Schnittpunkt Parabeln < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Di 12.06.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 1. Gegeben sind die Parabeln P und Q mit den Funktionsgleichungen
$p(x) = - [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] + 2$ und $q(x) = [mm] \bruch{x²}{6} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] + c$
1.1 Für Welche Werte von c gibt es nur einen einzigen gemeinsamen Punkt B (Berührpunkt) der beiden Parabeln?
1.1.1 Wie lautet die [mm] $x_B$-Koordinate [/mm] dieses Punktes B?
1.1.2 Wie lautet die [mm] $y_B$-Koordinate [/mm] dieses Punktes B? |
Hallo Zusammen,
hier mein Lösungsansatz:
Schnittpunkt berechnen der Parabeln also gleichsetzten der Funktionsgleichungen.
p(x) = q(x)
- [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] + 2$ = [mm] \bruch{x²}{6} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] + c$ |*(-6)
3x²-12 = -x²+8x-6c
4x²-12 = 8x-6c
4x²-8x-12+6c = 0
und da komm ich nicht mehr weiter, komme mit dem 6c nicht klar. was muss ich da machen? Vielen Dank.
bei 1.1.1 und 1.1.2 wäre ich um eine erklärung dankbar.
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Guten Tach
Also so weit stimmt deine Gleichung die du bekommen hast.
Jetzt musst du davon die Nullstellen bestimmen. Das machst du ja mit der p-q formel
[mm] x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^2}{4}-q}
[/mm]
Dazu musst du dir jetzt erstmal überlegen was p und q sind. p ist offensichtlich 8/4 (weil du ja noch die ganze gleichung durch 4 teilen musst)
q=........ (c ist eine Zahl also ist q dann?)
Dann stellt du die Gleichung auf. Dann kommt es auf den AUsdruck unter der Wurzel an. Beide Graphen sollen nur einen schnittpunkt haben. Was muss dann unter der Wurzel stehen damit die Gleichung nur eine Nullstelle hat ?. Wenn du dir das überlegt hast kann du dein c bestimmen. Dann sollte es auch kein Problem mehr sein die aufgaben b und c zu machen. Wenn fragen sind immer fragen
Schönen Tach noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 12.06.2007 | | Autor: | itse |
also,
4x²-8x-12+6c = 0 | /4
x²-2x-3+1,5c=0
p= -2
q= -3 + 1,5 * c
$ [mm] x_{1,2}=-\bruch{-2}{2}\pm\wurzel{\bruch{-2^2}{4}-q} [/mm] $
$ [mm] x_{1,2}= [/mm] 1 [mm] \pm\wurzel{1-q} [/mm] $
damit es nur eine Nulstelle gibt, muss unter der Wurzel Null stehen, --> q = 1
q = -3 + 1,5 * (4/1,5) = 1
was soll mir dies aber bringen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 12.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast ja korrekterweise umgeformt:
x²-2x+(-3+1,5c)=0
Jetzt gilt:
[mm] x_{1;2}=1\pm\wurzel{\underbrace{1-(-3+1,5c)}_{D}}
[/mm]
Die Anzahl der Lösungen hängt jetzt vom Term unter der Wurzel (D) ab.
1. Ist D>0 gibt es beide Lösungen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}.
[/mm]
2. Ist D=0, fällen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] zusammen, es gibt nur die Lösung [mm] x_{1}=x_{2}=-\bruch{p}{2}\pm0=-\bruch{p}{2}
[/mm]
3. Ist D<0, gibt es keine Lösung.
In deinem Fall soll ja nur eine Lösing existieren, also muss gelten D=0
Also:
1-(-3+1,5c)=0
Damit kannst du jetzt das c bestimmen, dass es nur einen Berührpunkt gibt.
(Die x-Koordinate kennst du dann schon, also musst du nur noch die y-Koordinate berechnen).
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 12.06.2007 | | Autor: | itse |
okay,
1-(-3+1,5c)=0
1+3-1,5c=0
4-1,5c=0
-1,5c=-4
c = [mm] \bruch{4}{1,5} [/mm] --> [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
dies setze ich nun in [mm] x²-2x-3+1,5*\bruch{8}{3}
[/mm]
x²-2x+1 --> $ [mm] x_B=-\bruch{-2}{2}\pm\wurzel{\bruch{-2^2}{2}-1} [/mm] $ -> [mm] 1\pm [/mm] 0 = 1
[mm] $y_B$ [/mm] = p(1)= [mm] -\bruch{1}{2}+2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
weitere Teilaufgabe:
Durch den Punkt B(1|1,5) verläuft eine gemeinsame Tangente T. Wie lautet ihre Funktionsgleichung t(x)?
