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Forum "Uni-Sonstiges" - Runge Kutta Verfahren
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Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mi 08.09.2021
Autor: Leon33

Aufgabe
Hallo alle zusammen

Hier die Aufgabe:

Gegeben sei folgendes Butcher Tableau

7/10.  7/10

        1

Wusste nicht wie ich anders die Tabelle darstellen soll

i) Wie lautet die Verfahrensvorschrift des zugehörigen impliziten Runge Kutta Verfahrens für das allgemeine Problem
y`(t) = f(t,y(t)) um eine Näherung [latex] [mm] u_{j+1} [/mm] [/latex]

an[latex] [mm] y(t_{j+1}) [/mm] [/latex] von [mm] u_j [/mm] ungefähr [mm] j(t_j) [/mm] aus zu berechnen ?

ii) Es sei das Anfangswertproblem

y`(t) = sin(t) *y(t) , y(pi) = 2

gegeben . Berechnen sie unter Verwendung des durch das Butcher Tableau gegebenen Runge Kutta Verfahrens für die Schrittweite h = pi/4  eine Näherung an[latex] y(3/2*pi) [/latex]

iii) Berechnen sie den Fehler zur exakten Lösung  y(3/2*pi) = - 2/e
Hinweis :
Die hier berechnete Näherung muss nicht unbedingt eine gute sein


Habt ihr tipps wie ich bei der i) vorgehen soll?

Habe die frage nicht gestellt .

        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Do 09.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> Hallo alle zusammen
>
> Hier die Aufgabe:
>  
> Gegeben sei folgendes Butcher Tableau
>  
> 7/10.  7/10
>  
> 1
>  
> Wusste nicht wie ich anders die Tabelle darstellen soll
>  
> i) Wie lautet die Verfahrensvorschrift des zugehörigen
> impliziten Runge Kutta Verfahrens für das allgemeine
> Problem
> y'(t) = f(t,y(t)) um eine Näherung [latex] [mm]u_{j+1}[/mm]
> [/latex]
>  
> an[latex] [mm]y(t_{j+1})[/mm] [/latex] von [mm]u_j[/mm] ungefähr [mm]j(t_j)[/mm] aus
> zu berechnen ?
>  
> ii) Es sei das Anfangswertproblem
>
> y'(t) = sin(t) *y(t) , y(pi) = 2
>  
> gegeben . Berechnen sie unter Verwendung des durch das
> Butcher Tableau gegebenen Runge Kutta Verfahrens für die
> Schrittweite h = pi/4  eine Näherung an[latex] y(3/2*pi)
> [/latex]
>  
> iii) Berechnen sie den Fehler zur exakten Lösung  
> y(3/2*pi) = - 2/e
>  Hinweis :
>  Die hier berechnete Näherung muss nicht unbedingt eine
> gute sein
>
>
> Habt ihr tipps wie ich bei der i) vorgehen soll?

Die Definition der Runge-Kutta-Verfahren heraussuchen.
Da findet sich dann hoffentlich auch eine Verfahrensvorschrift bzw.
verschiedene Teile, die zu einer  Verfahrensvorschrift zusammengebaut
werden können.

Mit den Bezeichnungen aus der Aufgabe:
[mm] $u_{j+1} [/mm] = [mm] u_j [/mm] + h [mm] \summe_{n=1}^{s} b_n k_n$ [/mm]
[mm] $k_i [/mm] = f  [mm] \left(t_j +h c_i, u_j + h \summe_{l=1}^{s} a_{il}k_l \right) \quad [/mm] i=1 , [mm] \ldots [/mm] , s$

Wenn ich deine Butcher-Tabelle richtig interpretiere,
ist $c = [mm] c_1 [/mm] = [mm] \bruch{7}{10}, [/mm] A = [mm] a_{1,1} [/mm] = [mm] \bruch{7}{10}, [/mm] b = [mm] b_1 [/mm] = 1$ für ein 1-stufiges, implizites Runge-Kutta-Verfahren (s=1).

>  Habe die frage nicht gestellt .

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Berechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:05 Do 09.09.2021
Autor: Leon33

Aufgabe
[latex] [mm] u_{j+1} [/mm] = [mm] u_j +h*b_1*k_1 [/mm] [/latex]

[latex] [mm] u_{j+1} [/mm] = [mm] u_j +h*k_1 [/mm] [/latex]


Ich hoffe das ich es korrekt angewendet hab.

