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| Aufgabe | Betrachten Sie das Regressionsmodell [mm] y_{i}=\beta_{1}z_{i}+\beta_{2}x_{i}^{2}+u_{i} [/mm] ohne Konstante. Es seien die Beobachtungsvektoren [mm] y=(4,4,2,2)^{T}, x=(1,2,2,1)^{T} [/mm] und [mm] z=(1,0,0,1)^{T} [/mm] gegeben.
a) Berechnen Sie für dieses Modell den OLS-Schätzer und interpretieren Sie die Koeffizienten.
b) Berechnen Sie die t-Statistik von [mm] \hat\beta_{2} [/mm] und geben Sie den p-Wert an. Was können Sie über die (statistische) Signifikanz aussagen?
c) Berechnen und interpretieren Sie den Wert des unzentrierten [mm] R^{2}.
[/mm]
d) Nehmen Sie an, der wahre Zusammenhang sei durch [mm] y_{i}=\beta_{1}t_{i}+\beta_{2}x_{i}+u_{i} [/mm] beschrieben. Erläutern Sie verbal, welche Konsequenzen Sie dadurch für Ihre Ergebnisse der vorangegangenen Teilaufgaben erwarten. |
Hallo!
Über eine Korrekturlesung würde ich mich freuen. Meine Lösungsvorschläge lauten zunächst einmal bis b):
zu a)
Im Skript habe ich zunächst gelesen, dass für die Anwendung von OLS die Spezifikation nur linear in den Parametern sein muss. Das Niveau von x würde den Effekt von x lediglich verstärken. Für ein Modell ohne Konstante würde ich dann also wie folgt ansetzen:
[mm] \hat\beta_{1,2}=\pmat{\pmat{ 1 & 4 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 }\pmat{1 & 1 \\ 4 & 0 \\ 4 & 0 \\ 1 & 1 }}^{-1}\pmat{ 1 & 4 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 }\pmat{ 4 \\ 4 \\ 2 \\ 2 }=\pmat{\bruch{3}{4} \\ \bruch{9}{4} }
[/mm]
zu b)
Vorgehensweise:
1.) Berechnung der Residuen zur Berechnung der Residualvarianz
2.) Berechnugn der Residualvarianz zur Berechnung der Kovarianzmatrix
3.) Berechnung der t-Statistik sowie des kritischen Wertes
4.) Berechnung des p-Wertes
Ich erhalte zunächst für die Residuen
[mm] \hat{u_{i}}=\pmat{ 1 \\ -5 \\ -7 \\ -1 }
[/mm]
Daraus ergibt sich für die Residualvarianz bei 4-2 Freiheitsgraden
[mm] \hat\sigma^{2}=38
[/mm]
Aus der Kovarianzmatrix erhalte ich dann die Varianz von [mm] \hat\beta_{2}
[/mm]
[mm] \hat{Var}(\hat\beta_{2})=\bruch{323}{16}
[/mm]
Dann hat man
t-Statistik: 0.5
kritischer Wert: 4.303
aus 0.5>4.303 [mm] \Rightarrow H_{0} [/mm] wird verworfen.
Jetzt zu dem etwas schwierigeren Teil; der Berechnung des p-Wertes:
Gemäß der Formel
[mm] p=2*[1-P(T\le(|t^{emp}|))]
[/mm]
erhalte ich den p-Wert zu [mm] p=\bruch{2}{3}
[/mm]
aus [mm] \alpha=0.05
Dazu meine Frage:
Diese Aufgabe entstammt einer älteren Übungsklausur, in der folgende Hilfsmittel erlaubt sind:
1.) Formelsammlung über statistische Grundlagen
2.) Formelsammlung über Matrixalgebra
3.) Tabellen mit Quantilen der t-, [mm] \chi^{2}- [/mm] sowie der F-Verteilung
Wie kann ich nun mit diesen Hilfsmitteln den p-Wert ermitteln? Den Wert konnte ich hier nur unter Zuhilfenahme eines Statistik-Rechenprogramms ermitteln.
Dazu müsste ich doch komplizierterweise die Verteilungsfunktion F(x) an der entsprechenden Stelle auswerten, oder sehe ich das falsch? Eine Approximation über die Normalverteilung fällt ja auch wegen 4<<30 ins Wasser.
Wie geht man vor? Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 08.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Do 08.07.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Über eine Antwort würde ich mich nach wie vor freuen. Vielen Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 So 11.07.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Es besteht weiterhin Interesse an einer Antwort, vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Mo 12.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Marcel,
deine Vorgehensweise ist soweit ok.
Bei a) müßte es heißen [mm]\hat \beta = ...[/mm]. So wie Du dann eingesetzt hast, bekommst Du [mm] \hat \beta = \vektor{ \hat \beta_{2} \\ \hat \beta_{1}}[/mm] heraus.
Wenn Du das dann bei b) benutzt um die Residuen [mm]\hat u_i [/mm] zu berechnen, bekommst Du andere Werte heraus. Das zieht sich als Folgefehler weiter durch.
Gruß meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Vielen Dank soweit. Mich würde noch interessieren, wie man genau den p-Wert berechnet. Vor allem dann, wenn man weder eine Normalverteilungstabelle noch einen Statistikrechner zur Verfügung hat.
1.) Muss der p-Wert für einen kleinen Stichprobenumfang aus der t-Verteilung ermittelt werden?
2.) Können nicht angegebene Quantile interpoliert werden?
3.) Wie genau gehe ich dabei vor? Bei dem von mir angegebenen Lösungsvorschlag bin ich mir recht unsicher.
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mi 14.07.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> 1.) Muss der p-Wert für einen kleinen Stichprobenumfang
> aus der t-Verteilung ermittelt werden?
Ja.
>
>
> 2.) Können nicht angegebene Quantile interpoliert werden?
Ja.
>
>
> 3.) Wie genau gehe ich dabei vor? Bei dem von mir
> angegebenen Lösungsvorschlag bin ich mir recht unsicher.
>
Na, wie interpoliert man denn in einer Tabelle?
Alternative: $0.01<$p=Wert$<0.05$. Dann wird zum 5%-, aber nicht zum 1%-Nveau abgelehnt.
vg Luis
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zur c)
Unzentriertes [mm] R^2 [/mm] hab ich gefunden in einem skript ist [mm] \bruch{\sum y_.dach_i^2}{\sum y_i^2} [/mm]
was dann bei mir gibt [mm] \bruch{3+3+3+3}{4+4+2+2}
[/mm]
das is bestimmt falsch, wie gehts richtig?
mein modell ist
[mm] y_i=2,25z_i+0,75x_i^2
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 24.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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komme da nicht drauf
wenn meine regression ist: $ [mm] y_i=2,25z_i+0,75x_i^2
[/mm]
ist meine [mm] y_.dach_i
[/mm]
[mm] \vektor{3 \\ 3 \\3\\3}
[/mm]
mein [mm] \sum u_i^2=4 [/mm]
[mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4-2}*4
[/mm]
und [mm] Var(beta_2)=\pmat{ 1.0625 & -.00625 \\-.0625 & .0625 }
[/mm]
als [mm] t_2 [/mm] krieg ich dann 3
stimmt das?
verstehe nicht wie ich den p wert ermittele, das war mir zu knapp
danke!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 24.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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