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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Sinus-Cosinusfunktion

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Sinus-Cosinusfunktion: Aufgabenhilfe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:47 Mi 27.08.2008
Autor:	Maria181

Aufgabe

 Gegeben seien die beiden funktionen [mm] f:x\to 2\* [/mm] sin(2x); x [mm] \in \IR [/mm] und

[mm] g:x\to [/mm] 2+ cosx;x [mm] \in \IR
 [/mm]

a) durch welche dehnungen oder verschiebungen geht der graph der funktion f aus dem graphen der sinusfunktion hervor?

b) durch welche dehnungen oder verschiebungen geht der graph der funktion g aus dem graphen der cosinusfunktion hervor?

c) stellen sie die funktionen f und g in einem koordinatensystem im bereich -4,4 graphisch dar.

also das wäre die erste aufgabe, ich verstehe nur bahnhof. das ist alles etwas zu hoch für mich. ich weiss nur dass man irgendwie in aufgabe a) um a verschieben muss aber wie geht das? hoffe mir kann es jemand erklären, dass ich auch alles verstehe danke und gruss :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Sinus-Cosinusfunktion: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:08 Mi 27.08.2008
Autor:	Al-Chwarizmi

> Gegeben seien die beiden funktionen [mm]f:x\to 2\*[/mm] sin(2x); x
> [mm]\in \IR[/mm] und
>  [mm]g:x\to[/mm] 2+ cosx;x [mm]\in \IR[/mm]
>
> a) durch welche dehnungen oder verschiebungen geht der
> graph der funktion f aus dem graphen der sinusfunktion
> hervor?
>
> b) durch welche dehnungen oder verschiebungen geht der
> graph der funktion g aus dem graphen der cosinusfunktion
> hervor?
>
> c) stellen sie die funktionen f und g in einem
> koordinatensystem im bereich -4,4 graphisch dar.

>  also das wäre die erste aufgabe, ich verstehe nur bahnhof.

In diesem Fall würde ich dir empfehlen, etwas Zeit zu
investieren und mit Funktionen dieser Art zu experimentieren.
Fange mit den Zeichnungen an. Falls du einen grafischen TR
hast, ist dies kinderleicht, mit einem einfacheren Rechner
musst du halt für jede Kurve jeweils eine Serie von Punkten
berechnen und in eine Zeichnung eintragen. Zum Anfangen
möchte ich dir noch ein paar weitere Funktionen vorschlagen,
etwa:

            [mm]f_0:x\to cos(x)[/mm]

            [mm]f_1:x\to 2+cos(x)[/mm]

            [mm]f_2:x\to 2*cos(x)[/mm]

            [mm]f_3:x\to cos(2x)[/mm]

            [mm]f_4:x\to cos(x-\pi/2)[/mm]          (unbedingt mit Bogenmass rechnen !)

            [mm]f_5:x\to cos(x+\pi)[/mm]

Mach' dir jeweils klar, wie man den Graph von  [mm] f_1, f_2, f_3,f_4 [/mm]
oder [mm] f_5 [/mm]  aus dem von  [mm] f_0 [/mm]  erhalten kann und was die dabei
vorkommenden Summanden oder Faktoren genau bewirken !

LG

Bezug

Sinus-Cosinusfunktion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:09 Mi 27.08.2008
Autor:	Maria181

Ja, danke erstmal für die schnelle antwort. ne habe leider keinen graphischen taschenrechner. naja irgendwie ist es in unseren büchern alles etwas unverständlich erklärt. sagen auch viele andere kursteilnehmer, nicht nur ich. ich hab das buch jetzt schon 100mal durchgelesen und bin immer noch bei 0

Ich freue mich ehrlich gesagt wenn ich in mathe in der prüfung ne 5kriege. mache ja nur GK.

Ich weiss jetzt immer noch nichts mit den sachen anzufangen aber versuche mich weiter damit zu befassen. danke und gruss

Bezug

Sinus-Cosinusfunktion: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:28 Mi 27.08.2008
Autor:	Steffi21

Hallo, wir wollen dir die Lösungen nicht auf's Tablett legen, mit den Funktionen spielen, experimentieren hilft dir wesentlich mehr, bringt mehr als 100 ein Buch lesen, dann erkennst du die Zusammenhänge, lade dir mal

FunkyPlot runter und spiele etwas, dann kannst du ja mal deine Vermutungen/Lösungen vorstellen, ach ja, setze dein Ziel für die Matheprüfung (deutlich) höher als 5 an, das kann dann auch ganz schnell 6 werden, Steffi

Bezug

Sinus-Cosinusfunktion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:08 Do 28.08.2008
Autor:	Maria181

leider kapiere ich garnichts. deshalb kann ich auch nicht experimentieren. danke für deine beispiele. kannst du mir vieleicht noch paar andere beispeiele mit lösungen geben, damit ich wenigstens weiss ob es richtig war. versuche es dann noch mal mit hilfe des buches zu schaffen. danke

mit den beispielen kann ich eigentlich damit aufgabe a) und b) lösen? da muss man doch die verscheibeung oder dehnung angeben?! dass hat doch nichts mit zeichnen zu tun oder doch? danke und gruss

Bezug

Sinus-Cosinusfunktion: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:56 Do 28.08.2008
Autor:	Adamantin

Da ich ein wenig anders als die meisten hier bin und gerne bereit bin, dir auch eine komplette lösung der Aufgaben zu geben, da man so am besten lernt, indem man nämlich die Aufgabe nochmal rechnet, wenn man einmal die Lösung verstanden hat, will ich dir mal die a) so gut erklären, wie ich es kann und hoffen, dass du dann etwas besser verstehst.