Tipp: Die Rechnung wird einfacher, wenn Sie sich an P orientieren.
p(x) = t(x) --> $- [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] + 2 = a*x + b$
$ - [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] - ax + 2 -b = 0$ |*(-2)
x² + 2ax - 4 + 2b = 0
hierbei bin ich mir nicht sicher, a= 1, b= 2a und c=-4+2b
[mm] $x_1,2 [/mm] = [mm] \bruch{2a \pm \wurzel{4a²-4(-4+2b)}}{2} [/mm]
ist es ja wieder ein Berührpunkt, also muss die Determinate gleich Null sein --> 4a²-4(-4+2b)=0
4a²+16-8b = 0 --> 4a²-8b+16 = 0
jetzt komm ich nicht mehr weiter, jetzt muss doch der Punkt B(1|1,5) zum Einsatz kommen?
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Hallo,
du hast die Funktion [mm] f(x)=-\bruch{1}{2}x^{2}+2 [/mm] und den Punkt (1; 1,5), die Tangente genügt der Gleichung y=mx+n, m ist der Anstieg, den du über die 1. Ableitung bekommst, f'(x)=-x, also ist der Anstieg an der Stelle x=1 somit -1, also hast du schon y=-x+n, du brauchst noch n, setze den Punkt (1; 1,5) in y=-x+n ein, nach n umstellen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 12.06.2007 | | Autor: | itse |
wie kommst du den auf die 1.Ableitung? n=2,5
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Hallo,
1. Ableitung nach der Regel
[mm] y=x^{n}
[/mm]
[mm] y'=n*x^{n-1}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Mi 13.06.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Scheitel von Q mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. (Zwischenlösung $q(x) = [mm] \bruch{x^2}{6} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{8}{3}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
hier die Lösung meines Lehrers:
$q(x) = [mm] \bruch{x²}{6} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{8}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}$
[/mm]
$[x²-8x+4²+16-16]$
$q(x) = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] [(x-4)²)+0] = [mm] \bruch{1}{6}$
[/mm]
$(x-4)²+0$ --> S(4|0)
könnte mir das jemand erklären? gibt es nicht eine andere methode zum Beispiel:
aufgelöste Funktionsgleichung ohne Brüche
$x²-8x+16=0$
$x²-8x+16=0$
$(x-4)²=0$ -> S(4|0)
man nimmt doch (p/2)² in diesem Fall (-8/2)²=16 und kommt auf die Form x²-8x+16 nun vergleicht man q mit dem Wert von (p/2)²
also 16 und 16 somit entsteht x²-8x+16=0 und dann noch die bionische formel andewandt. die quadratische ergänzung ist doch nichts anderes als (p/2)² nach q anzuhängen und die q mit (p/2)² zu vergleichen. zum beispiel eine andere aufgabe wo (p/2)² ungleich q ist:
1: $2x²+3x-27=0$ | /2
2: $x²+1,5x-13,5=0$ | quadratische ergänzung
3: $x²+1,5x+0,5625 = 14,0625$
4: $(x+0,75)²$ und hierbei häng ich noch , wenn ich die Klammer auflöse: x²+1,5x+0,5625 ich muss aber auf -13,5 kommen also muss noch -14,0625 abgezogen werden, kann ich dann die +0,5625 bei 3 einfach verwerfen. S(-0,75|-14,0625)
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> 1: [mm]2x²+3x-27=0[/mm] | /2
> 2: [mm]x²+1,5x-13,5=0[/mm] | quadratische ergänzung
> 3: [mm]x²+1,5x+0,5625 = 14,0625[/mm]
> 4: [mm](x+0,75)²[/mm] und hierbei häng
> ich noch , wenn ich die Klammer auflöse: x²+1,5x+0,5625 ich
> muss aber auf -13,5 kommen also muss noch -14,0625
> abgezogen werden, kann ich dann die +0,5625 bei 3 einfach
> verwerfen. S(-0,75|-14,0625)
ich weiss nicht, was Du da nicht verstehst, Du machst das ja ganz richtig alles. ich würde nur die 14.0635 auf der linken seite stehen lassen, dann machste keine vorzeichenfehler. die 0,5625 verwerfen? ich verstehe nicht, was DU meinst. diese 0.5625 sind ja deine "quadratische Erweiterung".
