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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Randwertproblem
Randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Randwertproblem: DGL
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Mo 13.08.2018
Autor: Megan33

Aufgabe
Für welche Zahlen r Element R besitzt das Randwertploblem reele Lösungen ?

4y''+y= r*sin(x/2)

y(0) = 0,   y(2pi) = 1

Falls die rechte Seite auch Lösung der homogenen DGL yh(x) = [mm] c_1*sin(ax)+c_2cos(ax) [/mm]
ist (dies nennt man Resonanzfall ,so lautet der Ansatz vom Typ der rechten Seite
yp(x) = Ax*sin(ax) +Bx*cos(ax)


charakteristische Polynom:

[mm] 4lambda^2 [/mm] +1 = 0

[mm] lambda _12 = +- \wurzel{ - \bruch{1}{4} } [/mm]

Die homogene Lösung wäre doch dann:
yh(x) = [mm] c_1*sin(ax)+c_2cos(ax) [/mm]


Richtig?

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Mo 13.08.2018
Autor: HJKweseleit

Ja, und zwar mit [mm] a=\bruch{1}{2}. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Mo 13.08.2018
Autor: Megan33

Was meinst du mit a =1/2?

Bezug
                        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mo 13.08.2018
Autor: chrisno


> Was meinst du mit a =1/2?

Vorher hast Du geschrieben:

> Die homogene Lösung wäre doch dann:
> yh(x) = $ [mm] c_1\cdot{}sin(ax)+c_2cos(ax) [/mm] $

Da hast Du das a.

Bezug
                                
Bezug
Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mo 13.08.2018
Autor: Megan33

Ja aber wie kommt ihr so schnell auf 1/2 ?

Soll ich den partikulären Ansatz:

yp = A*sin(x)+B*cos(x)

nehmen 2 mal ableiten und dann in Ursprungsgleichung einsetzen ?
Ist das die Vorgehensweise ?

Bezug
                                        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mo 13.08.2018
Autor: fred97


> Ja aber wie kommt ihr so schnell auf 1/2 ?

das zur homogenen  Gleichung geh. Charakter.  Polynom hat doch  die Nullstellen [mm] \pm [/mm] i/2

>  
> Soll ich den partikulären Ansatz:
>  
> yp = A*sin(x)+B*cos(x)
>
> nehmen 2 mal ableiten und dann in Ursprungsgleichung
> einsetzen ?

ja

>  Ist das die Vorgehensweise ?

ja



Bezug
                                                
Bezug
Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Mo 13.08.2018
Autor: Megan33

yp = Ax*cos(1/2*x) +Bx*sin(1/2*x)

Meine Ableitungen sind alle im Foto .

Die 2 Ableitung scheint nach der Ableitungsseite nicht zu stimmen ,aber ich erkenne den Fehler in der 2 Ableitung nicht ?

Kann mir jemand bitte helfen?


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
Bezug
Randwertproblem: innere Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Di 14.08.2018
Autor: Roadrunner

Hallo Megan!


Du hast bei der 2. Ableitung bei den Termen [mm] $\sin\left(\tfrac{1}{2}*x\right)$ [/mm] bzw. [mm] $\cos\left(\tfrac{1}{2}*x\right)$ [/mm] jeweils die innere Ableitung [mm] $\tfrac{1}{2}$ [/mm] als Faktor vergessen.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                                
Bezug
Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 Di 14.08.2018
Autor: Megan33

[mm] y_p'' [/mm] = A*1/2*cos(1/2*x) +A*1/2 *cos(1/2*x) - Ax*1/4 *sin(1/2*x) - B*1/2 *sin(1/2*x) -B*1/2*sin(1/2*x)- Bx *1/4 *cos(1/2*x)


Jetzt passt die ABleitung?

Bezug
                                                                        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Di 14.08.2018
Autor: Steffi21

Hallo, die Ableitungen sind ok, Du kannst aber noch einige Summanden zusammenfassen, 1. und 2. Summand, 4. und 5. Summand, Steffi

Bezug
                                                                                
Bezug
Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Di 14.08.2018
Autor: Megan33

Gut rechnen wir es mal direkt im Board:

[mm] 4y''+y= r*sin(x/2)[/mm]


[mm] 4*(A*cos(1/2x) -Ax*1/4 *sin(1/2x) -B*sin(1/2x)-Bx*1/4*cos(1/2x))+Ax*sin(1/2x)+Bx*cos(1/2*x)=r*sin(x/2)[/mm]

[mm] cos(1/2x)*( 4A)+x*sin(1/2x)*(A-A+A) +x*cos(1/2*x)*(-B+B)-4Bsin(1/2*x)= r*sin(x/2)[/mm]
[mm] cos(1/2x)*( 4A)+x*sin(1/2x)*(+A) +x*cos(1/2*x)*(0)-4Bsin(1/2*x)= r*sin(x/2)[/mm]Boah wie geht es weiter?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Mi 15.08.2018
Autor: leduart

Hallo
du hast ungeschickt zusammengefasst: schreibe sin(x/2)*(...)+ cos(x/2)*(...)
dann  Klammer bei sin mus =r sein, Klammer bei cos =0
gruß ledum

Bezug
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