Es geht hier um die Funktionsklasse der trigonometrischen Funktionen. Diese umfassen für den GK meist die Funktionen sin(x), cos(x) und tan(x). Nur diese drei brauchst du kennen, du solltest aber von allen dreien ein ungefährs Bild und ungefähre Eigenschaften wissen. Wichtig für das Verständnis ist der Einheitskreis, den du dir notfalls eben irgendwo im Internet ansehen solltest, wenn dein Buch nicht genug hergibt.

Wenn du weißt, wie die sin-Funktion zustande kommt bzw was sie repräsentiert, dann können wir einsteigen :)

sin(x) ist ja eine Funktion, die endlos geht, aber periodisch wiederholt wird. Das bedeutet, eine normale sin(x) Funktion hat eine Periode von [mm] 2\pi [/mm]
[mm] \pi [/mm] bedeutet in diesem Zusammenhang einen Winkel von 180° (daher auch Winkelfunktionen ;)), da der Kreisumfang eines Einheiteskreises [mm] 2\pi [/mm] beträgt. Das bedeutet, die normale sin-Funktion geht von 0 bis [mm] 2\pi(360° [/mm] oder 6,28), da ihre Periode [mm] 2\pi [/mm] beträgt. Ab [mm] 2\pi [/mm] wiederholt sie sich periodisch, also wird sozusagen das Stück von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] wiederholt.

Die sin-Funktion hat beim x-Wert 0 den y-Wert 0, daher beginnt die Funktion bei 0 mit 0, hat also dort eine 0 Stelle. Dann kommt ein Hochpunkt bei [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] ein weiterer Nullpunkt bei [mm] \pi [/mm] und ein Tiefpunkt bei [mm] \bruch{3\pi}{2}, [/mm] ehe sie bei [mm] 2\pi [/mm] wieder 0 annimmt

Somit haben wir jetzt die sin-Funktion. Nun ist aber nach einer Funktion der Art [mm]2*sin(2x)[/mm] gefragt. Wir haben hier also offenbar einige Koeffizienten, die die Funktion verändern, aber wie?

Nun, dazu überlegen wir uns erst einmal, welche Änderungen überhaupt an einer sin-Funktion vorgenommen werden können. Das führt uns zu dieser Formel:
[mm]a*sin(bx-c)+d[/mm]
Das bedeutet, man kann eine Zahl mit der Funktion multiplizieren (a), man kann eine Zahl als Vorfaktor vor das x schreiben (b) oder eine Zahl in der Klammer von x subtrahieren (c). Zuletzt kann man von der gesamten Funktion eine Zahl subtrahieren (d).

Offenbar wurde für die Aufgabe a) a und b benutzt.
Nun muss man wissen, wie sich diese Koeffizienten auswirken. Das ist aber so änhlich wie bei Parabeln.

Der Faktor a vor der Funktion streckt diese. Wie bei [mm]2x²[/mm], wo die funktionswerte praktisch doppelt so groß sind, ist auch bei der sin-Funktion der Ausschlag der Kurve doppelt so hoch. Wo also [mm] sin(\pi/2)=1 [/mm] wäre, ist [mm] 2sin(\pi/2)=2. [/mm] Man spricht hier von der Amplitude der Funktion, also dem Ausschlag der Wellenkurven. Damit ändert a also die Amplitudenhöhe. In deinem Fall von der normalen Amplitudenhöhe 1 auf 2.

Dann haben wir noch einen Faktor vor dem x in der Klammer. Dieser Faktor ist schwieriger sofort zu sehen, das muss man rechnerisch oder eben zeichnerisch rausfinden. Der Faktor b vor dem x bewirkt jedenfalls eine Periodenveränderung. Oben wurde schon gesagt, dass die Periode einer trigonometrischen Funktion die Zahl ist, ab der sich die Funktion wiederholt. Nach der Formel [mm] P=\bruch{2\pi}{b} [/mm] berechnet man die Periode. Die normale Periode beträgt [mm] 2\pi, [/mm] unser b beträgt 2 also ist die Periode nur noch [mm] \pi. [/mm]
Das bedeutet für die Funktion, dass sie gestaucht wird! Anstatt sich erst ab [mm] 2\pi [/mm] zu wiederholen, wiederholt sie sich ja schon ab [mm] \pi! [/mm]

Damit ergibt sich folgendes Bild. Die Funktion [mm]2*sin(2x)[/mm] geht aus der Grundfunktion sin(x) durch eine horinzontale Streckung um den Faktor 2 (eine Amplitudenvergrößerung um 2) und eine Stauchung in x-Richtung um die Hälfte hervor.

Der vollständigkeitshalber sei erwähnt, dass der Faktor c die Funktion bzw den Startwert (Nullpunkt) in x-Richtung verschiebt (wie ja auch (x-c)² bei Parabeln), und dass der Faktor d die Funktion in y-Richtung verschiebt, wie ja ebenfalls bei parabeln (x²+2)

Bezug