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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Di 16.11.2010 | | Autor: | dfx |
| Aufgabe 1 | $A,B,X,Y$ seien Mengen mit $A,B [mm] \subseteq [/mm] X$, und $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung.
c) Geben sie ein Beispiel an, für das $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \nsubseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$. |
| Aufgabe 2 | | (iv) Zeigen Sie $f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$. |
Hallo,
zu Aufgabe 1:
Mir ist vor kurzem eine ähnliche Aufgabe untergekommen, aber hier ist doch was faul, oder? Ich hatte schonmal bewiesen, dass $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ gilt. Hmm, ich merke gerade, das liegt wohl eher an der Notation. Dort ist nämlich nur das gleich gestrichen.
Dann müsste ich wohl einfach erstmal die Aufgabenstellung verbessern, sofern es von dem foreneigenen Formeleditor unterstützt wird: $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subsetneq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$. Dann ist da kein Problem und unmittelbar dort auch keine Frage.  M.a.W: Es ist für den Fall ein Beispiel zu geben in dem $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ gilt, bzw. $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \not= [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$.
zu Aufgabe 2:
Aber ich habe jetzt noch eine zweite Aufgabe hinzugefügt zu der ich eine Frage hätte. Die ist ganz ähnlich. Und zwar habe ich die folgendermaßen gelöst:
Bew.
[mm] "\subseteq" [/mm] Ist soweit klar.
[mm] "\supseteq" [/mm] Ist $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$ beliebig,
[mm] $\Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \vee [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B)$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es existieren [mm] $x_1, x_2$ [/mm] mit [mm] $x_1 \in [/mm] A, [mm] x_2 \in [/mm] B$ und [mm] $f(x_1) [/mm] = y = [mm] f(x_2)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x_1, x_2 \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ mit [mm] $f(x_1) [/mm] = y = [mm] f(x_2)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)$
Hier hat die Tutorin über die Zeile "... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es existieren ..." geschrieben "nur für nicht injektive Funktionen" und mir einen vollen Punkt abgezogen. Jetzt denke ich, ich hätte wohl doch einfach bei der hin-Richtung schon sagen können, dass die Folgerung in beide Richtungen gültig ist. Allerdings verstehe ich dann nicht mehr, was ich da aufgeschrieben habe, bzw. ich tue mich grad schwer. Es interessiert mich schon, wie sich solche Aussagen auf Abbildung in Bezug auf ihre Eigenschaften verhalten. Allerdings habe ich bei der Lösung nicht wirklich daran gedacht.
Frage 1: Hätte ich bei der hin-Richtung Äquivalenzpfeile setzen dürfen, bzw mit einem einfachen $x$ weitergemacht, wäre doch alles in Ordnung gewesen?
Frage 2: Wo besteht der Zusammenhang zwischen nicht-injektiv und meiner Folgerung bei der Rückrichtung. Habe ich nicht eher das Gegenteil, und zwar Injektivität, gezeigt?
Vielleicht füge ich dazu mal eine Skizze ein, wenn ich das verstanden habe.
gruss, dfx
Edit#1: Thema umbenannt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 23.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> [mm]A,B,X,Y[/mm] seien Mengen mit [mm]A,B \subseteq X[/mm], und [mm]f: X \to Y[/mm]
> eine Abbildung.
>
> c) Geben sie ein Beispiel an, für das [mm]f(A \cap B) \nsubseteq f(A) \cap f(B)[/mm].
>
> (iv) Zeigen Sie [mm]f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)[/mm].
Ist das die Aufgabe, oder soll es
(iv) Zeigen Sie [mm]f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)[/mm].
heißen?
(Wozu Du Beweisteile ausgeführt hast.)
>
> Hallo,
>
> zu Aufgabe 1:
> Mir ist vor kurzem eine ähnliche Aufgabe untergekommen,
> aber hier ist doch was faul, oder? Ich hatte schonmal
> bewiesen, dass [mm]f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)[/mm] gilt.
> Hmm, ich merke gerade, das liegt wohl eher an der Notation.
