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Stetigkeit: Epsilon delta Kriterium
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Fr 05.01.2018
Autor: b.reis

Aufgabe
Zeigen Sie, mit EINEM [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \partial [/mm] Argument , dass die folgenden Funktionen stetig sind.

f:(0, [mm] \infty [/mm] )-->(0, [mm] \infty [/mm] ), x--> [mm] \wurzel{x} [/mm]


Hallo

Meine Rechnung sieht folgendermaßen aus:

[mm] x_{0}=9 [/mm]

Dann habe ich ein d für delta angenommen, das zugleich die Distanz zu [mm] x_{0}=9 [/mm]  ist und beliebig, also d.

dann habe ich aus f(9-d) als x gewählt und die Distanz für das Epsilon Delta Kriterium sieht dann so aus |f(9-d)-f(9)|= | [mm] \wurzel{9-d } [/mm] - [mm] \wurzel{9} [/mm] |

Da ich die Wurzel nicht haben will, erweitere ich mit| [mm] \wurzel{9-d} [/mm] + [mm] \wurzel{9} [/mm] |
um am Ende die dritte Binomische-Formel anwenden zu können und die Wurzel damit zu eliminieren.

Das sieht dann so aus:

[mm] \bruch{| \wurzel{9-d} + \wurzel{9} |* | \wurzel{9-d} - \wurzel{9} |}{ \wurzel{9-d} - \wurzel{9} } [/mm]

d im Zähler, da a hoch 2 und b hoch 2 x0-d und x0 ergeben also (x0-d-x0)

= d: [mm] \wurzel{9-d} [/mm] + [mm] \wurzel{9} [/mm] bleibt übrig.

Dann schätze ich ab und sage d : [mm] \wurzel{9-d} [/mm] + [mm] \wurzel{9} [/mm] < d/ [mm] \wurzel{9} [/mm] = d/3 < [mm] \varepsilon [/mm] und  -delta < epsilon*3


Kann das Stimmen ?


Vielen Dank
Benni

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Fr 05.01.2018
Autor: HJKweseleit


> Zeigen Sie, mit EINEM [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\partial[/mm] Argument ,
> dass die folgenden Funktionen stetig sind.
>
> f:(0, [mm]\infty[/mm] )-->(0, [mm]\infty[/mm] ), x--> [mm]\wurzel{x}[/mm]
>  Hallo
>  
> Meine Rechnung sieht folgendermaßen aus:
>  
> [mm]x_{0}=9[/mm]


Im Prinzip sind deine Überlegungen richtig, aber nur im Ansatz. Du sollst ja die Stetigkeit nicht nur für [mm] x_0 [/mm] = 9, sondern für jedes [mm] x_0 [/mm] aus dem Definitionsbereich beweisen.

Außerdem sollst du nicht unbedingt deinen (im Prinzip richtigen) Gedankengang darstellen, bei dem am Ende dann "irgendwie" [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] angepasst werden, sondern die Argumentation gegenüber dem Leser wird sozusagen "rückwärts" abgespult:

Zu gegebenem [mm] x_0 [/mm] aus (0, [mm] \infty [/mm] ) und [mm] \epsilon>0 [/mm] wähle ich [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] * [mm] \wurzel{x_0} [/mm] > 0.

Dann gilt für jedes x aus (0, [mm] \infty [/mm] ):

Wenn [mm] |x-x_0|< \delta [/mm] ist, so ist
[mm] |f(x)-f(x_0)|= |\wurzel{x}-\wurzel{x_0}|, [/mm]  
[mm] =|\bruch{( \wurzel{x} - \wurzel{x_0})( \wurzel{x} + \wurzel{x_0})}{ \wurzel{x} + \wurzel{x_0}}| [/mm]
= | [mm] \bruch{x-x_0}{ \wurzel{x} + \wurzel{x_0}}| [/mm]
<  [mm] \bruch{|x-x_0|}{ \wurzel{x_0}} [/mm]
<  [mm] \bruch{ \delta}{ \wurzel{x_0}} [/mm] = [mm] \epsilon [/mm]


Bezug
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