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Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 So 26.06.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
In einer Population von Ameisen kann man Individuen mit drei verschiedenen Merkmalen [mm] m_1, m_2 [/mm] und [mm] m_3 [/mm] unterscheiden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Merkmal [mm] m_j [/mm] bei einem Fortpflanzungszyklus
auf das Merkmal [mm] m_i [/mm] übergeht, wird mit [mm] p_{ij} [/mm] bezeichnet. Konkret seien diese in der “stochastischen Matrix”

[mm] P=(p_{ij})=\pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 } [/mm]

zusammengefasst.

a) Recherchieren Sie und erklären Sie dann, wann und warum eine Matrix “stochastisch” genannt wird.

b) Wie groß ist der Anteil der drei Merkmale nach einem Ameisen-Fortpflanzungszyklus, wenn ursprünglich eine Gleichverteilung vorgelegen hat? Wie muss man das bezüglich der Merkmalsverteilung bei den Ameisen interpretieren?

c) Berechnen Sie, zum Beispiel mithilfe eines Taschenrechners, die Anteile der drei Merkmale nach 2,...,10 Zyklen, wieder ausgehend von einer Gleichverteilung. Was fällt auf?

d) Welche Anfangsverteilung der Merkmale ändert sich nach einem Zyklus nicht?

a)

Soweit ich weiß wird eine Matrix stochastisch genannt, wenn sie die foglenden drei Bedingungen erfüllt

- sie muss quadratisch sein

- Die Werte der Koeffizienten der Matrix müssen zwischen oder gleich 0 und 1 sein

- die Spaltensumme (betrag der Spaltenvektoren) muss 1 sein.

Aber ich weiß nicht wieso diese Matrix stochastisch heißt. Außerdem kann ich die letzten beiden bedingungen auch nicht nachvollziehen.Wieso muss die Spaltensumme 1 oder die Kooeffizientenwerte der Matrix zwischen oder gleich 0 und 1 betragen?

Kann jemand vielleicht eine ordentliche Definition schreiben?

        
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 So 26.06.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> In einer Population von Ameisen kann man Individuen mit
> drei verschiedenen Merkmalen [mm]m_1, m_2[/mm] und [mm]m_3[/mm]
> unterscheiden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Merkmal [mm]m_j[/mm]
> bei einem Fortpflanzungszyklus
>  auf das Merkmal [mm]m_i[/mm] übergeht, wird mit [mm]p_{ij}[/mm] bezeichnet.
> Konkret seien diese in der “stochastischen Matrix”
>  
> [mm]P=(p_{ij})=\pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 }[/mm]
>  
> zusammengefasst.
>  
> a) Recherchieren Sie und erklären Sie dann, wann und warum
> eine Matrix “stochastisch” genannt wird.
>  
> b) Wie groß ist der Anteil der drei Merkmale nach einem
> Ameisen-Fortpflanzungszyklus, wenn ursprünglich eine
> Gleichverteilung vorgelegen hat? Wie muss man das
> bezüglich der Merkmalsverteilung bei den Ameisen
> interpretieren?
>  
> c) Berechnen Sie, zum Beispiel mithilfe eines
> Taschenrechners, die Anteile der drei Merkmale nach
> 2,...,10 Zyklen, wieder ausgehend von einer
> Gleichverteilung. Was fällt auf?
>  
> d) Welche Anfangsverteilung der Merkmale ändert sich nach
> einem Zyklus nicht?
>  a)
>  
> Soweit ich weiß wird eine Matrix stochastisch genannt,
> wenn sie die foglenden drei Bedingungen erfüllt
>  
> - sie muss quadratisch sein
>  
> - Die Werte der Koeffizienten der Matrix müssen zwischen
> oder gleich 0 und 1 sein
>  
> - die Spaltensumme (betrag der Spaltenvektoren)    [haee]

Vorsicht: die Spaltensumme ist nicht dasselbe wie der
Betrag des Spaltenvektors !

> muss 1 sein.

  

> Aber ich weiß nicht wieso diese Matrix stochastisch
> heißt. Außerdem kann ich die letzten beiden bedingungen
> auch nicht nachvollziehen.Wieso muss die Spaltensumme 1
> oder die Kooeffizientenwerte der Matrix zwischen oder
> gleich 0 und 1 betragen?

Bei den einzelnen Elementen  [mm] p_{ij} [/mm] einer stochastischen
oder Übergangs-Matrix um Wahrscheinlichkeiten, deshalb
müssen alle diese Werte im Intervall  [0 ... 1]  liegen.

Jede Spaltensumme muss eins ergeben, weil die Summe
der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Zustände des
Systems stets gleich 1 betragen muss und also bei jedem
stochastischen Schritt erhalten bleibt. Voraussetzung dazu
ist, dass die Matrix den stochastischen Vorgang vollständig
beschreibt. Geht es da z.B. um Individuen, die auch sterben
können, so müssen auch die toten Exemplare in einer Klasse
erfasst werden, damit die "Gesamtbilanz" stimmt.