[latex] [mm] k_{1} [/mm] = [mm] (t_j [/mm] +h*7/10; [mm] u_{j} [/mm] +h*7/10* [mm] k_1) [/mm] [/latex]




Hast du auch tipps für die ii) ?

Bezug
                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Do 09.09.2021
Autor: fred97


> [latex] [mm]u_{j+1}[/mm] = [mm]u_j +h*b_1*k_1[/mm] [/latex]

Das stimmt.

>  
> [latex] [mm]u_{j+1}[/mm] = [mm]u_j +h*k_1[/mm] [/latex]

Auch das stimmt, denn [mm] b_1=1. [/mm]

>  
>
> Ich hoffe das ich es korrekt angewendet hab.
>  
> [latex] [mm]k_{1}[/mm] = [mm](t_j[/mm] +h*7/10; [mm]u_{j}[/mm] +h*7/10* [mm]k_1)[/mm] [/latex]

Das stimmt nicht. Du hast die Funktion f verschlampert !

Richtig ist

     [mm] $k_1=f(t_j+ \frac{7}{10}h, u_j+\frac{7}{10}hk_1)$ [/mm]

>  
>
>
> Hast du auch tipps für die ii) ?

Hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Runge-Kutta-Verfahren

findest Du alles.


Bezug
                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Do 09.09.2021
Autor: Leon33

Den Artikel habe ich bereits vor dem posten der Frage schon gelesen ,aber richtig schlau bin ich davon nicht genommen :)

Kann jemand so einen kleinen Schritt geben bitte ?

Bezug
                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Fr 10.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

Tipps für ii):

$f(t, y(t)) = sin(t)*y(t)$

$h =  [mm] \bruch{\pi}{4}$ [/mm]

[mm] $t_0 [/mm] = [mm] \pi$ [/mm]
[mm] $t_1 [/mm] = [mm] t_0 [/mm] + h = [mm] \pi [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{4}$ [/mm]
[mm] $t_2 [/mm] = [mm] t_0 [/mm] + 2*h = [mm] \bruch{3}{2}*\pi$ [/mm]

[mm] $u_0 [/mm] = [mm] y(t_0) [/mm] = [mm] y(\pi) [/mm] = 2$
[mm] $u_2$ [/mm] ist die gesuchte Näherung an $y( [mm] \bruch{3}{2}*\pi [/mm] )$

In [mm] $k_1 [/mm] = [mm] f(t_j [/mm] + [mm] \bruch{7}{10}*h, u_j [/mm] +  [mm] \bruch{7}{10}*h*k_1)$ [/mm]  
für j=0  alles einsetzen und danach nach [mm] $k_1$ [/mm] auflösen.
Dann kann man für den ersten Schritt [mm] $u_1 [/mm] = [mm] u_0 [/mm] +  [mm] \bruch{\pi}{4}*k_1$ [/mm]
berechnen.
Das gleiche nochmal für j=1, wieder [mm] $k_1$ [/mm] berechnen und dann [mm] $u_2$. [/mm]


Gruß
meili

Bezug
                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Sa 11.09.2021
Autor: Leon33

f(t,y(t)) = sin(t)*y(t)

f(t,y(t)) = sin( 47pi/40 ) *y( (80+7pi)/40 *k1)

wie soll ich die Gleichung nach k1 auflösen ?


k1 = sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 ) * ( [mm] u_j [/mm]  + h* 7/10 * [mm] k_1 [/mm] )



Bezug
                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Sa 11.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> f(t,y(t)) = sin(t)*y(t)
>  
> f(t,y(t)) = sin( 47pi/40 ) *y( (80+7pi)/40 *k1)
>  
> wie soll ich die Gleichung nach k1 auflösen ?
>  

Wie löst man Gleichungen?
Mit Äquivalenz- und Termumformungen.

>
> k1 = sin( [mm]t_j[/mm]  + h* 7/10 ) * ( [mm]u_j[/mm]  + h* 7/10 * [mm]k_1[/mm] )

ausmultiplizieren (ausserdem habe ich die Faktoren vertauscht):
$ [mm] k_1 [/mm] = [mm] u_j [/mm] * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )   +( h* 7/10 * [mm] k_1 [/mm] ) * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$  

Äquivalenzumformung $| -( h* 7/10 * [mm] k_1 [/mm] ) * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$:
$ [mm] k_1 [/mm]  -( h* 7/10 * [mm] k_1 [/mm] ) * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 ) =  [mm] u_j [/mm] * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$

