Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Do 31.01.2008 | | Autor: | marc99 |
| Aufgabe | | [mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 \\ -4 &1 &-6 \\ 6 &7 & -8\\ 4 & -11 & 26 \\ 2& -3 & 8 \\ 4 & 5 & -6 \\
\end{pmatrix} [/mm] |
Hi ,
kann mir evt an diesem Beispiel erklären wie ich den Rang dieser Matrix berechne? Ich weis das ich den Gaußalgorithmus benutzten muss aber wie mach ich das bei dieser nicht quadratischen Matrix.
Vielleicht kann mir ja einer helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marc,
das funktionktioniert genau wie bei quadratischen Matrizen.
Wende den Gaußalgo an und bringe die Matrix in ZSF.
Dann ist der Rang wie üblich die Anzahl der Nicht-Nullzeilen.
Das stets Zeilenrang=Spaltenrang ist, muss der Rang ja schonmal [mm] \le [/mm] 3 sein... als Anhaltspunkt
Du könntest sinnigerweise damit beginnen, die ersten Einträge in jeder Zeile - ab der zweiten - zu eliminieren, also das entsprechene Vielfache der ersten Zeile zu den anderen Zeilen zu addieren.
Das 2-fache der 1.Zeile zur 2.Zeile addieren
Das (-3)-fache der 1.Zeile zur 3. Zeile addieren usw.
Das verschafft dir die neue erste Spalte [mm] $\vektor{1\\0\\0\\0\\0\\0}$
[/mm]
Wenn du das hast, siehst du es eigentlich schon, denn dann hast du ne Menge linear abhängiger Zeilen 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Do 31.01.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
ich habe dann das hier raus:
$ [mm] A=\pmat{ 1 & 0 &1\\ 0& 1&-2 } [/mm] $
Insgesamt gibt es 4 Nullzeilen.
Der Rang der MAtrix ist also 2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Fr 01.02.2008 | | Autor: | marc99 |
| Aufgabe | | [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0&1 \\ 0&1&-2\\0&-7&14\\0&11&-22\\0&-2&-6\\0&-5&10\\
\end{pmatrix} [/mm] |
Also wenn ich die erste Zeile soweit auf 0 bringe, sieht man ja das die 3. Spalte immer das -2 fache der 2. Spalte ist. ( Ausgenommen die erste Zeile).
Heißt das dann nicht das die Matrix den Rang 1 hat ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Fr 01.02.2008 | | Autor: | marc99 |
Ich seh gerde in Zeile 4 steht - 3 das ist natürlich +3
:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Fr 01.02.2008 | | Autor: | marc99 |
und narütlich meine ich Zeile 5
Verwirrung :)
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Hallo,
1. Zeile: 2 0 2
5. Zeile: 2 -3 8
neue 5. Zeile: 5. Zeile minus 1. Zeile: 0 -3 6
Steffi
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Hallo,
1. Zeile: 2 0 2
5. Zeile: 2 -3 8
neue 5. Zeile: 5. Zeile minus 1. Zeile: 0 -3 6
Steffi
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Hallo, das sieht doch bis auf die 5. Zeile gut aus:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 &-2 \\ 0 &- 7 & 14 \\ 0 & 11 & -22 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & -5 & 10 \\ \end{pmatrix}
[/mm]
so jetzt:
3. Zeile durch -7
4. Zeile durch 11
5. Zeile durch -3
6. Zeile durch -5
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 &-2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix}
[/mm]
jetzt kannst du doch eine neue 3., 4., 5., 6. Zeile bilden, fertig, Rang ...
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Fr 01.02.2008 | | Autor: | marc99 |
Das is sicher ne dumme frage , aber warum sollte ich aus 3.,4.,5,6. Zeile eine neu bilden? Und warum nicht auch aus der 2. da diese doch mit folgenden übereinstimmt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Fr 01.02.2008 | | Autor: | DaReava |
Hallo!
Bei diesem Gaus'schen Verfahren gibt es doch genau vier erlaubte, elementare Zeilenumformungen.
Die solltet ihr bereits aufgeschrieben haben-
1) Multipliziere eine Zeile mit $ n [mm] \in \IK [/mm] $
2) Ziehe das n-fache einer Zeile von einer anderen ab
3) Vertausche zwei Zeilen
4) Streiche eine Zeile, die nur aus Nullen besteht
Was also zuvor geschehen ist, war eine Kombination der Umformungen 2) und 4) :
Die Umformung sieht also so aus: $ [mm] Zeile_3 [/mm] - 1 * [mm] Zeile_2 [/mm] $, etc.
Dannach bleiben dann nur noch die ersten beiden Zeilen übrig, da alle dann anderen komplett aus Nullen bestehen und somit gestrichen werden können ( ->4) ).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Fr 01.02.2008 | | Autor: | marc99 |
Ach so. Jetzt weis ich wie es gemeint war.
Also Rang 2 !!
Vielen DAnk für eure Hilfe
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