LG  ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Mo 27.06.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

die stochastische Matrix ist:

$ [mm] P=(p_{ij})=\pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 } [/mm] $

Was sagt jetzt die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{11}=0,7 [/mm] aus?

Gilt hier das foglende Bild?

[Dateianhang nicht öffentlich]

Die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{11}=0,7 [/mm] sagt dann aus, dass die Ameise mit dem Merkmal [mm] m_1 [/mm] bleibt bei einer Fortpflanzung mit der Wahrscheinlichkeit von 70 Prozent immernoch bei seinem alten merkmal [mm] m_1 [/mm]

habe ich das richtig verstanden?


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:01 Di 28.06.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> die stochastische Matrix ist:
>  
> [mm]P=(p_{ij})=\pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 }[/mm]
>  
> Was sagt jetzt die Wahrscheinlichkeit [mm]p_{11}=0,7[/mm] aus?
>  
> Gilt hier das foglende Bild?
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Die Wahrscheinlichkeit [mm]p_{11}=0,7[/mm] sagt dann aus, dass die
> Ameise mit dem Merkmal [mm]m_1[/mm] bleibt bei einer Fortpflanzung
> mit der Wahrscheinlichkeit von 70 Prozent immernoch bei
> seinem alten merkmal [mm]m_1[/mm]
>  
> habe ich das richtig verstanden?

Ja

FRED

>  


Bezug
                                
Bezug
Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Di 28.06.2016
Autor: Rebellismus

Ich habe noch eine trivale Frage. Woher weiß ich das nicht das foglende Bild gilt? (ich habe im vergleich zum letzten Bild bei den zeilen das [mm] m_1 [/mm] mit [mm] m_2 [/mm] vertauscht)

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mi 29.06.2016
Autor: hippias

Es ist doch nach Definition [mm] $p_{i,j}$ [/mm] die Wahrscheinlichkeit für den Übergang von Mermal [mm] $m_{i}$ [/mm] zu Merkmal [mm] $m_{j}$. [/mm] Gegeben ist z.B. eine Wahrscheinlichkeit für den Übergang [mm] $m_{1}$ [/mm] zu [mm] $m_{1}$ [/mm] von $0,7$; deshalb kannst Du nicht einfach diese Wahrscheinlichkeit für den Übergang von [mm] $m_{1}$ [/mm] zu [mm] $m_{2}$ [/mm] nehmen.

Bezug
                        
Bezug
Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Fr 01.07.2016
Autor: Rebellismus


>  
> Die Wahrscheinlichkeit [mm]p_{11}=0,7[/mm] sagt dann aus, dass die
> Ameise mit dem Merkmal [mm]m_1[/mm] bleibt bei einer Fortpflanzung
> mit der Wahrscheinlichkeit von 70 Prozent immernoch bei
> seinem alten merkmal [mm]m_1[/mm]

Sagt die Wahrtscheinlichkeit [mm] p_{12}=0,4 [/mm] aus dass eine Ameise mit dem Merkmal [mm]m_1[/mm] bei einer Fortpflanzung mit der Wahrscheinlichkeit von 40 Prozent in das merkmal [mm] m_2 [/mm] übergeht oder ist das genau andersherum (Übergang von [mm] m_2 [/mm] in [mm] m_1) [/mm] ?

Bezug
                                
Bezug
Stochastische Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:11 Sa 02.07.2016
Autor: Rebellismus

auch wenn die Frage gleich fällig ist, bin ich weiterhin an einer antwort interessiert.

Bezug
                                
Bezug
Stochastische Matrizen: Index-Reihenfolge beachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Sa 02.07.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Sagt die Wahrtscheinlichkeit [mm]p_{12}=0,4[/mm] aus dass eine
> Ameise mit dem Merkmal [mm]m_1[/mm] bei einer Fortpflanzung mit der
> Wahrscheinlichkeit von 40 Prozent in das merkmal [mm]m_2[/mm]
> übergeht oder ist das genau andersherum (Übergang von [mm]m_2[/mm]
> in [mm]m_1)[/mm] ?


Schau dir die Definition (in der Aufgabenstellung) an:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Merkmal $ [mm] m_j [/mm] $ bei einem
Fortpflanzungszyklus auf das Merkmal $ [mm] m_i [/mm] $ übergeht, wird mit
$ [mm] p_{ij} [/mm] $ bezeichnet. Konkret seien diese in der “stochastischen Matrix”


     $ [mm] P=(p_{ij})=\pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 } [/mm] $

zusammengefasst.

So ist [mm] p_{12} [/mm] = 0.4  die W'keit dafür, dass der Zustand von [mm] m_2 [/mm] zu [mm] m_1 [/mm]
übergeht.

LG  ,  Al-Chw.

