Stammfunktion ermitteln < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie die Stammfunktion an
a) Integral von (x/ 4teWurzel aus [mm] (x^2 [/mm] + 3))dx
bzw.
b) Integral von (5x * 4^4x)dx |
Ich möchte gern herausfinden, wie man eine Stammfunktion ermittelt. Ich wollte es nun über Substitution versuchen. Habe dazu im Internet etwas gelesen, komme aber einfach nicht dahinter, wie ich beginnen muss
Dort stand Integral von f(z)dz =Integral von f(g(x))*g´(x) dx = F(g(x)) = F(z)
Der Schritt zwischen 2 und 3 ist einleuchtend wegen der Kettenregel.
z kann man hier gleich g(x) setzen
Ich kann nun also hier ein beliebiges (?) g(x) wählen und damit das Integral wie es im zweiten Schritt steht zusammenbauen. Nur was für ein g(x) wähle ich z. B. in meinem Beispiel b??
Und wie komme ich dann zu meiner Stammfunktion??
Wer kann mir bitte helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{(x^{2}+3)^{\bruch{1}{4}}} dx}
[/mm]
hier kannst du [mm] z:=x^{2}+3 [/mm] substituieren, also [mm] dx=\bruch{dz}{2x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{z^{\bruch{1}{4}}}\bruch{dz}{2x} }
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
Kann ich das immer so machen, dass ich als z einfach einen Teil der Funktion benutze? Hier ist es ja das was im Nenner in der Klammer steht..
[mm] x^2 [/mm] + 3 also als t wählen und die Ableitung davon ist 2x, das ist klar, aber könntest Du mir Deine weiteren Schritte bitte näher erklären? ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Was mache ich nun mit diesem t?
|
|
|
| |
|
Hallo,
du musst das Differential $dx$ mitsubstituieren. Du hast bisher [mm] $t=x^2+3$. [/mm] Bilde dann die Ableitung von t nach x, also [mm] \frac{dt}{dx}=2x. [/mm] Durch Umstellen ergibt sich [mm] dx=\frac{dt}{2x}. [/mm]
Dies setzt du wieder in dein Integral ein, dann kürzt sich das x heraus und du bekommst einen Integranden der nur noch von t abhängt....
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
Wenn ich das nun einsetze, wird es für mich ehrlich gesagt noch unverständlicher.. Erhalte dann doch [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(x^2+3)^\bruch{1}{4}*2}}, [/mm] oder wie??
|
|
|
| |
|
Ja eigentlich recht gut. Aber du hast jetzt die eigentliche Substitution vergessen. Wir hatten doch [mm] x^2+3=t [/mm] gesetzt.
|
|
|
| |
|
Aber ich kann das doch nicht einfach für t einsetzen?? Da steht doch dann im Zähler [mm] d(x^2+3) [/mm] und damit kann man doch nichts anfangen, oder?
|
|
|
| |
|
Bei mir steht da:
[mm] $\frac{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{dt}{t^\bruch{1}{4}}} [/mm] $
[mm] $=\frac{1}{2} \integral_{}^{}t^{-\bruch{1}{4}} [/mm] dt$
|
|
|
| |
|
Ich ziehe also das [mm] t^{\bruch{1}{4}} [/mm] in den Nenner indem ich schreibe [mm] t^{-\bruch{1}{4}}, [/mm] und die 2 ziehe ich einfach vor das Integral, also hier [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Wenn ich nun diesen Term [mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{t^{\bruch{1}{4}} dt} [/mm] habe, wie erhalte ich dann die Stammfunktion?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich ziehe also das [mm]t^{\bruch{1}{4}}[/mm] in den Nenner Zähler! indem ich
> schreibe [mm]t^{-\bruch{1}{4}},[/mm] und die 2 ziehe ich einfach vor
> das Integral, also hier [mm]\bruch{1}{2}.[/mm] Wenn ich nun diesen
> Term [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{t^{\bruch{1}{4}} dt}[/mm] habe,
Hier meinst du doch [mm] $\frac{1}{2}\int{t^{\red{-}\frac{1}{4}} \ dt}$
[/mm]
Das steht doch alles schon oben in Patricks Antwort, lies genauer!
