider hatten wir keine Zeit mehr das ganze durchzusprechen. Wir sollen jetzt zu Hause eine "Zielfunktion" erstellen und dann einsetzen.
Ich weiß, dass ich für das maximale Volumen den Hochpunkt der Funktion herausbekommen muss, wie man den ermittelt ist mir bekannt.
Vielleicht könnt ihr mir zu nachvollziehbaren Schritten verhelfen.
Vielen Dank schon einmal,
lumi3000
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:34 Mo 31.03.2008 | | Autor: | MischiT1 |
Hallo!
Zuerst brauchst du mal 2 Fomel, um daraus eine Funktio herstellen zu können, die man dann ableiten kann.
Also die beiden Funktion hierfür sind:
$ 2*a + 2*b = 36 $
$ a + b = 18 $
$ U = 2*a*b $
So nun musst du die 2 Therme so umformen, damit du eine Funktion bekommts. Z. B. $ U(a) = ... $ oder $ U(b) = ... $.
Ich glaub wenn du die Funktion hast, dann schaffst du auch den Rest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 31.03.2008 | | Autor: | lumi3000 |
Guten Abend !
Soll ich dann jetzt
2*a + 2*b = 36
a + b = 18
als eine Funktion ansehen?
oder wie formt man die dann um - das ist nebenbei nämlich auch ein Problem -was sich aber sicher einfach lösen lässt.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mo 31.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo lumi
Ich denke, du sollst einen quadratischen Quader rausfinden. (Grundseite Quadrat)
sonst kannst du das nicht lösen.
also Grundfläche: Seitenlänge a, Höhe h.
skizzier dir den und addier alle Stücke die du brauchst das gibt dann 36
(das nennt man die Nebenbedingung.
Die Zielfunktion ist das Volumen. V
Das stellst du auch durch a und h dar.
dann erstetzest du a oder h in der Zielfunktion aus der Nebenbedinguung.
dann bestimmst due dass max von V
Die erste Antwort war leider falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mo 31.03.2008 | | Autor: | lumi3000 |
Hallo, ok dankeschön. Ich hab schon die ganze Zeit gegrübelt, ob ich das gar nicht mehr unterscheiden könnte.
Ich versteh nicht, wie ich die Nebenbeding herstelle, weil irgendwie muss ich das ja auch aufschreiben und errechnen und die Kantenlängen nicht einfach willkürlich festlegen.
Also die Zielfunktion wäre dann V= [mm] a\*a\*h [/mm] ?
Gruß,lumi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lumi!
> Also die Zielfunktion wäre dann V= [mm]a\*a\*h[/mm] ?
Das ist die Hauptbedingung, da ja das Volumen maximiert werden soll. Die Zielfunktion hat dann nur noch eine Variable (und nicht wie hier noch zwei Unbekannte mit $a_$ und $h_$ ).
Verwende dabei die Nebenbedingung mit der gegebenen Drahtlänge. Die Summe aller Kanten in einem quadratischen Quader lautet:
$$k \ = \ 4*a+4*h+4*a \ = \ 4*h+8*a \ = \ [mm] \red{36}$$
[/mm]
Forme diese Gleichung nun um nach $h \ = \ ...$ und setze in die obige Volumenformel ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:27 Mo 31.03.2008 | | Autor: | lumi3000 |
Hallo nochmal,
erscheint mir alles plausibel, danke.
Also bekomme ich heraus :
[mm] V=a\*a\*\bruch{1}{a}
[/mm]
und kann dann wie weiter vorgehen? mit der ersten ableitung davon, dann der zweiten - sprich extremwerbestimmung?
Schönen Abend noch,
lumi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lumi!
Wie bist Du denn auf den Term [mm] $\bruch{1}{a}$ [/mm] gekommen? Du solltest doch die Gleichung $4*h+8*a \ = \ 36$ nach $h \ = \ ...$ umformen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mo 31.03.2008 | | Autor: | lumi3000 |
Durch Umformen ... ich find den Fehler leider nicht !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lumi!
$$ [mm] 4\cdot{}h+8\cdot{}a [/mm] \ = \ 36 $$
Subtrahiere zunächst $8*a_$ und teile anschließend durch $4_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mo 31.03.2008 | | Autor: | lumi3000 |
... macht [mm] h=\bruch{36-8a}{4}
[/mm]
Gruß,
lumi
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Hallo,
soweit korrekt, um den weiteren Rechenweg einfacher zu gestalten, kürze aber noch mit 4, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Mo 31.03.2008 | | Autor: | lumi3000 |
ich halte den ganzen Laden hier auf *lach*
also : [mm] h=7\*a
[/mm]
soweit sogut ... macht also V= [mm] 7\*a\*a\*a
[/mm]
Gruß,
lumi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Oh je
[mm] h=\bruch{36-8a}{4}=\bruch{36}{4}-\bruch{8a}{4}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mo 31.03.2008 | | Autor: | lumi3000 |
V= [mm] a\*a\*9-\bruch{8a}{4} [/mm] ?