Bezug
                                        
Bezug
Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:58 So 03.07.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

ich hätte dann noch eine letzte frage. Bei aufgabe b) liegt eine Gleichverteilung als Anfangverteilung vor:

[mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\\bruch{1}{3} } [/mm]

Dabei ist die erste Komponente des Vektors die Wahrscheinlichkeit von [mm] m_1, [/mm] die zweite Komponente von [mm] m_2 [/mm] und die dritte von [mm] m_3. [/mm] Also:

[mm] \vektor{W'keit \ von \ m_1 \\ W'keit \ von \ m_2 \\ W'keit \ von \ m_3 } [/mm]

Aber wieso ist das so? Hätte es nicht auch

[mm] \vektor{W'keit \ von \ m_2 \\ W'keit \ von \ m_1 \\ W'keit \ von \ m_3 } [/mm]

sein können?

Bezug
                                                
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 So 03.07.2016
Autor: M.Rex

Hallo
> Hallo,

>

> ich hätte dann noch eine letzte frage. Bei aufgabe b)
> liegt eine Gleichverteilung als Anfangverteilung vor:

>

> [mm]\vektor{\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\\bruch{1}{3} }[/mm]

>

> Dabei ist die erste Komponente des Vektors die
> Wahrscheinlichkeit von [mm]m_1,[/mm] die zweite Komponente von [mm]m_2[/mm]
> und die dritte von [mm]m_3.[/mm] Also:

>

> [mm]\vektor{W'keit \ von \ m_1 \\ W'keit \ von \ m_2 \\ W'keit \ von \ m_3 }[/mm]

>

> Aber wieso ist das so? Hätte es nicht auch

>

> [mm]\vektor{W'keit \ von \ m_2 \\ W'keit \ von \ m_1 \\ W'keit \ von \ m_3 }[/mm]

>

> sein können?

Nein, sonst würden die Einträge nicht zu der Übergangsmatrix passen, und du würdest dann die falschen Merkmale "in die Übergänge schicken"

Marius

Bezug
                                                
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 So 03.07.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> ich hätte dann noch eine letzte frage. Bei aufgabe b)
> liegt eine Gleichverteilung als Anfangverteilung vor:
>  
> [mm]\vektor{\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\\bruch{1}{3} }[/mm]
>  
> Dabei ist die erste Komponente des Vektors die
> Wahrscheinlichkeit von [mm]m_1,[/mm] die zweite Komponente von [mm]m_2[/mm]
> und die dritte von [mm]m_3.[/mm] Also:
>  
> [mm]\vektor{W'keit \ von \ m_1 \\ W'keit \ von \ m_2 \\ W'keit \ von \ m_3 }[/mm]
>  
> Aber wieso ist das so? Hätte es nicht auch
>
> [mm]\vektor{W'keit \ von \ m_2 \\ W'keit \ von \ m_1 \\ W'keit \ von \ m_3 }[/mm]
>  
> sein können?


Für den ersten Schritt, ausgehend von der Gleichverteilung,
spielt es natürlich keine Rolle, weil da ja eben [mm] m_1=m_2=m_3 [/mm]  ist.
Für die weiteren Berechnungen ist es aber sehr wohl
wichtig, die einmal gewählten Bezeichnungen durchzuziehen -
andernfalls würde doch die gesamte Beschreibung durch eine
Übergangsmatrix sinnlos.

LG ,  Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Stochastische Matrizen: aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Di 28.06.2016
Autor: Rebellismus

Ich verstehe aufgabe b) nicht. Bei einer Gleichverteilung muss ich doch die foglende Matrix betrachten

[mm] P=(p_{ij})=\pmat{ 0,\overline{33} & 0,\overline{33}& 0,\overline{33} \\ 0,\overline{33} & 0,\overline{33}& 0,\overline{33}\\ 0,\overline{33} & 0,\overline{33}& 0,\overline{33} } [/mm]

oder? Was ist jetzt mit der Frage "Wie groß ist der Anteil der drei Merkmale nach einem Ameisen-Fortpflanzungszyklus"? gemeint?

Bezug
                
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Mi 29.06.2016
Autor: hippias


> Ich verstehe aufgabe b) nicht. Bei einer Gleichverteilung
> muss ich doch die foglende Matrix betrachten
>  
> [mm]P=(p_{ij})=\pmat{ 0,\overline{33} & 0,\overline{33}& 0,\overline{33} \\ 0,\overline{33} & 0,\overline{33}& 0,\overline{33}\\ 0,\overline{33} & 0,\overline{33}& 0,\overline{33} }[/mm]
>  
> oder?

Hier bedeutet Gleichverteilung, dass die $3$ Merkmale gleichhäufig bzw. gleichwahrscheinlich auftreten; die Übergangsmatrix wird nicht geändert.

> Was ist jetzt mit der Frage "Wie groß ist der Anteil
> der drei Merkmale nach einem Ameisen-Fortpflanzungszyklus"?
> gemeint?

Es soll die Verteilung der Ameisenmerkmale in der folgenden Generation berechnet werden, ausgehend von der oben beschriebenen Gleichverteilung der Merkmale.

Bezug
                
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Mi 29.06.2016
Autor: HJKweseleit

Nein. Die Matrix gibt nur die Übergänge von einem Zustand in den zeitlich nächsten an.