[mm] $k_1$ [/mm] ausklammern:
[mm] $k_1*(1 [/mm] -  h* 7/10  * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 ) ) =  [mm] u_j [/mm] *sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$

Vorausgesetzt oder besser nachgeprüft, dass $1 -  h* 7/10  * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 ) [mm] \not= [/mm] 0$, dann  $| :  1 -  h* 7/10  * sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$:

[mm] $k_1 [/mm] = [mm] \bruch{ u_j * sin( t_j + h* 7/10 )}{ 1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 )}$ [/mm]

>  
>  

Gruß
meili

Bezug
                                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:56 Sa 11.09.2021
Autor: Leon33


> Hallo Leon33,
>  
> > f(t,y(t)) = sin(t)*y(t)
>  >  
> > f(t,y(t)) = sin( 47pi/40 ) *y( (80+7pi)/40 *k1)
>  >  
> > wie soll ich die Gleichung nach k1 auflösen ?
>  >  
> Wie löst man Gleichungen?
>  Mit Äquivalenz- und Termumformungen.
>  >

> > k1 = sin( [mm]t_j[/mm]  + h* 7/10 ) * ( [mm]u_j[/mm]  + h* 7/10 * [mm]k_1[/mm] )
>  
> ausmultiplizieren (ausserdem habe ich die Faktoren
> vertauscht):
>  [mm]k_1 = u_j * sin( t_j + h* 7/10 ) +( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]
>  
>
> Äquivalenzumformung [mm]| -( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]:
>  
> [mm]k_1 -( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 ) = u_j * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]
>  
> [mm]k_1[/mm] ausklammern:
>  [mm]k_1*(1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 ) ) = u_j *sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]
>  
> Vorausgesetzt oder besser nachgeprüft, dass [mm]1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 ) \not= 0[/mm],
> dann  [mm]| : 1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]:
>  
> [mm]k_1 = \bruch{ u_j * sin( t_j + h* 7/10 )}{ 1 - h* 7/10 * sin( t_j + h* 7/10 )}[/mm]
>  
> >  

> >  

> Gruß
>  meili

ausmultiplizieren (ausserdem habe ich die Faktoren

> vertauscht):
>  [mm]k_1 = u_j * sin( t_j + h* 7/10 ) +( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]

Wie multiplizierst du das genau aus ,das du dazu kommst ?
Ich komme net darauf :)


Bezug
                                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 So 12.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

>
> ausmultiplizieren (ausserdem habe ich die Faktoren
> > vertauscht):
>  >  [mm]k_1 = u_j * sin( t_j + h* 7/10 ) +( h* 7/10 * k_1 ) * sin( t_j + h* 7/10 )[/mm]
>
> Wie multiplizierst du das genau aus ,das du dazu kommst ?
>  Ich komme net darauf :)

Mit Distributivgesetz: $a*(b+c) = a*b+a+c$.

Dabei ist:
$a= sin( [mm] t_j [/mm]  + h* 7/10 )$
$b= [mm] u_j$ [/mm]
$c=  h* 7/10 * [mm] k_1$ [/mm]

Dann habe ich aber ohne Zwischenschritt auch gleich das
Kommutativgesetz der Multiplikation angewendet:
$a*b+a*c = b*a + c*a$

>  

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Do 09.09.2021
Autor: Leon33

sin( [mm] t_j [/mm] + h* 7/10 ) ( [mm] u_j [/mm] + h * 7/10 *k1 )

sin ( pi + pi/4 * 7/10) ( 2 + pi/4 * 7/10 [mm] *k_1) [/mm]

sin ( 47pi/40 ) *( 2 +  [mm] 7pi/40*k_1 [/mm] )

sin ( 47pi/40 ) *( [mm] (80+7pi)/40*k_1 [/mm] )

sin( [mm] t_1 [/mm] + h* 7/10 ) ( [mm] u_1 [/mm] + h * 7/10 *k1 )

Was setze ich für [mm] t_1 [/mm] und [mm] u_1 [/mm] ein?

Bezug
                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:40 Fr 10.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> sin( [mm]t_j[/mm] + h* 7/10 ) ( [mm]u_j[/mm] + h * 7/10 *k1 )

Es fehlt: [mm] $k_1 [/mm] = [mm] \sin \ldots [/mm] $

>  
> sin ( pi + pi/4 * 7/10) ( 2 + pi/4 * 7/10 [mm]*k_1)[/mm]

Dies ist als rechte Seite für j=0 der Gleichung ok, aber linke Seite der Gleichung [mm] $k_1$ [/mm] fehlt.

