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Forum "Analysis des R1" - Quadratische Ungleichungen
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Quadratische Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Sa 30.11.2013
Autor: Coxy

Aufgabe
[mm] x^2/(3x-5)<4 [/mm]

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe
[mm] x^2/(3x-5) [/mm] < 4
Dort habe ich umgeformt bis
16 > [mm] (x-6)^2 [/mm]

Dort habe ich 2 Probleme:
1) Wenn ich dort die Wurzel ziehe bekomme ich die Lösungen
x1<10 und die Lösung x2<2
Dann habe ich mir den Graphen der Funktion angesehen und germerkt das
das nicht stimmen kann.
Der richtige und vollständige definitionsbereich wäre ja
2<x<10 und x<5/3

nur wie komme ich zu den beiden Lösungen?

        
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Sa 30.11.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> [mm]x^2/(3x-5)<4[/mm]
> Hallo,
> ich habe folgende Aufgabe
> [mm]x^2/(3x-5)[/mm] < 4
> Dort habe ich umgeformt bis
> 16 > [mm](x-6)^2[/mm]

Hast du auch brav Fallunterscheidungen gemacht, wenn du mit einer Variablen multipliziert hast?


Fange zuerst mit einer Multiplikation mit (3x-5) an, beachte daber die Fälle 3x-5>0 und 3x-5<0 (den Fall 3x-5=0 musst du ja eh ausschliessen)

Also:

[mm] \frac{x^{2}}{3x-5}<4 [/mm]

[mm] \stackrel{3x-5>0}{\Leftrightarrow}x^{2}<12x-20 [/mm]

[mm] \Leftrightarrow \ldots [/mm]

bzw:

[mm] \frac{x^{2}}{3x-5}<4 [/mm]

[mm] \stackrel{3x-5<0}{\Leftrightarrow}x^{2}>12x-20 [/mm]

[mm] \Leftrightarrow \ldots [/mm]

>

> Dort habe ich 2 Probleme:
> 1) Wenn ich dort die Wurzel ziehe bekomme ich die
> Lösungen
> x1<10 und die Lösung x2<2
> Dann habe ich mir den Graphen der Funktion angesehen und
> germerkt das
> das nicht stimmen kann.
> Der richtige und vollständige definitionsbereich wäre
> ja
> 2<x<10 und x<5/3

>

> nur wie komme ich zu den beiden Lösungen?

Durch die Fallunterscheidungen.

Marius

Bezug
                
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Sa 30.11.2013
Autor: Coxy

Irgendwie macht das keinen Sinn.
Dann bekomme ich folgende Lösungen
x1>10
x2>2
x3<10
x4<2

Gibt es vielleicht eine kurze und übersichtliche erklärung dazu was mit Fallunterscheidung gemeint ist?

Bezug
                        
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Sa 30.11.2013
Autor: DieAcht

Einfaches Beispiel:
[mm] \frac{1}{x}<10 [/mm]

[mm] x>0\Rightarrow \frac{1}{10} [mm] x<0\Rightarrow \frac{1}{10}>x [/mm]

Beim Multiplizieren mit einer reellen Zahl, die kleiner Null ist, ändert sich die Ungleichung!

DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Sa 30.11.2013
Autor: Coxy

Gut das habe ich verstanden.
Aber ich bekomme noch immer die Lösungen von weiter oben.

Bezug
                                        
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Sa 30.11.2013
Autor: Coxy

Hier mal ein Bild von meinem Problem:
http://s1.directupload.net/images/131130/2aeaxepj.jpg

Bezug
                                        
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Sa 30.11.2013
Autor: Steffi21

Hallo, zeige ich dir den 1. Fall:

3x-5>0 daraus folgt [mm] x>\bruch{5}{3} [/mm]

jetzt kommst du an die Stelle

[mm] x^2-12x+20<0 [/mm]

betrachte die quadratische Funktion [mm] f(x)=x^2-12x+20, [/mm] es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen (rechne diese nach) [mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=10, [/mm] somit gilt für 2<x<10 die Ungleichung [mm] x^2-12x+20<0, [/mm] jetzt sind zu vereiningen [mm] x>\bruch{5}{3} [/mm] und 2<x<10, aus dem 1. Fall bekommst du also für die Lösungsmenge: 2<x<10

arbeite jetzt analog den 2. Fall ab

Steffi

Bezug
                                                
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Sa 30.11.2013
Autor: Coxy

Vielen Dank!
So macht das endlich mal Sinn.
Eine kleine Frage habe ich aber noch:
Warum heißt es Vereinigungsmenge und nicht Durchschnittsmenge?
Der Lösungbereich muss ja sowohl in der ersten Lösung als auch in den beiden anderen Lösungen sein
oder etwa nicht?