> wie erhalte ich dann die Stammfunktion?
Schaue dir unbedingt die elementaren Integrationsregeln an, hie insbesondere die Potenzregel:
Für alle [mm] $n\in\IR, n\neq [/mm] -1$ ist [mm] $\int{x^n \ dx}=\frac{1}{n+1}\cdot{}x^{n+1} [/mm] \ + \ C$
Übertrage das auf diese Aufgabe...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Entschuldige, ich habe mich zweimal verschrieben. Muss an der späten Stunde liegen.
Dennoch verstehe ich nicht, wie ich nun zu der Stammfunktion komme.
|
|
|
| |
|
Hallo,
langsam ist es nicht mehr lustig.
Liest du nicht, was man dir so schreibt?
Das scheint fast so, denn nach 10 Sekunden kommt die nächste Frage. Du musst schon über die Antworten nachdenken.
So ist Mathe nun einmal, da fällt nix vom Himmel
Wir schreiben die Antworten nicht in böser Absicht, sondern um dir zu helfen.
Wenn du nix liest und keine Tipps annimmst, dann hört der Spaß auf. ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
Ich habe dir oben die Formel hingeschrieben.
x ist bei dir t und [mm] n=-\frac{1}{4}
[/mm]
Das wirst du doch wohl trotz der späten Stunde einsetzen können=!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Seit wann ist x bei mir t? t war doch [mm] x^2 [/mm] + 3
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{(x^2 + 3)^{-\bruch{1}{4}}dx}?? [/mm] Aber x ist doch nicht t also müsste hinten ja auch wieder das ganze [mm] x^2 [/mm] + 3 eingesetzt werden, und das ergibt keinen Sinn
P.S. Wenn ich innerhalb von wenigen Sekunden antworte, dann nicht weil ich nicht darüber nachdenke. Ich habe neben mir ein Blatt Papier liegen, schreibe alles mit, und versuche alles Schritt für Schritt nachzuvollziehen. Wenn ich dann eine Frage habe, antworte ich dementsprechend.
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
machen wir nochmal kurz halt und schauen in Ruhe, wo wir nun sind:
Zu berechnen ist $\int{\frac{x}{\sqrt[4]{x^2+3}} \ dx}=\int{\frac{x}{\left(x^2+3\right)^{\frac{1}{4}}} \ dx}$
Nun wirde sie Substitution $\red{t}=t(x):\red{=x^2+3}$ angesetzt.
Damit ist $t'(x)=\frac{dt}{dx}=2x$, also $\blue{dx=\frac{dt}{2x}}$
Das wird nun alles nett ersetzt im Integral:
$\int{\frac{x}{\left(\red{x^2+3}\right)^{\frac{1}{4}}} \ \blue{dx}}=\int{\frac{x}{\red{t}^{\frac{1}{4}}} \ \blue{\frac{dt}{2x}}$
Nun x kürzen und $\frac{1}{2}$ vor das Integral ziehen:
$=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}} \ dt}=\frac{1}{2}\int{t^{-\frac{1}{4}} \ dt}$
Soweit steht das schon in Patricks Antwort oben
Nun musst du dieses Integral gem. der Formel für die Potenzregel, die ich dir oben hingeschrieben habe, berechnen.
Wie gesagt: Dem x aus der Formel entspricht hier t und dem n die -\frac{1}{4}
Wenn du das Integral dann in t ausgerechnet hast, musst du gem. der Substitution $t=x^2+3$ natürlich noch resubstituieren und alle t wieder durch Ausdrücke in x ersetzen
Nun versuch's nochmal langsam, dann klappt's bestimmt!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Nach der Potenzregel ist [mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{t^{-\bruch{1}{4}} dt} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{-\bruch{1}{4}+1}t^{-\bruch{1}{4}+1}+C) [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}(\bruch{4}{3}t^{\bruch{3}{4}}+C)
[/mm]
Was mache ich im Weiteren mit der Konstante C?
Der Rest des Terms ausmultipliziert ist [mm] \bruch{2}{3} t^\bruch{3}{4}
[/mm]
Ist das soweit richtig??
