Tangente an Kreis < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:56 Mo 15.01.2007 | | Autor: | VivaColonia |
Hallo!
Ich hab mal eine Frage:
Gegeben ist die Kreisgleichung [mm] (x+1)^2 [/mm] + [mm] (y+2)^2=0
[/mm]
sowie y= m*x + 1
Nun soll ich bestimmen für welches m die Gerade eine Tangente an den Kreis ist. Ich habe es bereits mit Einsetzen versucht, aber irgendwie bringt mich das nicht weiter.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
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Hallo,
versuch es doch nochmal mit dem Einsetzen: Ersetze in der Kreisgleichung y durch m*x+1.
Wenn du nun alles in die pq-Formel einsetzt, willst du ja jeweils nur eine Lösung als Schnittpunkt, denn eine Tangente berührt den Kreis nur in einem Punkt. Also muss der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante) 0 sein.
Suche also ein m, für das die Diskriminante 0 ist.
Gruß
Martin
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So, habe deine Rat jetzt befolgt und das ganze nochmal einegestzt.
Nun erhalte ich als Term:
[mm] (m+1)*x^2 [/mm] + (6m+2)*x +10=0
Jetzt frage ich mich natürlich ob der Term überhaupt korrekt ist.
Und wenn ja, wie setze ich ihn dann in die p,q Formel ein???
Ich müsste ja dann noch durch (m+1) teilen um auf die Form:
[mm] x^2+px+q=0 [/mm] zu kommen
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> So, habe deine Rat jetzt befolgt und das ganze nochmal
> einegestzt.
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> Nun erhalte ich als Term:
>
> [mm](m+1)*x^2[/mm] + (6m+2)*x +10=0
>
> Jetzt frage ich mich natürlich ob der Term überhaupt
> korrekt ist.
> Und wenn ja, wie setze ich ihn dann in die p,q Formel
> ein???
> Ich müsste ja dann noch durch (m+1) teilen um auf die
> Form:
>
> [mm]x^2+px+q=0[/mm] zu kommen
[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Genau das musst du tun. Warum also nicht einfach mal drauflosrechnen, keine Angst vor Variablen.}$;-)
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Aber prüf' noch mal deine Rechnung nach, du hast ein hoch 2 vernachlässigt.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \left(m^2+1\right)x^2+\left(6m+2\right)x+10=0 \gdw x^2+\bruch{6m+2}{m^2+1}x+\bruch{10}{m^2+1}=0 \gdw x_{1;2}=-\bruch{3m+1}{m^2+1}\pm\wurzel{\bruch{\left(3m+1\right)^2}{\left(m^2+1\right)^2}-\bruch{10}{m^2+1}}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Schaffst du den Rest alleine?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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Hm, ganz alleine schaffe ich es irgendwie nicht.
Habe jetzt den Term unter der Wurzel gleich 0 gesetzt und versucht das ganze aufzulösen. Erhalte dann den Term [mm] 6m^3+5m^2+6m=0
[/mm]
Zweifle aber stark an der Richtigkeit dieses Ergebnisses.
Wäre nett, wenn mir nochmal helfen könntest.
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> Hm, ganz alleine schaffe ich es irgendwie nicht.
>
> Habe jetzt den Term unter der Wurzel gleich 0 gesetzt und
> versucht das ganze aufzulösen. Erhalte dann den Term
> [mm]6m^3+5m^2+6m=0[/mm]
>
> Zweifle aber stark an der Richtigkeit dieses Ergebnisses.
> Wäre nett, wenn mir nochmal helfen könntest.
[mm] $\rmfamily \text{Ist nicht korrekt, zeig' doch mal deine Rechenschritte!}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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Also:
[mm] (3m+1)^2/ (m^2+1)^2 [/mm] = [mm] 10/m^2+1
[/mm]
dann hab ich die quadratischen Terme aufgelöst:
[mm] 9m^2+6m+1/ m^4+ 2m^2+1 [/mm] = [mm] 10/m^2+1
[/mm]
dann hab ich auf beiden Seiten [mm] (m^2+1) [/mm] multipliziert:
[mm] 9m^4 [/mm] + [mm] 6m^3 +10m^2 [/mm] +6m +1/ [mm] m^4 +2m^2 [/mm] +1 = 10
dann habe ich versucht zu kürzen:
9 + [mm] 6m^3 [/mm] + 6m + 11/ 3 =10
also:
[mm] 6m^3 [/mm] + 6m +20 = 30
[mm] 6m^3 [/mm] +6m =10
Naja, eine Fehler hab ich damit schon mal gefunden, falsch gekürzt.
Ist es denn jetzt richtig????
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Hallo,
du hast einige Rechenregeln nicht eingehalten, betrachten wir nur den Ausdruck unter Wurzel:
[mm] \bruch{(3m+1)^{2}}{(m^{2}+1)^{2}}-\bruch{10}{m^{2}+1} [/mm] zweiten Term erweitern wir mit [mm] m^{2}+1
[/mm]
[mm] =\bruch{(3m+1)^{2}}{(m^{2}+1)^{2}}-\bruch{10*(m^{2}+1)}{(m^{2}+1)*(m^{2}+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3m+1)^{2}}{(m^{2}+1)^{2}}-\bruch{10*(m^{2}+1)}{(m^{2}+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3m+1)^{2}-10(m^{2}+1)}{(m^{2}+1)^{2}} [/mm] ein Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist,
[mm] 0=(3m+1)^{2}-10(m^{2}+1)
[/mm]
[mm] 0=9m^{2}+6m+1-10m^{2}-10
[/mm]
[mm] 0=-m^{2}+6m-9
[/mm]
[mm] 0=m^{2}-6m+9
[/mm]
jetzt mache pq Formel, du erhälst ein wunderschönes m, dann mußt du kontrollieren, ob für m=... dein Nenner nicht Null wird, da die Division durch Null ja nicht definiert ist!!