Vergleiche dazu Post zu vorheriger Frage.

>  
> sin ( 47pi/40 ) *( 2 +  [mm]7pi/40*k_1[/mm] )
>  
> sin ( 47pi/40 ) *( [mm](80+7pi)/40*k_1[/mm] )
>  
> sin( [mm]t_1[/mm] + h* 7/10 ) ( [mm]u_1[/mm] + h * 7/10 *k1 )
>  
> Was setze ich für [mm]t_1[/mm] und [mm]u_1[/mm] ein?

Vergleiche Post zu vorheriger Frage.

Gruß
meili

Bezug
                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 So 12.09.2021
Autor: Leon33

Ich habe es jetzt bis k2 gerechnet ?

Soll ich auch k3 berechnen ?
Woher weiss ich wie weit ich berechnen soll?

Passt meine Rechnung melli?

Habe Rechnung im Anhang

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 So 12.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> Ich habe es jetzt bis k2 gerechnet ?

das reicht

>  
> Soll ich auch k3 berechnen ?

nein

>  Woher weiss ich wie weit ich berechnen soll?

Für die Aufgabe braucht man [mm] $u_2$, [/mm] da eine Näherung an $ y( [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] ) $ gesucht ist, und $ [mm] t_2 [/mm] = [mm] t_0 [/mm] + [mm] 2\cdot{}h [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] $ ist.

>  
> Passt meine Rechnung melli?

Bei deiner Rechnung für k ist im Nenner eine Klammer an der falschen Stelle.

Es ist:
$ k = [mm] \bruch{ u_j \cdot{} sin( t_j + h\cdot{} 7/10 )}{ 1 - h\cdot{} 7/10 \cdot{} sin( t_j + h\cdot{} 7/10 )} [/mm] $

>  

Bei sin den Rechner auf RAD stellen und nicht DEG benutzen.

> Habe Rechnung im Anhang

Ich habe folgende Werte raus:
[mm] $k_1 [/mm] = -0,4857$
[mm] $u_1 [/mm] = 1,6187$
[mm] $k_2 [/mm] = -0,5568$
[mm] $u_2 [/mm] = 1,1816$
(pi mit 3,14 gerechnet und auf 4 Nachkommastellen gerundet,
und hoffentlich nicht verrechnet; kommt auch vor)

Gruß
meili

Bezug
                                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Mo 13.09.2021
Autor: Leon33

Kannst du bitte auch kurz erklären was ich bei der iii) noch machen muss ? :)



Bezug
                                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Mo 13.09.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> Kannst du bitte auch kurz erklären was ich bei der iii)
> noch machen muss ? :)
>  

Als Vorbereitung üben mathematische Texte zu lesen und zu verstehen.

>  

iii) Berechnen sie den Fehler zur exakten Lösung  y(3/2*pi) = - 2/e

Netterweise ist in der Aufgabe der Wert der exakten Lösung an der Stelle [mm] $\bruch{3}{2}\pi$ [/mm] angegeben. Der Wert ist $- [mm] \bruch{2}{e}$. [/mm]

Mit Hilfe des angegebenen Runge-Kutta-Verfahrens hast du eine numerische Näherung an diesen Wert, nämlich [mm] $u_2$ [/mm] berechnet.

Nun ist nach dem Fehler gefragt. Um wie viel weicht die berechnete
Näherung vom exaten Wert ab. Also Differenz bilden.

Auserdem ist in der Aufgabe noch der Hinweis:
"Die hier berechnete Näherung muss nicht unbedingt eine gute sein"
gegeben.

Mit den Werten aus dem gegebenen Butcher Tableau ist das Runge-Kutta-Verfahren nicht besonders gut,
aber es sollte wahrscheinlich nur mal das Prinzip der Runge-Kutta-Verfahren geübt werden.
Interessant ist, wann ist ein Runge-Kutta-Verfahren gut.

Gruß
meili

Bezug
                                                                                
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mo 13.09.2021
Autor: Leon33

Das wäre dann das exakte Ergebnis :

1.1816 - 2/e = 0.4458 ?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Runge Kutta Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mo 13.09.2021
Autor: fred97


> Das wäre dann das exakte Ergebnis :
>  
> 1.1816 - 2/e = 0.4458 ?


Nein. Der exakte Wert ist -2/e.

Der Fehler ist dann  1.1816-(-2/e)=1.1816+2/e




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