Die Zustände selber sind in dem jeweiligen 'Spaltenvektor gespeichert.

Gleichverteilter Anfangszustand heißt somit: [mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}}. [/mm]

Nun multiplizierst du die Matrix damit und bekommst den nächsten Zustand. Durch Vergleich des Ausgangs- mit dem Folgezustand kannst du z.B. sagen: "Es wird nie eine Gleichverteilung geben, die länger als einen zustand dauert."

Bezug
                        
Bezug
Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mi 29.06.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

ich bin immer noch verwirrt.

> Gleichverteilter Anfangszustand heißt somit:
> [mm]\vektor{\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}}.[/mm]

bin mir nicht sicher wie du auf diesen Vektor kommst. Muss der Spaltensumme eins ergeben bei diesem Vektor?


> Nun multiplizierst du die Matrix damit und bekommst den
> nächsten Zustand.

Was bringt mir die Multiplikation bzw. was sagt das Ergebnis aus?
Ganz dumm gefragt: wieso wird hier multiliziert und nicht zum beispiel addiert?

> Durch Vergleich des Ausgangs- mit dem
> Folgezustand kannst du z.B. sagen: "Es wird nie eine
> Gleichverteilung geben, die länger als einen zustand
> dauert."

Verstehe ich nicht. Was heißt "länger als einen Zustand dauern"? Willst du damit sagen dass nach dem Anfangszustand keine Gleichverteilung vorliegt?

Bezug
                                
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Mi 29.06.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> ich bin immer noch verwirrt.
>  
> > Gleichverteilter Anfangszustand heißt somit:
> > [mm]\vektor{\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}}.[/mm]
>  
> bin mir nicht sicher wie du auf diesen Vektor kommst. Muss
> der Spaltensumme eins ergeben bei diesem Vektor?

Es gibt bei diesem System insgesamt genau 3 disjunkte
Zustände. Wenn dabei "Gleichverteilung" herrscht, bedeutet
dies eben, dass jedem dieser 3 Zustände je die Wahrscheinlich-
keit  [mm] $\frac [/mm] 1 3$  zukommt.  Die Summe aller Teilwahrscheinlichkeiten
muss ja eben stets 1 betragen. Weil es genau drei gleich große
Summanden sein sollen, muss jeder davon den Wert  [mm] $\frac [/mm] 1 3$  haben.


> > Nun multiplizierst du die Matrix damit und bekommst den
> > nächsten Zustand.
>  
> Was bringt mir die Multiplikation bzw. was sagt das
> Ergebnis aus?
> Ganz dumm gefragt: wieso wird hier multipliziert und nicht
> zum beispiel addiert?

Ganz simpel beantwortet:  Die wichtigste und zentrale
Operation einer Matrix, wobei die Matrix einen Vektor
transformiert, ist eben eine (auf ganz bestimmte Weise
definierte) "Multiplikation". Deine Frage zeigt aber, dass
du offenbar den Grund dafür noch nicht richtig verstanden
hast. Du solltest also versuchen, dies (beispielsweise
gerade für die vorliegende Situation) für dich im Detail
aufzudröseln, etwa durch die Bearbeitung folgender Frage:
Der aktuelle Zustand sei durch den Vektor  [mm] $\pmat{0.2\\0.5\\0.3}$ [/mm] beschrieben.
Mach dir klar, was dies genau bedeutet.
Dann hast du die Übergangswahrscheinlichkeiten, die in der
Übergangsmatrix aufgelistet sind. Was bedeuten diese 9 Zahlen genau ?
Welche dieser 9 Zahlen brauchst du, um aus dem aktuellen
Vektor denjenigen zum nächsten diskreten Zeitpunkt zu
berechnen? Wie verläuft diese Berechnung genau, und warum ?
(Dies ist nur Anwendung von bedingten Wahrscheinlichkeiten !).

  

> > Durch Vergleich des Ausgangs- mit dem
> > Folgezustand kannst du z.B. sagen: "Es wird nie eine
> > Gleichverteilung geben, die länger als einen zustand
> > dauert."
>
> Verstehe ich nicht. Was heißt "länger als einen Zustand
> dauern"? Willst du damit sagen dass nach dem Anfangszustand
> keine Gleichverteilung vorliegt?

Das wird nicht behauptet. Aber: in einer stochastischen Betrachtung
wie der vorliegenden wird ja der Zustand eines Systems nur in
aufeinander folgenden diskreten Schritten betrachtet. Man kann
sich dazu eine Zeitskala vorstellen, bei der die Zeit wie bei
einer alten mechanischen "Tick-Tack" Uhr nur die ganzzahligen
Werte 0,1,2,3,4, .....  durchläuft.  Nun sollst du dir nur klar
machen, dass der Zustand "Gleichverteilung" jeweils nur einen
"Tick" lang bestehen kann. Vorerst wäre dabei nicht ausge-
schlossen, dass bei irgendeinem späteren Tick nochmals
Gleichverteilung auftreten könnte, aber dann auch gleich
wieder in ein Ungleichgewicht übergehen müsste.