1: 2x²+3x-27 = 0 | *1/2
2: x² + 1,5x - 13,5 = 0 |hier kommt die Erweiterung
3: x² + 1,5x + 0,5625 - 0,5625 - 13,5 = 0 |an der gleichung hast Du nichts geändert, nur 0 addiert (+ 0,5625 - 0,5625 = 0 !)
jetzt kannste dir ersten 3 Summanden per binomischer Formel zusammenfassen:
4: (x+0,75)² -0,5625 -13,5 = 0 |jetzt noch hinten die summanden addieren
5: (x+0,75)² - 14,0625 = 0 <- das ist deine Scheitelpunktform. ander kannst Du den Scheitelpunkt ablesen. und der ist genau der, den Du oben auch stehen hast. S=(-0,75/-14,0625)
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Mi 13.06.2007 | | Autor: | nik03 |
Hallo,
zu [mm] 2x^2 [/mm] + 3x -27:
Die Vereinfachung der Funktion ist hier nicht zulässig, da dabei nur die Nullstellen der Funktionen unverändert bleiben, der Graph ansich aber ein anderer wird. Da aber nach dem Scheitelpunkt(bzw. hier Minimum) gefragt wird ist dies nicht zulässig und man erhält für obige Funktion [mm] S(-\frac{3}{4},-28\frac{1}{8}).
[/mm]
zur Ausgangsaufgabe:
hier ergibt sich der Scheitelpunkt [mm] S(-4,-\frac{1}{6}). [/mm] Du musst die rechte Seite hier noch berücksichtigen.
Grüße
Norbert
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sorry, für diesen eklatanten fehler.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
1. du schreibst immer Gleichungen hin und nicht Funktionen.
es ist ein Unterschied ob man die Parabel [mm] y=x^2+px+q [/mm] betrachtet oder die Gleichung [mm] x^2+px+q=0 [/mm] lösen will!
bei der Parabel kannst du 2 Eigenschaften leicht bestimmen:1. ihre Nullstellen ,d.h. ihre Schnittstellen mit der x-Achse und
also y=0 oder [mm] x^2+px+q=0
[/mm]
2. ihren Scheitel.
Wenn du die Nullstellen hast, weisst du, dass der Scheitel genau in der Mitte liegt. und da die Nullstellen
[mm] x1=-p/2+\wurzel{...} [/mm] und [mm] x2=-p/2-\wurzel{...} [/mm] sind ist der x Wert des Scheitels [mm] x_s=(x1+x2)/2=-p/2 [/mm] da die + und - Wurzel beim Addieren wegfallen.
ausserdem ist ja die berühmte p-q formel nur dadurch entstanden, dass man quadratische Ergänzung gemacht hat, halt nur nicht mit Zahlen, sondern mit p und q und dabei ist diese Formel rausgekommen. Wenn du überlegst, warum sie stimmt musst du wieder quadratische Ergänzung machen!
[mm] x^2+px+q=0 [/mm] schreiben als [mm] x^2+2*p/2 +(p/2)^2-(p/2)^2+q=0
[/mm]
[mm] (x+p/2)^2 -p^2/4+q=0 [/mm] bis hier haben wir das =0 nicht benutzt, du kannst also schreiben [mm] y=(x+p/2)^2 -p^2/4+q [/mm] und hast die Scheitelform! ganz allgemein, und kannst jetzt auch, wie du es gemacht hast statt p und q Zahlen nehmen.
Wenn man die Nullstellen will muss man jetzt noch [mm] (x+p/2)^2 -p^2/4+q=0 [/mm] daraus [mm] (x+p/2)^2=p^2/4-q [/mm] und endlich
[mm] x+p/2=\pm \wurzel{p^2/4-q} [/mm] also die p-q Formel!
Du siehst, wenn du sie gleich verwendest, hast du eigentlich nur "verheimlicht" dass du vorher quadratische ergänzung gemacht hast.
Einen Fehler machst du, wenn du einfach bei
[mm] q(x)=x^2/6-4/3x+8/3
[/mm]
nur die Nullstellen suchst. dann kannst du mit 6 multiplizieren hast also [mm] x^2-8x+16=0 [/mm] das hat dieselben Nullstellen wie q(x) deshalb auch denselben x-Wert des Scheitels, aber einen anderen y Wert.
Ich hoff es ist einiges klarer geworden.