Ich geh gleich ins Bett und frag dann übermorgen in der Schule.
Gruß,
lumi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lumi!
Du darfst hier die Klammern nicht vergessen. Zudem kannst Du [mm] $\bruch{8*a}{4}$ [/mm] noch kürzen zu: $2*a_$ .
$$V(a) \ = \ [mm] a*a*\red{(}9-2*a\red{)} [/mm] \ = \ [mm] a^2*(9-2a) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mo 31.03.2008 | | Autor: | badmix |
Hallo lumi,
schreibe dir komplette Lösung in Schritten:
1. Hauptbedinung ( immer das, was max oder min sein muss )
[mm] V = a*b*c [/mm] ,
in unserem Fall hab ich quadratische Quader genommen:
[mm] V=a*a*h [/mm] , max
2. Nebenbedinung
[mm] u=4*a+4*b+4*c [/mm] ,
in unserem Fall:
[mm] 36=4*a+4*a+4*h [/mm] ,
[mm] 36=8*a+4*h [/mm] ,
[mm] 4*h=36-8*a [/mm] ,
[mm] h=9-2*a [/mm]
3. Zielfunktion
[mm]V(a) \ = \ a*a*(9-2*a) \ = \ a^2*(9-2a) \ = \ 9*a^2-2*a^3\[/mm]
4.Extramalberechnung
[mm]V'(a) = 0[/mm]
[mm]V'(a) = 18*a-6*a^2\[/mm]
[mm]18*a-6*a^2 = 0[/mm]
[mm]a*(18-6*a) = 0[/mm]
[mm]a_1 = 0[/mm] , keine Lösung,
[mm]18 = 6*a[/mm]
[mm]a_2 = 3[/mm]
[mm]V''(a) \ne 0[/mm]
[mm]V''(a) = 18 - 12*a[/mm]
[mm]V''(3) = 18 - 36 = - 18 < 0[/mm] , max
[mm]h = 9 - 2*a = 9 - 6 = 3[/mm]
[mm]36 = 8*a+4*h[/mm]
[mm]36 = 24 + 12[/mm]
[mm]36 = 36[/mm]
[mm]V = a*a*h = 3*3*3 = 27[/mm]
Ich hoffe , dass ich sehr deutlich erklärt habe, wie man bei solchen Aufgabenstellungen vorgehen soll.
MfG
badmix
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> Ich denke, du sollst einen quadratischen Quader
> rausfinden. (Grundseite Quadrat)
> sonst kannst du das nicht lösen.
Rein intuitiv fühlt man wohl, dass als Figur mit dem größtmöglichen Volumen ein Würfel rauskommen wird.
Da so ein Würfel 12 Kanten hat, bräuchte man die Drahtlänge von 36 cm nur durch 12 teilen und hätte dann raus, dass jede Kante 3 cm lang ist.
Jetzt habe ich mir die Sache leicht gemacht, wirst du sagen. Na gut, aber woher weißt du, dass es ein quadratischer Quader ist mit dem größtmöglichen Volumen, und nicht ein Quader, dessen eine Grundseite doppelt so lang ist wie die andere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo rabilein!
In der Aufgabenstellung steht ja nunmal nichts von einer "doppelt so langen Grundseite" o.ä.
Von daher ist die Aufgabeohne diesen Zusatz "quadratischer Quader" mit Schulmitteln nicht lösbar.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Sa 05.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Hallo Loddar,
ich verstehe schon, was du meinst mit "sonst nicht lösbar".
Aber das hieße ja, dass man hier ein Wissen (bzw. Intuition) voraussetzt. Es ist richtig, dass nicht gesagt ist: "Eine Seite doppelt so lang wie die andere", aber genauso wenig ist geklärt, dass die Grundseite quadratisch sein soll.
Meines Erachtens müsste man als allererstes nachweisen, dass bei fest vorgegebener Drahtlänge ein Quadrat die größte Grundfläche hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo rabilein!
Ich unterstelle mal, dass hier die Aufgabenstellung unvollständig wider gegeben ist (ganz oben) und die entsprechende Angeben fehlt.
Sollte in der Original-Aufgabenstellung wirklich nichts entsprechendes stehen, hast du Recht: dann muss man erst die Grundseite maximieren, bevor man in das räumliche Modell geht.
Gruß
Loddar
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:54 Mo 31.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Mischi
Du gibst Antwort auf ne andere Frage. du verwechselst Rechteck mit Quader und fläche mit Volumen.
Gruss leduart
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