LG  ,    Al-Chw.

Bezug
                                        
Bezug
Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Mi 29.06.2016
Autor: Rebellismus


>  Der aktuelle Zustand sei durch den Vektor  
> [mm]\pmat{0.2\\0.5\\0.3}[/mm] beschrieben.
>  Mach dir klar, was dies genau bedeutet.
>  Dann hast du die Übergangswahrscheinlichkeiten, die in
> der
>  Übergangsmatrix aufgelistet sind. Was bedeuten diese 9
> Zahlen genau ?

die 9 zahlen beschreiben die Wahrscheinlichkeit, die ein Markmal nach einem Fortpflanzungszyklus in ein anderes merkmal übergeht


>  Welche 3 dieser 9 Zahlen brauchst du, um aus dem
> aktuellen
>  Vektor denjenigen zum nächsten diskreten Zeitpunkt zu
>  berechnen? Wie verläuft diese Berechnung genau, und warum
> ?

ich glaube diese frage verstehe ich nicht. Um den nächsten Zustand zu bekommen, muss ich doch die Matrix mit dem vektor [mm]\pmat{0.2\\0.5\\0.3}[/mm] multiplizieren. Dafür brauche ich doch alle 9 zahlen und nicht nur 3 oder habe ich die Frage falsch verstanden?


Bezug
                                                
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Mi 29.06.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> >  Der aktuelle Zustand sei durch den Vektor  

> > [mm]\pmat{0.2\\0.5\\0.3}[/mm] beschrieben.
>  >  Mach dir klar, was dies genau bedeutet.
>  >  Dann hast du die Übergangswahrscheinlichkeiten, die in
> > der
>  >  Übergangsmatrix aufgelistet sind. Was bedeuten diese 9
> > Zahlen genau ?
>  
> die 9 zahlen beschreiben die Wahrscheinlichkeit, die ein
> Markmal nach einem Fortpflanzungszyklus in ein anderes
> merkmal übergeht
>  
>
> >  Welche 3 dieser 9 Zahlen brauchst du, um aus dem

> > aktuellen
>  >  Vektor denjenigen zum nächsten diskreten Zeitpunkt zu
>  >  berechnen? Wie verläuft diese Berechnung genau, und
> warum
> > ?
>  
> ich glaube diese frage verstehe ich nicht. Um den nächsten
> Zustand zu bekommen, muss ich doch die Matrix mit dem
> vektor [mm]\pmat{0.2\\0.5\\0.3}[/mm] multiplizieren. Dafür brauche
> ich doch alle 9 zahlen und nicht nur 3 oder habe ich die
> Frage falsch verstanden?

Ja, da hast du Recht. Man braucht alle 9 Werte. Diesen Fehler in
meiner Antwort habe ich gerade korrigiert.
Mach dir aber bitte klar, weshalb genau etwa so gerechnet
werden muss:

    $\ [mm] p_2_{\ neu}\ [/mm] =\ [mm] p_{21}*p_1\ [/mm] +\ [mm] p_{22}*p_2\ [/mm] +\ [mm] p_{23}*p_3$ [/mm]

Beachte dabei die genaue Definition der [mm] p_{ij}: [/mm]

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Merkmal $ [mm] m_j [/mm] $ bei einem Fortpflanzungszyklus
auf das Merkmal $ [mm] m_i [/mm] $ übergeht, wird mit $ [mm] p_{ij} [/mm] $ bezeichnet.


LG ,   Al-Chw.




      

Bezug
                        
Bezug
Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mi 29.06.2016
Autor: Rebellismus

Ehrlich gesagt verstehe ich den folgenden satz immer noch nicht
> Durch Vergleich des Ausgangs- mit dem
> Folgezustand kannst du z.B. sagen: "Es wird nie eine
> Gleichverteilung geben, die länger als einen zustand
> dauert."

Kann ich stattdessen sagen:

Aus einer ursprünglichen Gleichverteilung der merkmale ergibt sich nach EINEM Fortflanszyklus keine erneute Gleichverteilung. Die Merkmale sind unterschiedlich stark vertreten.

Kann ich das so sagen?

Bezug
                                
Bezug
Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Mi 29.06.2016
Autor: Al-Chwarizmi


>  Ehrlich gesagt verstehe ich den folgenden satz immer noch
> nicht
> > Durch Vergleich des Ausgangs- mit dem
> > Folgezustand kannst du z.B. sagen: "Es wird nie eine
> > Gleichverteilung geben, die länger als einen zustand
> > dauert."
>
> Kann ich stattdessen sagen:
>  
> Aus einer ursprünglichen Gleichverteilung der merkmale
> ergibt sich nach EINEM Fortflanszyklus keine erneute
> Gleichverteilung. Die Merkmale sind unterschiedlich stark
> vertreten.
>  
> Kann ich das so sagen?


Wenn du magst, ja. Jeder, der die unkonventionelle
Schreibweise (z.B.  "Fortflanszyklus" ) akzeptiert, wird
einverstanden sein.