Kann ich da jetzt gleich mit dem Resubstituieren beginnen?
Das heißt mit [mm] t:=x^2+3
[/mm]
also [mm] \bruch{2}{3} (x^2+3)^\bruch{3}{4} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Das heißt dieses [mm] \bruch{2}{3}(x^2+3)^\bruch{3}{4} [/mm] + C ist nun die Stammfunktion.. Kann ich diese noch vereinfachen? Das heißt, wie könnte ich denn hier die Klammer hoch 3/4 berechnen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Das heißt dieses [mm]\bruch{2}{3}(x^2+3)^\bruch{3}{4}[/mm] + C ist
> nun die Stammfunktion.. Kann ich diese noch vereinfachen?
> Das heißt, wie könnte ich denn hier die Klammer hoch 3/4
> berechnen?
Eine wirkliche Vereinfachung ist es nicht, aber du könntest es wieder als Wurzel schreiben:
[mm] $\frac{2}{3}\left(x^2+3\right)^{\frac{3}{4}} [/mm] \ + \ C \ = \ [mm] \frac{2\cdot{}\sqrt[4]{(x^2+3)^3}}{3} [/mm] \ + \ C$
Aber ob das nun unbedingt schöner ist ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die ausgiebige Hilfestellung! 
Ich werde mich nun mal auf die Suche nach ähnlichen Aufgaben machen, um zu Überprüfen inwieweit ich die ganze Sache begriffen habe.
LG
|
|
|
| |
|
Wenn ich das richtig sehe, ist nun [mm] \bruch{2}{3}(x^2+3)^\bruch{3}{4} [/mm] abgeleitet gleich [mm] \bruch{1}{2}(x^2+3)^{-\bruch{1}{4}}*2x [/mm] und dies wiederum [mm] (x^2+3)^{-\bruch{1}{4}}*x [/mm] und somit gleich dem was wir zu anfangs hatten, nämlich [mm] \bruch{x}{\wurzel[4]{x^2+3}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Wenn ich das richtig sehe, ist nun
> [mm]\bruch{2}{3}(x^2+3)^\bruch{3}{4}[/mm] abgeleitet gleich
> [mm]\bruch{1}{2}(x^2+3)^{-\bruch{1}{4}}*2x[/mm] und dies wiederum
> [mm](x^2+3)^{-\bruch{1}{4}}*x[/mm] und somit gleich dem was wir zu
> anfangs hatten, nämlich [mm]\bruch{x}{\wurzel[4]{x^2+3}}[/mm]
Das bestätigt damit die Richtigkeit deines Ergebnisses, so sollte es sein!
Stimmt alles!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo stonefree1343,
benutze doch bitte unseren wunderbaren Formeleditor (unter dem Eingabefenster), da gibt's alle Formeln, die du brauchst, einfach draufklicken und der Code wird angezeigt.
So ist's kaum lesbar ...
Wenn ich das richtig sehe, lautet das 2.Integral [mm] $\int{5x\cdot{}4^{4x} \ dx}$
[/mm]
Für $a>0$ gilt [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Schreibe also [mm] $4^{4x}$ [/mm] entsprechend um in [mm] $e^{4x\ln(4)}=e^{4x\ln\left(2^2\right)}=e^{8x\ln(2)}$
[/mm]
Damit hast du [mm] $\int{5x\cdot{}e^{8\ln(2)\cdot{}x} \ dx}$
[/mm]
Das kannst du partiell integrieren ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Das mit der partiellen Integration ist mir leider noch unverständlicher als die Substitution. Wie könnte man denn hier mit Hilfe der Substitution vorgehen?