Nochmal kurz:
Dein Verfahren ist richtig, es benutzt quadratische ergänzung, die du (oder dein LhrerIn ) mal früher gemacht hat, ist also eigentlich nix anderes.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mi 13.06.2007 | | Autor: | nik03 |
Hallo leduart,
wenn du sagst, das hier benutzte Verfahren, das zu S(4,0) führt ist richtig versteh ich das nicht ganz, da der Scheitelpunkt ja offensichtlich nicht stimmt... Wenn man den oder die Graphen plottet kann man das eigentlich auch sehen.
Grüße
Norbert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo nik
Für die erste Funktion die mit [mm] 1/6x^2 [/mm] anfängt ist der Scheitel 4,0 die Nullstellen von 6*q(x) sind dieselben ,wie die von q(x). dass der y Wert auch stimmt ist dann hier Zufall, bzw. liegt daran, dass q(Scheitel)=0 und weil 1/6*0=0.
für die 2. fkt, die mit [mm] 2x^2 [/mm] anfängt, gibt itses Verfahren die richtigen Nullstellen , damit auch dden richtigen x-Wert des Scheitels, der y- Wert des Scheitels, den man mit dem durch 2 gekürzten q ausrechnet ist dann natürlich falsch. das hatte ich auch gesagt!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Mi 13.06.2007 | | Autor: | nik03 |
Hi leduart,
okido, für die homogene Gleichung stimm ich dir zu, hatte wie schon geschrieben die rechte Seite mit berücksichtigt(also nicht die Zwischenlösung).
Grüße
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 13.06.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
Danke für die rege Beteiligung. Wie könnte man diese 2x²+3x-27 dann mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunform bringen? Wenn man durch 2 teilt verändern sich natürlich die Werte und der Scheitelpunkt stimmt nicht mehr. Dies tritt ja dann nur auf wenn vor dem x² noch eine Zahl das a steht (Streckung, Stauchung der Normalparabel x²), ansonsten kann man ganz normal mit der quadratischen Ergänzung rechnen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
[mm] q(x)=2x^2+3x-27
[/mm]
[mm] =2*(x^2+3/2x)-27
[/mm]
[mm] =2*(x^2+2*3/4x+(3/4)^2-(3/4)^2)-27
[/mm]
[mm] =2*(x+3/4)^2 -2*(3/4)^2-27
[/mm]
[mm] =2*(x+3/4)^2 [/mm] -28,125
also Scheitel (-0,75|-28,125)
zweiter Weg:
Nullstellen berechnen:
[mm] 2x^2+3x-27=0
[/mm]
[mm] x^2+1,5x-13,5=0
[/mm]
[mm] x1=-0,75+\wurzel{0,75^2+13,5}
[/mm]
[mm] x2=-0,75-\wurzel{0,75^2+13,5}
[/mm]
[mm] x_s=(x1+x29/2=-0,75
[/mm]
[mm] q(xs)=2*(-0,75)^2 [/mm] +3*(-0,75)-26=-28,125 q(xs) ist die 2. Koordinate des Scheitels, also Scheitel wie oben
3. Weg:
[mm] q(x)=2x^2+3x-26
[/mm]
[mm] p(x)=x^2+1,5x-13,5 [/mm] mit q(x)=2*p(x)
jetzt Scheitelform von p(x) aufschreiben egal wie, dann am End erst wieder q(x)=2*p(x) ausrechnen .dann hat man die Scheitelform von q(x)
Such dir selbst aus, was du am einfachsten findest, vielleicht probierst du auch mal ein Parabel mit allen 3 Möglichkeiten aus und entscheidest dich dann!
In ner Arbeit musst du aber deutlich hinschreiben, dass du erst die Scheitelform von p(x) suchst und erst am Ende die richtige hast!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Do 14.06.2007 | | Autor: | itse |
hier eine weitere aufgabe:
-2x²+13x-27
-2[(x²-6,5x)+13,5*(-2)]
-2[(x²-6,5x)-27]
-2[(x²-6,5x-21,125)+21,125-27]
-2[(x-3,25)²+21,125-27]
-2(x-3,25)²-5,875 S(3,25|-5,875)
würde doch aus so gehen?
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Hallo itse!
Du klammerst hier falsch aus beim letzten Term:
[mm] $-2*x^2+13*x-27$
[/mm]
$= \ [mm] -2*\left[x^2-6.5*x \ \red{+ \ 13.5}\right]$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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