Steffi
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Jo, vielen Dank jetzt habe ich es verstanden.
Aber noch eine Frage:
Wenn ich jetzt beispielsweise denselben Kreis gegeben habe und die zum Beispiel die Geradengleichung y= 2x + n
Kann ich das nach demselben Prinzip rechnen???
Ich kann mich erinnern, dass wir in der Schule so einen Aufgabentyp mal über die Orthogonalengleichung durch den Mittelpunkt berechnet haben.
Jetzt habe ich mal versucht das ganze durch Einsetzen und Umformen zur p,q Formel versucht. Ich schaffe es aber nicht das ganze in eine Form zu bringen, mit der ich die p,q Formel anwenden könnte...
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Hallo VivaColonia,
> Jo, vielen Dank jetzt habe ich es verstanden.
>
> Aber noch eine Frage:
>
> Wenn ich jetzt beispielsweise denselben Kreis gegeben habe
> und die zum Beispiel die Geradengleichung y= 2x + n
> Kann ich das nach demselben Prinzip rechnen???
> Ich kann mich erinnern, dass wir in der Schule so einen
> Aufgabentyp mal über die Orthogonalengleichung durch den
> Mittelpunkt berechnet haben.
> Jetzt habe ich mal versucht das ganze durch Einsetzen und
> Umformen zur p,q Formel versucht. Ich schaffe es aber nicht
> das ganze in eine Form zu bringen, mit der ich die p,q
> Formel anwenden könnte...
Vielleicht zeigst du uns mal, ws du gerechnet hast?
Hellsehen gehört nicht zu unseren Hauptkompetenzen. 
Gruß informix
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Also:
Gegeben ist Kreis: [mm] (x+1)^2 [/mm] + [mm] (y+2)^2 [/mm] =0
und: y= 2x + n
Das n für das die Gerade Tangente ist soll berechnet werden.
Nun habe ich versucht das ganze durch Einsetzen in eine Form zu bringen, mit der ich die p,q Formel anwenden kann.
Das ganze führt dann zu dem Term:
[mm] x^2+2x+1+ 4x^2+4xn+n^2 [/mm] +8x+4n+4= 0
Ich weiß nicht, wie ich diesen Term so vereinfachen kann, dass ich ihn in die p,q Formel einsetzen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Di 16.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
x²+2x+1+4x²+4xn+n²+8x+4n+4=0
[mm] \gdw [/mm] 5x²+(2+4n)x+(5+n²+4n)=0
[mm] \gdw x²+\underbrace{\bruch{2+4n}{5}}_{p}+\underbrace{\bruch{n²+4n+5}{5}}_{q}
[/mm]
Also
[mm] x_{1;2}=\bruch{2+4n}{10}\pm\wurzel{\bruch{(2+4n)²}{100}-\bruch{n²+4n+5}{5}}
[/mm]
und da es eine Tangente sein soll, also es nur eine Schnittstelle geben soll, muss gelten
[mm] \bruch{(2+4n)²}{100}-\bruch{n²+4n+5}{5}=0
[/mm]
Marius
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Vielen Dank!
Hab das ganze jetzt mal fertig gerechnet und erhalt als Ergebnis den Term
[mm] n^2 [/mm] -24n +26= 0
Ist das korrekt??
Hier noch meine Umformungen:
[mm] (2+4n)^2/100 [/mm] - [mm] 20*(n^2+4n+5)/100
[/mm]
[mm] (4+16n+16n^2 -20n^2+80n+100)/100=0 [/mm] auf beiden Seiten mal 100
[mm] n^2-24n+26=0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Di 16.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nicht ganz, du hast die Minusklammer vergessen.
4+16n+16n²-[20n²+80n+100]
=16n²+16n+4-20n²-80n-100
=-4n²-64n-96
=n²+16n+24
Und jetzt mit der p-q-Formel beide möglichen n´s berechnen.
Marius
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:37 Di 16.01.2007 | | Autor: | informix |
Hallo M.Rex,
> Hallo
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> x²+2x+1+4x²+4xn+n²+8x+4n+4=0
> [mm]\gdw[/mm] 5x²+(2+4n)x+(5+n²+4n)=0
> [mm]\gdw x²+\underbrace{\bruch{2+4n}{5}}_{p}\red{x}+\underbrace{\bruch{n²+4n+5}{5}}_{q}=0[/mm]
[edit: hier fehlt das x und die rechte Seite der Gleichung! informix]
>
> Also
>
> [mm]x_{1;2}=\bruch{2+4n}{10}\pm\wurzel{\bruch{(2+4n)²}{100}-\bruch{n²+4n+5}{5}}[/mm]
>
> und da es eine Tangente sein soll, also es nur eine
> Schnittstelle geben soll, muss gelten
>
> [mm]\bruch{(2+4n)²}{100}-\bruch{n²+4n+5}{5}=0[/mm]
>
> Marius
Gruß informix
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