Danke für den Tipp mit dem Formeleditor. Ich hätte ihn vorhin gern benutzt, habe aber keinen Link dazu gefunden.
|
|
|
| |
|
Mit einer Substitution kommst du hier nicht weiter, denke ich. Was ist dir denn an der partiellen Integration unklar?? Ich denke sie ist einfacher als Subst, da du ja nur in die Formel einsetzten musst:
[mm] $\int [/mm] u * v' dx = u * v - [mm] \int [/mm] u' * v dx$
Setze hier $u=5x$ und [mm] $v'=e^{...}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Eingesetzt heißt das
[mm] \integral_{}^{}{5x * e^{8ln(2)*x} dx} [/mm] = [mm] 5x*e^{(8ln(2)*x} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{5*e^{8ln(2)*x} dx} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Eingesetzt heißt das
> [mm]\integral_{}^{}{5x * e^{8ln(2)*x} dx}[/mm] = [mm]5x*e^{(8ln(2)*x}[/mm] - [mm]\integral_{}^{}{5*e^{8ln(2)*x} dx}[/mm] ?
Nein, du musst [mm] $e^{8\ln(2)\cdot{}x}$ [/mm] integrieren, das war ja in der Formel als $v'$ angesetzt und wird dann zu $v$
Schaue dir die Formel für die partielle Integration nochmal genau an, oben steht sie!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ist die abgeleitete e-Funktion dann [mm] e^{8ln(2)*x} [/mm] * (8ln(2)*x)´ ? (Wegen der Kettenregel)
Aber was ist 8ln(2)*x abgeleitet?
|
|
|
| |
|
Ach so, dieses e^... war ja bereits die abgeleitete Funktion v. Das heißt ich muss die Stammfunktion finden für dieses e^... ? Wie mache ich das?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ach so, dieses e^... war ja bereits die abgeleitete
> Funktion v. Das heißt ich muss die Stammfunktion finden
> für dieses e^... ? Wie mache ich das?
Ich würde sagen, mit etwas mehr Eigenleistung und Nachdenken.
Wie integrierst du [mm] $e^x$?
[/mm]
Wie integrierst du [mm] $e^{a\cdot{}x}$ [/mm] (nach x)?
Und das [mm] $8\ln(2)$ [/mm] ist ebenso eine Konstante wie a.
Gehe mal die beiden Fragen durch. Die Richtigkeit deiner Ergebnisse kannst du durch Ableiten überprüfen, es muss ja dann wieder [mm] $e^x$, [/mm] resp. [mm] $e^{a\cdot{}x}$ [/mm] rauskommen ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Schade, dass die Deutschen keine Ruhe mehr haben, und gleich auf 180 gehen. Und entschuldige, dass ich mir diese Rechenvorgänge nicht im ff vorhanden sind. Ich bemühe mich wirklich. Aber ich benötige noch etwas Hilfe.
Vielen Dank daher für die vielen Ratschläge.
|
|
|
| |
|
[mm] e^x [/mm] integriert ist wieder [mm] e^x
[/mm]
[mm] e^{ax} [/mm] abgeleitet kein Problem, aber integriert??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo stonefree!
> [mm]e^{ax}[/mm] abgeleitet kein Problem,
Und was ergibt das?
> aber integriert??
Aus der Ableitung kann man sich dann auch die Stammfunktion überlegen. Da fehlt doch nur ein Faktor.
Formal korrekt kannst Du hier auch $z \ := \ a*x$ substituieren.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
[mm] e^{ax} [/mm] abgeleitet ist [mm] e^{ax} [/mm] * a
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo stonefree!
> [mm]e^{ax}[/mm] abgeleitet ist [mm]e^{ax}[/mm] * a
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
Also ...?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ist die abgeleitete e-Funktion dann [mm]e^{8ln(2)*x}[/mm] *
> (8ln(2)*x)´ ? (Wegen der Kettenregel)
> Aber was ist 8ln(2)*x abgeleitet?
Das würde es, und [mm] $8\ln(2)$ [/mm] ist ne Konstante, also würde [mm] $8\ln(2)x$ [/mm] abgeleitet zu [mm] $8\ln(2)$, [/mm] genau wie du $5x$ ableiten würdest zu 5
Aber das ist völlig ![[offtopic]](/images/smileys/offtopic.gif "[offtopic]") , lies mal meine letzte Antwort durch, wo steht da was von ableiten?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Entschuldige! Nicht gleich sauer sein! Als ich meinen Fehler bemerkte, konnte ich ihn leider nicht mehr zurückziehen. Du warst schneller 
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