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Stochastische Matrizen: aufgabe c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Do 30.06.2016
Autor: Rebellismus

c)

Ich habe mal 4 zyklen nachgerechnet (ich hoffe man muss nicht wirklich 10 Zyklen nachrechnen):

1. Zyklus:

[mm] \pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 }*\vektor{\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} }=\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{4}{15} \\ \bruch{7}{30}} [/mm]

2. Zyklus:

[mm] \pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 }*\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{4}{15} \\ \bruch{7}{30}}=\vektor{0,55 \\ 0,23 \\ 0,22} [/mm]

3. Zyklus:

[mm] \pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 }*\vektor{0,55 \\ 0,23 \\ 0,22}=\vektor{0,565 \\ 0,214 \\ 0,221} [/mm]

4. Zyklus

[mm] \pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 }*\vektor{0,565 \\ 0,214 \\ 0,221}=\vektor{0,5695 \\ 0,2072 \\ 0,2228} [/mm]


Das einzige was mir auffällt ist, dass die erste Kompentente des Vektors (wahrscheinlichkeit von Merkmal [mm] m_1) [/mm] größter wird und die anderen zwei kompenente kleiner.

Das heißt mit jedem weiteren Zyklus gibt es immer mehr Amasein mit dem Merkmal [mm] m_1 [/mm]

kann man das so sagen? ist die Lösung überhaupt richtig?

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Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Do 30.06.2016
Autor: HJKweseleit

Ja, richtig. Kleine Rundungsfehler sorgen dafür, dass nun nicht mehr exakt als Summe 1 herauskommt, aber das macht nichts.

Gib nun mal als Startvektor [mm] \vektor{28 \\ 10 \\ 11} [/mm] ein (und damit ist auch deine Frage beantwortet, ob die Zahlen nicht beliebig sein können. Bei Ameisen können es ja nur ganze Zahlen sein, bei Kommazahlen musst du dir also das Ganze als Anteile vorstellen, wie z.B. bei Flüssigkeiten).

Diesen Zustand nennt man stationär.

Starte mal die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] mit [mm] \vektor{28 \\ 10 \\ 11}. [/mm] Wende die Matrix noch 2 mal auf das jeweilige Ergebnis an. Diesen Ablauf nennt man zyklisch.

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Stochastische Matrizen: aufg. d)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Fr 01.07.2016
Autor: Rebellismus

Also wenn ich aufgabe d) richtig verstanden habe, soll ich eine Anfangsverteilung [mm] \vec{a}=\vektor{x \\ y\\ z} [/mm] finden, sodass die folgende Gleichung gilt:


[mm] \pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 }*\vec{a}=\vec{a} [/mm]

dieses gleichungssystem ist nur lösbar, wenn es gilt: x=y=z=0

Da aber die Spaltensumme für diese Werte nicht 1 ist, gibt es keine Anfangsverteilung der Merkmale die sich nach einem Zyklus nicht ändert?

habe ich die aufgabe richtig verstanden und ist die Lösung richtig?

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Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Fr 01.07.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Also wenn ich aufgabe d) richtig verstanden habe, soll ich
> eine Anfangsverteilung [mm]\vec{a}=\vektor{x \\ y\\ z}[/mm] finden,
> sodass die folgende Gleichung gilt:

>
>

> [mm]\pmat{ 0,7 & 0,4& 0,4 \\ 0,1 & 0,5& 0,2\\ 0,2 & 0,1& 0,4 }*\vec{a}=\vec{a}[/mm]

So ist es.

>

> dieses gleichungssystem ist nur lösbar, wenn es gilt:
> x=y=z=0

Sicher? Ich habe es nicht nachgerechnet, aber es kann sein, dass es noch andere Vektoren [mm] \vec{a}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] gbt, die die Bedingung erfüllen.

Wenn auch noch die Bedingung x+y+z (für eine Verteilung) gilt, hast du evtl eine andere Lösung

Das müsstest du mal nachrechnen, also das folgende LGS lösen:
[mm] \vmatrix{0,7x+0,4y+0,4z=x\\0,1x+0,5y+0,2z=y\\0,2x+0,1y+0,4z=z\\x+y+z=1} [/mm]

>

> Da aber die Spaltensumme für diese Werte nicht 1 ist, gibt
> es keine Anfangsverteilung der Merkmale die sich nach einem
> Zyklus nicht ändert?

>

> habe ich die aufgabe richtig verstanden und ist die Lösung
> richtig?


Es fehlte noch ein bisschen.

