Smith-Normalform und Basis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Bestimme für A= [mm] \pmat{ 4 & 6 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & -2 & -2 } [/mm] die Smith-Normalform D und S,T [mm] \in [/mm] GL(3, [mm] \IZ) [/mm] mit SAT=D.
b) Bestimme eine Basis der von [mm] a_1 [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 2}, a_2= \vektor{6 \\ 6 \\ -2} [/mm] und [mm] a_3 [/mm] = [mm] \vektor{2\\ 2 \\ -2} [/mm] erzeugten Untergruppe von [mm] \IZ^3.
[/mm]
c) Beschreibe [mm] \IZ^3/U. [/mm] |
Hallo,
zu a) Es gilt:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 6 & 2} \pmat{ 4 & 6 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & -2 & -2 } \pmat{ 0 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & -6 \\ - 2 & 2 & 5 } [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0& -2 & 0 \\ 0 & 0 & 10 } [/mm] = D.
zu b)
Man bestimmt S^-1 = [mm] \pmat{ -2 & 2 & -1 \\ 1& 0 & 0 \\ -2 & -1 & 1 }.
[/mm]
Die Spalten von S^-1 sind eine Basis von [mm] \IZ^3 [/mm] und ihre Klassen Erzeuger von G (wobei 0 --> [mm] \IZ^3 [/mm] --> [mm] \IZ^3 [/mm] --> G).
Und es gilt: [mm] 1v_1 [/mm] = [mm] 2v_2 [/mm] = [mm] 10v_3 [/mm] =0 (als Relationen).
Den Erzeuger [mm] v_1 [/mm] kann man weglassen und es folgt: G= [mm] \IZ_2 [/mm] x [mm] \IZ_{10}.
[/mm]
Stimmt das schonmal? Bei c) weiß ich jetzt nicht wirklich weiter....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Trikolon |
Hat jemand eine Idee?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Di 19.02.2013 | | Autor: | Trikolon |
Hat niemand eine Idee, wie man diese Aufgabe lösen könnte? Wäre echt dankbar für eine Antwort...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Mi 20.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
stimmt bei b) [mm] $a_2 [/mm] = [mm] \vektor{6\\6\\-2}$?
[/mm]
Oder müsste es [mm] $a_2 [/mm] = [mm] \vektor{6\\3\\-2}$ [/mm] heißen?
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 21.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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