Bezug
                                                        
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Sa 30.11.2013
Autor: Steffi21

Hallo, natürlich, für den 1. Fall hast du

[mm] x>\bruch{5}{3} [/mm]

2<x<10

ergibt ergibt 2<x<10, der Durchnschnitt beider Mengen

ich war vorhin schon gedanklich bei beiden Fällen

Steffi



Bezug
                                                                
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:22 Sa 30.11.2013
Autor: Coxy

Wenn ich das ganze mit quadratischer Ergänzung mache
und x<10 und x>2 erhalte.
Nehme ich dann hiervon auch die Durchschnittsmenge?
um 2<x<10 zu erhalten?

Bezug
                                                                        
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:32 Sa 30.11.2013
Autor: MathePower

Hallo Coxy,

> Wenn ich das ganze mit quadratischer Ergänzung mache
>  und x<10 und x>2 erhalte.
>  Nehme ich dann hiervon auch die Durchschnittsmenge?
>  um 2<x<10 zu erhalten?


Zunächst prüfst Du ob die beiden Bedingungen erfüllt werden können.
Werden diese Bedingungen gleichzeitig erfüllt,
dann ist das die Lösungsmenge für diesen Fall.


Gruss
MathePower


Bezug
                                                                                
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:11 So 01.12.2013
Autor: Coxy

Das führt mich aber zu einem Problem:
Im 2ten Fall bekomme ich die Lösungen
x>10 und x<2
Meine Grundannahme war ja hierbei [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm]

Was für eine Lösungsmenge bekomme ich denn dann für den 2 Fall?
Ich müsste ja nur noch [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] bekommen (laut Graphen der Funktion).
Aber wie komme ich da hin?
Und warum kann ich hier das x>10 und x<2 auser acht lassen?



Bezug
                                                                                        
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Lösungsmengen vergleichen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 So 01.12.2013
Autor: Loddar

Hallo Coxy!


> Das führt mich aber zu einem Problem:
> Im 2ten Fall bekomme ich die Lösungen
> x>10 und x<2
> Meine Grundannahme war ja hierbei [mm]x<\bruch{5}{3}[/mm]

[ok] Das musst Du bei diesem Fall immer im Hinterkopf behalten.


> Was für eine Lösungsmenge bekomme ich denn dann für den
> 2 Fall?
> Ich müsste ja nur noch [mm]x<\bruch{5}{3}[/mm] bekommen (laut Graphen der Funktion).

[ok]


> Und warum kann ich hier das x>10 und x<2 auser acht
> lassen?

$x \ < \ [mm] \bruch{5}{3}$ [/mm] und $x \ > \ 10$ widersprechen sich, liefern also keinen Anteil an der Lösungsmenge.

Und $x \ < \ [mm] \bruch{5}{3}$ [/mm] und $x \ < \ 2$ wird durch alle $x \ < \ [mm] \bruch{5}{3}$ [/mm] abgedeckt; der Bereich [mm] $\bruch{5}{3}

Gruß
Loddar

Bezug
                                                                                                
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:08 So 01.12.2013
Autor: Coxy

Okay ich verstehe das [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] und x>10 sich wiedersprechen.

Ich verstehe aber nicht warum [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] und x<2
die Lösungsmenge [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] haben sollte.
Durch das obere Beispiel von Steffi hätte ich vermutet das die Lösungsmenge x<2 wäre

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:16 So 01.12.2013
Autor: reverend

Hallo Coxy,

> Okay ich verstehe das [mm]x<\bruch{5}{3}[/mm] und x>10 sich
> wiedersprechen.

"wider" ohne ie. Alte deutsche Präposition mit der Bedeutung "entgegen".

> Ich verstehe aber nicht warum [mm]x<\bruch{5}{3}[/mm] und x<2
>  die Lösungsmenge [mm]x<\bruch{5}{3}[/mm] haben sollte.

Ordne das mal als Ungleichungskette: [mm] x<\bruch{5}{3}<2. [/mm]

[mm] x=\bruch{11}{6} [/mm] gehört also nicht in die Lösungsmenge, auch wenn es <2 ist.

>  Durch das obere Beispiel von Steffi hätte ich vermutet
> das die Lösungsmenge x<2 wäre

Da gibts nichts zu vermuten. Man kann aber leicht feststellen. Mathematik ist kein Ratespiel.