Marius

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Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 Fr 01.07.2016
Autor: Rebellismus

okey ich komme jetzt auf die Lösung

[mm] \vec{a}=\vektor{\bruch{4}{7} \\ \bruch{10}{49}\\ \bruch{11}{49}} [/mm]

Ich habe aber noch eine ganz trivale frage (die ich mich eigentlich schon seit längeren stelle). Ich habe 4 Gleichungen und 3 unbekannte:

Gleichung 1: 0,7x+0,4y+0,4z=x

Gleichung 2: 0,1x+0,5y+0,2z=y

Gleichung 3: 0,2x+0,1y+0,4z=z

Gleichung 4: x+y+z=1

Aus Gleichung 4 folgt:

x=1-(x+y)

Dies in Gleichung 2 eingesetzt, ergibt:

z=6y-1

Ich dachte jetzt es wäre clever die Gleichung x=1-(x+y) und z=6y-1 in einfachste Gleichung, nämlich Gleichung 4, einzusetzen um y zu bestimmen. Ich komme aber dann auf eine falsche Lösung. Kann mir einer erklären wieso?

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Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Fr 01.07.2016
Autor: Steffi21

Hallo

du hast die Gleichungen:

(1)   -0,3x+0,4y+0,4z=0
(2)    0,1x-0,5y+0,2z=0
(3)    0,2x+0,1y-0,6z=0
(4)             x+y+z=1

betrachte zunächst Gleichungen (1) bis (3), mache Gauß-Algorithmus

[mm] \pmat{ -0,3 & 0,4 & 0,4 & 0 \\ 0,1 & -0,5 & 0,2 & 0 \\ 0,2 & 0,1 & -0,6 & 0 } [/mm]

bilde neue 2. Zeile: Zeile 1 plus 3 mal Zeile 2
bilde neue 3. Zeile: -2 mal Zeile 1 minus 3 mal Zeile 3

[mm] \pmat{ -0,3 & 0,4 & 0,4 & 0 \\ 0 & -1,1 & 1 & 0 \\ 0 & -1,1 & 1 & 0 } [/mm]

ergibt

[mm] \pmat{ -0,3 & 0,4 & 0,4 & 0 \\ 0 & -1,1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

setze

z=p wobei p ein frei wählbarer Parameter ist

[mm] y=\bruch{10}{11}p [/mm]

[mm] x=\bruch{28}{11}p [/mm]

schöner, weil ohne Brüche

z=11p

y=10p

x=28p

damit gehst Du in Gleichung (4)

28p+10p+11p=1

49p=1

somit ist Dein frei wählbarer Parameter [mm] p=\bruch{1}{49} [/mm]

Dein Gleichungssystem hat also die Lösung

[mm] x=\bruch{28}{49} [/mm]

[mm] y=\bruch{10}{49} [/mm]

[mm] z=\bruch{11}{49} [/mm]

mache für Dich noch die Probe(n)

Steffi


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Stochastische Matrizen: Zusatz zu Steffis Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Fr 01.07.2016
Autor: HJKweseleit

Schau dir anschließend noch mal die Beispiele aus meinem letzten Beitrag (30.06.) an...

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Stochastische Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Fr 01.07.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

du hast leider meine Frage nicht richtig verstanden. Ich habe das Gleichungssystem bereits selbst richtig gelöst. Ich hatte aber eine frage zu einem anderen Vorgehen das zur Falschen Lösung führt. und ich wollte wissen wieso es falsch ist. (Denn diese Frage habe ich mich schon immer beim Lösen von Gleichungssystemen gestellt)

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Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Sa 02.07.2016
Autor: Steffi21

Hallo, Du möchtest das Gleichungssystem also "klassisch" lösen, sage ich Dir den Fehler

du hast die Gleichungen:

(1)   -0,3x+0,4y+0,4z=0
(2)    0,1x-0,5y+0,2z=0
(3)    0,2x+0,1y-0,6z=0
(4)             x+y+z=1


(4')  x=1-y-z

(4') in (2) einsetzen z=6y-1

z=6y-1 in (4') einsetzen

x=1-y-6y+1
x=2-7y

x=2-7y und z=6y-1 in (1) einsetzen

-0,3(2-7y)+0,4y+0,4(6y-1)=0

-0,6+2,1y+0,4y+2,4y-0,4=0

-1+4,9y=0

49y=10

[mm] y=\bruch{10}{49} [/mm]

jetzt sollte x und z kein Problem sein

Steffi

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Stochastische Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Sa 02.07.2016
Autor: Rebellismus

Hallo, du hast meine frage leider wieder falsch verstanden. Du löst ständig das gleichungssystem, aber darum geht es mir nicht.

> Hallo, Du möchtest das Gleichungssystem also "klassisch" lösen

nein ich habe das Gleichugnssystem bereits klassisch gelöst. Ich habe mir eine alternativ rechenweg überlegt, aber sie ist keine alternative, weil sie nicht zur Lösung führt und ich möchte wissen wieso.

Ich versuch nochmal mein problem zu erklären:

Gegeben sind die Gleichungen


(1)   -0,3x+0,4y+0,4z=0
(2)    0,1x-0,5y+0,2z=0
(3)    0,2x+0,1y-0,6z=0
(4)             x+y+z=1


(4')  x=1-y-z

(4') in (2) einsetzen (2') z=6y-1

so jetzt möchte ich nur wissen wieso die nachfolgende Rechnung falsch (bzw. bringt mir nix) ist. Bitte mir nicht erklären wie man es richtig löst. Denn ich weiß wie man es richtig löst.

