Schar, k gesucht < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 20.04.2009 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] f_{k}(x)= \bruch{4}{x²+k}.
[/mm]
a). Für welche k gilt [mm] f_{k}(x)=f'_{k}(x)
[/mm]
(1) an genau einer Stelle (2) an genau zwei Stellen?
b). Für welche k gilt [mm] f_{k}(x) \ge f_{k}'(x) [/mm] für alle x? |
Hallo,
ich bereite mich gerade für mein Abi am Mittwoch vor und bin mir bei dieser Aufgabe sehr unsicher.
a ist ziemlich einfach, da habe ich im Endeffekt eine pq-Formel, der Radikant muss bei (1) =0 ergeben und bei (2)>0.
Dann habe ich bei (1): k=1 und (2): k<1
Aber bei b weiß ich nicht so recht, denn wenn ich nach pq-Formel auflösen würde(denn der einzige Unterschied zu a ist nur, dass da nicht mehr =0 sondern [mm] \le [/mm] 0 steht), würde ich ja für =0 Ergebnisse erhalten und zwar die gleichen wie bei a).
Deswegen hatte ich mir überlegt k in Abhängigkeit von x auszudrücken, d.h. ich habe alles außer k auf andere Seite gebracht und habe dann stehen:
[mm] k\le [/mm] -x²-2x
Das ist aber bestimmt falsch, oder? :(
Wenn ja, was muss ich dann tun?
Vielen Dank
Liebe Grüße
sardelka
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo sardelka!
> Dann habe ich bei (1): k=1 und (2): k<1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das habe ich auch erhalten ...
> Aber bei b weiß ich nicht so recht, denn wenn ich nach
> pq-Formel auflösen würde(denn der einzige Unterschied zu a
> ist nur, dass da nicht mehr =0 sondern [mm]\le[/mm] 0 steht), würde
> ich ja für =0 Ergebnisse erhalten und zwar die gleichen wie bei a).
Nutze das Ergebnis aus a.) und stelle den quadratischen Term als Produkt der Linearfaktoren der beiden Teillösungen dar.
Anschließend überlegen: ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann negativ, wenn beide Faktoren jeweils unterschiedliche Vorzeichen haben.
Zudem solltest Du auch noch den Fall [mm] $\left(x^2+k\right) [/mm] \ < \ 0$ separat untersuchen, da Du bestimmt beim Umformen mit diesem Term multipliziert hast.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mo 20.04.2009 | | Autor: | sardelka |
"Nutze das Ergebnis aus a.) und stelle den quadratischen Term als Produkt der Linearfaktoren der beiden Teillösungen dar."
Habe ich nicht verstanden.
Also ich nehme das Ergebnis(d.h. [mm] x_{1,2}= [/mm] 1 [mm] \pm \wurzel{1-k} [/mm] und mache daraus ein Produkt. Ich schätze mal sowas wie (a+b)(c+d)(so ganz grob).
Ich habe ja eine quadratische Funktion(x²+2x+k [mm] \le [/mm] 0) gerade stehen. Wie soll ich daraus so etwas basteln? =/
"Anschließend überlegen: ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann negativ, wenn beide Faktoren jeweils unterschiedliche Vorzeichen haben."
Das habe ich verstanden. :D Ist ja auch einfach und verständlich.
"Zudem solltest Du auch noch den Fall $ [mm] \left(x^2+k\right) [/mm] \ < \ 0 $ separat untersuchen, da Du bestimmt beim Umformen mit diesem Term multipliziert hast."
Warum? Und wie genau?
Ich könnte einmal darauf untersuchen, wann es negativ bzw. positiv wird in Abhängigkeit von k?
Danke
LG
sardelka
|
|
|
| |
|
Hallo,
zu untersuchen ist doch
[mm] \bruch{4}{x^{2}+k}\ge\bruch{-8x}{(x^{2}+k)^{2}}
[/mm]
der erste Fall x+k>0 bereitet keine Probleme, du kannst mit [mm] (x^{2}+k)^{2} [/mm] multiplizieren, das Relationszeichen bleibt erhalten
[mm] 4(x^{2}+k)\ge-8x
[/mm]
[mm] 4x^{2}+8x+4k\ge0
[/mm]
[mm] x^{2}+2x+k\ge0
[/mm]
[mm] k\ge1
[/mm]
der zweite Fall x-k<0, bedenke, bei der Multiplikation kehrt sich das Relationszeichen deiner Ungleichung um
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Wenn man mit [mm] $\left(x^2+k\right)^{\red{2}}$ [/mm] multipliziert, umgeht man die Sonderbetrachtung.
Es gilt: [mm] $(...)^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
In unserem Fall muss gar gelten (wegen Definitionsbereich der Funktionenschar): [mm] $(...)^2 [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mo 20.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Tut mir Leid, dass ich wieder Fragen stelle, aber irgendwie verstehe ich das nicht.
Wie kommst du auf x+k>0 und x-k<0? Und was heißen die? Ist es das was du meintest mit Multiplikation, dass man einmal positiv und negativ haben kann?
Aber warum x+k und x-k? Und nicht beide x+k oder x-k?
Danke sehr
sardelka
|
|
|
| |
|
Hallo!
Es geht um das Rechnen mit Ungleichungen. Ausgangspunkt ist
$ [mm] \bruch{4}{x^{2}+k}\ge\bruch{-8x}{(x^{2}+k)^{2}} [/mm] $
Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert (also auf beiden Seiten), dreht sich das Relationszeichen um, z.B.
5 < 7 | * (-1)
-5 > -7
Wenn wir nun oben mit sovielen Variablen rechnen, können wir natürlich nicht sehen, ob wir bei Multiplikation von [mm] (x^{2}+k) [/mm] auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl multiplizieren und so das Vorzeichen umdrehen müssten.
Deswegen macht man eine Fallunterscheidung: Entweder ist [mm] (x^{2}+k) [/mm] > 0 oder [mm] (x^{2}+k) [/mm] < 0. Steffi21 hat in ihrem Post bei x+k > 0 etc. immer nur das Quadrat beim x vergessen.
Im Folgenden haben wir aber festgestellt, dass wir ja gar nicht unbedingt mit [mm] (x^{2}+k) [/mm] multiplizieren müssen, sondern wir können auch gleich mit [mm] (x^{2}+k)^{2} [/mm] multiplizieren. Dann müssen wir keine Fallunterscheidung machen, weil [mm] (x^{2}+k)^{2} [/mm] immer positiv ist (Quadrate sind immer positiv).
Die letztendliche Lösung von Steffi, k [mm] \ge [/mm] 1, ist also allgemeingültig.
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mo 20.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Asoooo, das meint ihr :D
Okeeeej, dann ist alles klar ;)
Super, vielen vielen Dank euch allen
LG
sardelka
|
|
|
|