Grüße
reverend

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 So 01.12.2013
Autor: Coxy

Mir ist noch nicht ganz ersichtlich wann ich durschnittsmenge und wann die vereinigungsmenge benutzen muss:
Bei 1 Fall hatten wir die Annahme [mm] x>\bruch{5}{3} [/mm] das heißt beim multiplizieren änder sich das Vorzeichen.
Dann habe ich durch quadratische Ergänzung folgende Lösungen bekommen
10>x und x>2 (da das das negative Ergebnis war habe ich hier das Vorzeichen umgedreht).
Dann habe ich die durchschnitts Menge von 10>x und x>2 und [mm] x>\bruch{5}{3} [/mm] genommen, weil keins sowohl 10>x und x>2 nicht der Annahme wiedersprechen.
Was der Lösungsmenge 2<x<10 entspricht.

Beim 2 Fall hatte ich die Annahme  [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] das heißt beim multiplizieren ändert sich das Vorzeichen.
Durch quadratische Ergänzung kam auf x>10 und x<2 (da das das negative Ergebnis war habe ich hier das Vorzeichen umgedreht).
Da x>10 schonmal [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm] widerspricht kann es nicht in der Lösungsmenge sein.
x<2 wiederspricht ja nicht der Annahme von [mm] x<\bruch{5}{3}. [/mm]
Die durchschnitts Lösungsmenge der Beiden ist daher [mm] x<\bruch{5}{3}. [/mm]

Stimmen meine Begründungen?
Vielen Dank schon mal für zahlreiche und geduldige Hilfe :)

PS: Die komplette Lösungsmenge ist dann die Verinigungsmenge der Lösungsmengen von Fall 1 und Fall 2 d.h.
2<x<10  und [mm] x<\bruch{5}{3} [/mm]

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 So 01.12.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Mir ist noch nicht ganz ersichtlich wann ich
> durschnittsmenge und wann die vereinigungsmenge benutzen
> muss:

Innerhalb der Fälle musst du die Durchschnittsmenge aus der "Lösung" und der "Fallvoraussetzung" bestimmen, da beide Bedingungen erfüllt werden müssen.

Die Gesamtlösungsmenge ist dann die Vereinigungsmenge aller "Falllösungen"

> Bei 1 Fall hatten wir die Annahme [mm]x>\bruch{5}{3}[/mm] das
> heißt beim multiplizieren änder sich das Vorzeichen.

Nein, hier bleibt es.

Du hast:

[mm] \frac{x^{2}}{3x-5}<4 [/mm]

Nun nehmen wir den Fall 3x-5>0, also [mm] x>\frac{5}{3} [/mm]
Dann kannst du mit (nach Voraussetzung positivem) 3x-5 multiplizieren, und bekommst:

[mm] x^{2}<12x-20 [/mm]
und damit dann
[mm] x^{2}-12x+20<0 [/mm]

Diese Parabel [mm] x^{2}-12x+20 [/mm] ist nach oben offen, sie liegt also zwischen den Nullstellen unter der x-Achse.
Also hier zwischen 2 und 10.
Die Lösung der Ungleichung [mm] x^{2}-12x+20<0 [/mm] ist also 2<x<10

Da in der Teillösung 2<x<10 auch die Fallvoraussetzung x>5/3 erfüllt ist, führt der erste Fall zur ersten Teillösung 2<x<10



> Dann habe ich durch quadratische Ergänzung folgende
> Lösungen bekommen
> 10>x und x>2 (da das das negative Ergebnis war habe ich
> hier das Vorzeichen umgedreht).

Das ist unklar.
[mm] \frac{x^{2}}{3x-5}<4 [/mm]

Nun nehmen wir den Fall 3x-5<0, also [mm] x<\frac{5}{3} [/mm]
Dann kannst du mit (nach Voraussetzung negativem) 3x-5 multiplizieren, und bekommst:

[mm] x^{2}>12x-20 [/mm]
das führt wieder zu der Parabel
[mm] x^{2}-12x+20>0 [/mm]

Nun suchst du aber den Bereich, in dem diese oberhalb der x-Achse liegt, das sind die Bereiche außerhalb der Nullstellen, also einerseits x<2 un x>10
Vorausgesetzt war aber x<5/3, daher bleibt nur der Bereich x<5/3 (damit ja auch x<2). Der Bereich 2<x<5/3 erfüllt die Lösungsmenge x<2 nicht, der Fall x>10 die Voraussetzung x<5/3 nicht.

Du bekommst also zwei "Falllösungen", aus Fall 1 das Intervall 2<x<10 und aus Fall 2 das Intervall x<5/3.

Die Gesamtlösung ist nun also die Vereinigung beider Intervalle.

Marius

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Quadratische Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 So 01.12.2013
Autor: Coxy

Vielen Dank :)
Ich hatte mich nur verschrieben oben: natürlich ändert sich das Vorzeichen nicht.
Aber meine Ergebnisse und mein Weg dorthin stimmen ja.
Vielen Dank nochmal :)

Bezug
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