> Dort ist nämlich nur das gleich gestrichen.
> Dann müsste ich wohl einfach erstmal die Aufgabenstellung
> verbessern, sofern es von dem foreneigenen Formeleditor
> unterstützt wird: [mm]f(A \cap B) \subsetneq f(A) \cap f(B)[/mm].
> Dann ist da kein Problem und unmittelbar dort auch keine
> Frage. M.a.W: Es ist für den Fall ein Beispiel zu
> geben in dem [mm]f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)[/mm] gilt, bzw.
> [mm]f(A \cap B) \not= f(A) \cap f(B)[/mm].
>
> zu Aufgabe 2:
> Aber ich habe jetzt noch eine zweite Aufgabe hinzugefügt
> zu der ich eine Frage hätte. Die ist ganz ähnlich. Und
> zwar habe ich die folgendermaßen gelöst:
>
> Bew.
> [mm]"\subseteq"[/mm] Ist soweit klar.
> [mm]"\supseteq"[/mm] Ist [mm]y \in f(A) \cup f(B)[/mm] beliebig,
> [mm]\Rightarrow y \in f(A) \vee y \in f(B)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existieren [mm]x_1, x_2[/mm] mit [mm]x_1 \in A, x_2 \in B[/mm]
> und [mm]f(x_1) = y = f(x_2)[/mm]
Nein, hier müsste es heißen:
[mm]\Rightarrow[/mm] Es exist x mit [mm]x \in A \vee x \in B[/mm] mit [mm]f(x) = y [/mm]
> [mm]\Rightarrow x_1, x_2 \in A \cup B[/mm]
> mit [mm]f(x_1) = y = f(x_2)[/mm]
[mm]\Rightarrow x \in A \cup B[/mm] mit [mm]f(x) = y [/mm]
> [mm]\Rightarrow y \in f(A \cup B)[/mm]
>
> Hier hat die Tutorin über die Zeile "... [mm]\Rightarrow[/mm] Es
> existieren ..." geschrieben "nur für nicht injektive
> Funktionen" und mir einen vollen Punkt abgezogen. Jetzt
> denke ich, ich hätte wohl doch einfach bei der
> hin-Richtung schon sagen können, dass die Folgerung in
> beide Richtungen gültig ist. Allerdings verstehe ich dann
> nicht mehr, was ich da aufgeschrieben habe, bzw. ich tue
> mich grad schwer. Es interessiert mich schon, wie sich
> solche Aussagen auf Abbildung in Bezug auf ihre
> Eigenschaften verhalten. Allerdings habe ich bei der
> Lösung nicht wirklich daran gedacht.
Ist f injektiv so gilt: (Es existieren [mm]x_1, x_2[/mm] mit [mm]x_1 \in A, x_2 \in B[/mm] und [mm]f(x_1) = y = f(x_2)[/mm]) [mm]\Rightarrow[/mm] ([mm]x_1 = x_2 [/mm]).
Ist f nicht injektiv, so kann sein: (Es existieren [mm]x_1, x_2[/mm] mit [mm]x_1 \in A, x_2 \in B[/mm] und [mm]f(x_1) = y = f(x_2)[/mm] und [mm]x_1 \not= x_2 [/mm]).
>
> Frage 1: Hätte ich bei der hin-Richtung Äquivalenzpfeile
> setzen dürfen, bzw mit einem einfachen [mm]x[/mm] weitergemacht,
> wäre doch alles in Ordnung gewesen?
Ja, mit einem einfachen [mm]x[/mm] und "[mm]\vee[/mm]".
> Frage 2: Wo besteht der Zusammenhang zwischen
> nicht-injektiv und meiner Folgerung bei der Rückrichtung.
> Habe ich nicht eher das Gegenteil, und zwar Injektivität,
> gezeigt?
(siehe vor Frage 1)
>
> Vielleicht füge ich dazu mal eine Skizze ein, wenn ich das
> verstanden habe.
>
> gruss, dfx
>
> Edit#1: Thema umbenannt
Gruß
meili
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