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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mi 29.04.2009 | | Autor: | tower |
| Aufgabe | Ein Polynom vierten Grades, dessen Graph durch den Ursprung läuft, hat bei x = 1 einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente) und bei x = 2 ein Maximum.
Die Gerade, die das Maximum mit dem Sattelpunkt verbindet, schneidet die y-Achse bei y = 2.
Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms?
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Hallo,
erst mal das, was ich bis jetzt habe:
da durch den Ursprung:
f(x)= ax4 + bx3 + cx2 +dx
f'(x)=4ax3 + 3bx2 + cx + d
f''(x) = 12ax2 + 6bx + c
f'''(x) = 24ax + 6b
-----------------------------------------------
Sattelpunkt bei x = 1
f'(1) = 4a + 3b + c + d = 0
f''(1) = 12a + 6b + c = 0
f'''(1) = 24a + 6b ≠ 0
------------------------------------------------
Maximum bei x = 2
f'(2) = 32a + 12b + 2c + d = 0
f''(2) < 0 ==> 48a + 12b + c < 0
------------------------------------------------
der Graph müsste demnach wie folgt aussehen:
Bild4.png
was mache ich jetzt mit der Info:
die Gerade, die Sattelpunkt und Maximum verbindet, schneidet die y-Achse bei y = 2.
Ist mein bisheriger Ansatz o.k., oder mache ich hier etwas falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg, tower
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mi 29.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Für Steckbriefaufgaben brauchst du immer nur die notwendige Bedingung, die hinreichende ist hierfür nicht nötig.
Die Bedingungen sind korrekt aufgestellt.
Mit den fünf Gleichungen kann man die fünf Parameter a,b,c,d und e von [mm] f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e [/mm] bestimmen.
Die Info mit der Geraden kann ich mir so auch gerade nicht erklären, evtl. dient sie der Kontrolle.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 29.04.2009 | | Autor: | tower |
was mich dabei irretiert ist:
die dritte Ableitung vom Sattelpunkt
f'''(1) ≠ 0
also habe ich hier doch eine weitere Unbekannte die ungleich Null ist, oder stelle ich mich hier gerade etwas an?
und die zweite vom Maximum:
f''(2) < 0
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Hallo, bevor du dich festrennst, du hast einen Fahler in deinen Ableitungen, die 1. Ableitung von [mm] c*x^{2} [/mm] ist 2cx, die 2. Ableitung dann 2c, schau mal bitte in meine andere Antwort, Steffi
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Hallo, in deinen Ableitungen steckt ein kleiner Fehler
[mm] f(x)=a*x^{4}+b*x^{3}+c*x^{2}+d*x
[/mm]
[mm] f'(x)=4*a*x^{3}+3*b*x^{2}+2*c*x+d
[/mm]
[mm] f''(x)=12*a*x^{2}+6*b*x+2*c
[/mm]
ergibt drei Gleichungen
(1) 0=4a+3b+2c+d
(2) 0=12a+6b+2c
(3) 0=32a+12b+4c+d
jetzt kommt die Gerade in's Spiel y=m*x+n, wir wissen n=2
y=m*x+2
jetzt liegen auf der Geraden die Punkte (1;f(1)) und (2;f(2))
du solltest die Gerade [mm] y=\bruch{1}{3}x+2 [/mm] sowie a=-1, [mm] b=\bruch{16}{3}, [/mm] c=-10 und d=8 erhalten,
Steffi
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Hallo Steffi,
ich steh gerade etwas auf dem Schlauch: wie kommst Du auf
[mm] m=\frac{1}{3} [/mm] ?
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 29.04.2009 | | Autor: | nik03 |
Hi Martinius,
um das Gleichungssystem lösen zu können mußt du noch die beiden Punkte auf der Geraden zu einer 4. Gleichung verknüpfen. Mit:
f(1)=m*1+2 und f(2)=m*2+2
wenn du diese beiden Gleichungen entsprechend voneinander abziehst bekommst du eine neue Gleichung ohne m. Dies ist deine 4. Gleichung für dein System. Nachdem du das GLS dann gelöst hast, kannst du m aus einer der beiden Gleichungen bestimmen.
Grüße
nik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mi 29.04.2009 | | Autor: | tower |
zu deiner antwort habe ich eine frage, die Gleichenungen können doch auch so wie sie sind genutzt werden? ich meine dann habe ich fünf Gleichungen und fünf unbekannte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mi 29.04.2009 | | Autor: | nik03 |
klar, geht auch.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mi 29.04.2009 | | Autor: | tower |
Habe es jetzt mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren versucht, gehe davon aus, dass ich mich irgendwo verrechnet habe.
Es gibt doch bestimmt eine bessere Methode, um ein solches Gleichungssystem zu lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 29.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt sobald man mehr als 3 gleichungen hat, fast nie ein einfacheres als das Gaussverfahren, es sei den 2 von den Gl sind so einfach, das man direkt 2 Unb. bestimmen kann.
ueberpruefen, und zwar moeglichst Schritt fuer Schritt kannst du hiermit
![[]](/images/popup.gif) gleichungen
Aber benutz das nicht um deine HA zu machen, sonst fehlt dir die Uebung bei Klausuren.
Gruss leduart
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