(4') und (2') in (4) einsetzen, ergibt:

0=0

ich komme so auf keine Lösung, wieso?

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Stochastische Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 So 03.07.2016
Autor: HJKweseleit

Das liegt an Folgendem:

Du glaubst, dass es eine Lösung für ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten gibt, wenn man 3 verschiedene lineare Gleichungen hat.

Das ist aber falsch.

Beispiel (ein ganz blödes, das aber zeigt, worum es geht):

x+y+z=4
2x+2y+2z=8
3x+3y+3z=12

3 Gleichungen, 3 Unbekannte.

Wenn du jetzt von der 2. Gleichung 2 mal die erste abziehst, kommt 0=0 heraus. Ebenso, wenn du von der 3. 3 mal die erste abziehst.

Tatsächlich habe ich die 1. Gleichung nur mit 2 bzw. 3 multipliziert und so die 2. und 3. Gleichung gebildet. Die beiden letzten Gleichungen beinhalten also gar keine Information, die über die 1. Gleichung hinausgeht. Es ist so, als hätte ich dir nur die 1. hingeschrieben.

Trotzdem gibt es (hier: unendlich-viele) Lösungen, aber nicht beliebige. Stellt man die 1.  Gleichung nach z um, so erhält man

z=4-x-y.

Alle Kombinationen mit dieser Eigenschaft sind also Lösungen, z.B. x = -5, y = 3 und z = 6.

Nehmen wir folgendes Gleichungssystem:

x+y+z=4
x-y+z=8
3x-y+3z=20

Die untere Gleichung habe ich gebildet, indem ich zur ersten 2 mal die 2. addiert habe. Damit enthält sie also keine zusätzliche Information.

Aus den oberen beiden Gleichungen folgt durch Subtraktion:
2 y = -4, also y = -2.
Eingesetzt in die obere: x+z=6
Eingesetzt in die zweite: x+z=6
Eingesetzt in die dritte: 3x+3z=18, also x+z=6

Ziehe ich nun bei den letzten 3 Gleichungen eine von der anderen ab, so erhalte ich 0=0. Das ist immer richtig und besagt nur, dass eine von beiden Gleichungen überflüssig ist, weil sie keine Information erhält. Trotzdem bleiben aber hier noch 2 Gleichungen übrig:

y = -2
z = 6 - x
x beliebig.





Nun zu deinem Problem:

>  
> Gegeben sind die Gleichungen
>  
>
> (1)   -0,3x+0,4y+0,4z=0
>  (2)    0,1x-0,5y+0,2z=0
>  (3)    0,2x+0,1y-0,6z=0
>  (4)             x+y+z=1

Hier hast du sogar 4 Gleichungen bei nur 3 Unbekannten. Das bedeutet:

Eine der Gleichungen ist "zuviel": Entweder ist sie eine Kombination aus schon 3 anderen, oder sie widerspricht sogar den anderen (Beispiel hierfür: Eine Gleichung heißt x+y+z=4, die andere 2x+2y+2z=6 statt 8).


Wenn du (1) und (2) addierst, erhältst du

(1)   -0,3x+0,4y+0,4z=0
(2)    0,1x-0,5y+0,2z=0
(3a)  -0,2x-0,1y+0,6z=0 und das ist -(3).

Das bedeutet, dass (3) gar keine neue Information enthält aber auch zu keinem Widerspruch führt.

Damit ist dein Problem aber immer noch nicht gelöst.


>  
>
> (4')  x=1-y-z
>  
> (4') in (2) einsetzen (2') z=6y-1
>
> so jetzt möchte ich nur wissen wieso die nachfolgende
> Rechnung falsch (bzw. bringt mir nix) ist. Bitte mir nicht
> erklären wie man es richtig löst. Denn ich weiß wie man
> es richtig löst.
>  
> (4') und (2') in (4) einsetzen, ergibt:

Das "darfst" du nicht. Deine bisherige Teillösung benutzt nur die Gleichungen (2) und (4), und wenn du nur bei diesen beiden Gleichungen bleibst, fehlt dir eine weitere Information, und du kommst nicht weiter. Du hast zwar die 3 Gleichungen (4'), (2') und (4), aber tatsächlich ist mindestens eine davon eine Kombination der beiden anderen, so dass du eigentlich nur mit maximal 2 Glechungen arbeitest. Hierzu wieder ein primitives Beispiel:


x=1
x+y=3
x+y+z=6

also x=1, y=2, z=3, wie man sofort im Kopf feststellt.

Setzt du die 1. in die 2. ein, erhältst du y=3-x=2.
Setzt du nun das und die 1. in die 2.(!!!) wieder ein, erhältst du 1+2=3 und daraus 0=0 und kommst nicht weiter.


>  
> 0=0
>  
> ich komme so auf keine Lösung, wieso?

Weil du auch mal eine weitere Gleichung benutzen musst!


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