Tangente und Normale < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Sa 08.01.2011 | | Autor: | LRyuzaki |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=3x\cdot{}e^{-2x} [/mm]
4.) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t und der Normale n von f im Punkt P (1/f(1)) |
Ich bins wieder! :)
Bin jetzt bis zur 4. Aufgabe gekommen.
Leider habe ich jetzt keine Ahnung, wie man an dieser Aufgabe rangeht.
Ableitungen sind:
$ [mm] f'(x)=e^{-2x}(3-6x) [/mm] $
$ [mm] f''(x)=e^{-2x}(12x-12) [/mm] $
$ [mm] f'''(x)=e^{-2}(36-24x) [/mm] $
Könntet ihr mir vllt. erklären, wie man diese Aufgabe genau löst? Danke schonmal!
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, die Ableitungen hatten wir ja gestern schon gerechnet, bei der 3. Ableitung fehlt im Exponenten ein x,
Gleichung der Tangente:
- die Tangente genügt der Gleichung [mm] f_t(x)=m_t*x+n_t
[/mm]
- der Anstieg [mm] m_t [/mm] entspricht der 1. Ableitung an der stelle x=1
- der Punkt P(1;f(1)) gehört auch zur Tangente, berechne f(1)
- setze P in [mm] f_t(x)=m_t*x+n_t [/mm] ein, berechne [mm] n_t
[/mm]
Gleichung der Normale
- überlege dir, welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Anstieg der Tangente und dem Anstieg der Normale, beide Geraden stehen senkrecht zueinander
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Sa 08.01.2011 | | Autor: | LRyuzaki |
Ich habs mal versucht:
Die allgemeine Formel für die Tangente lautet also:
t(x)=f'(x)*x+n
n ist f'(1):
[mm] f'(1)=e^{-2*1}*(-6*1+3)
[/mm]
f'(1)=0,41=n (?)
einsetzen (x=1 ist ja gegeben)
[mm] t(x)=e^{-2*1}*(-6*1+3)*(x)+0,41
[/mm]
t(x)=0,41x+0,41
'n' hat ja genau die gegesätzliche Steigung als t, also müsste die Steigung '-0,41x' sein, oder?
n(x)=-0,41x+0,41
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Hallo,
[mm] f'(1)=m_t=e^{-2}*(-3)=-\bruch{3}{e^{2}} [/mm] kannst du so stehen lassen (beim Runden hast du ein minus verbasselt)
[mm] f(1)=\bruch{3}{e^{2}}
[/mm]
also gehört (1; [mm] \bruch{3}{e^{2}}) [/mm] auch zur Tangente
[mm] \bruch{3}{e^{2}}=-\bruch{3}{e^{2}}*1+n_t
[/mm]
überprüfe jetzt dein [mm] n_t
[/mm]
für die Anstiege der Tangente und Normale gilt [mm] m_t*m_n=-1
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 08.01.2011 | | Autor: | LRyuzaki |
also, dann lautet die Gleichung der Tangente wie folgt (?):
t(x)=-0,41x-1
und die Normale dann:
n(x)=+0,41-1 (das mit der Normale hab ich nicht so ganz verstanden :s)
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Hallo LRyuzaki,
> also, dann lautet die Gleichung der Tangente wie folgt
> (?):
>
> t(x)=-0,41x-1
Das ist leider nicht richtig.
Auch wenn Du Klammern so setzt: [mm]t\left(x\right)=-0,41*\left(x-1\right)[/mm]
Dann stimmt die rot markierte Zahl nicht:
[mm]t\left(x\right)=-0,41*\left(x-\red{1}\right)[/mm]
>
> und die Normale dann:
> n(x)=+0,41-1 (das mit der Normale hab ich nicht so ganz
> verstanden :s)
>
Gruss
MathePower
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Hallo, wir hatten
[mm] \bruch{3}{e^{2}}=-\bruch{3}{e^{2}}\cdot{}1+n_t
[/mm]
[mm] \bruch{3}{e^{2}}=-\bruch{3}{e^{2}}+n_t
[/mm]
[mm] n_t=\bruch{3}{e^{2}}+\bruch{3}{e^{2}}=\bruch{6}{e^{2}}
[/mm]
also Tangentengleichung
[mm] f_t(x)=-\bruch{3}{e^{2}}*x+\bruch{6}{e^{2}}
[/mm]
jetzt benutze [mm] m_t*m_n=-1 [/mm] um [mm] m_n [/mm] zu berechnen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 08.01.2011 | | Autor: | LRyuzaki |
aw, stimmt.
$ [mm] \bruch{3}{e^{2}}=-\bruch{3}{e^{2}}\cdot{}1+n_t [/mm] $
$ [mm] \bruch{3}{e^{2}}=-\bruch{3}{e^{2}}+n_t [/mm] $/ +$ [mm] \bruch{3}{e^{2}} [/mm] $
n=2$ [mm] \bruch{3}{e^{2}} [/mm] $
so richtig? :)
Wie rechnet man jetzt daraus die Normale?
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Hallo ja, besser
[mm] n_t=\bruch{6}{e^{2}}
[/mm]
zur Normale:
[mm] m_t*m_n=-1
[/mm]
[mm] -\bruch{3}{e^{2}}*m_n=-1
[/mm]
[mm] m_n=\bruch{e^{2}}{3} [/mm] der Anstieg der Normale
[mm] f_n(x)=\bruch{e^{2}}{3}*x+m_n
[/mm]
der Punkt (1; [mm] \bruch{3}{e^{2}}) [/mm] gehört auch zur Normale
einsetzen
[mm] \bruch{3}{e^{2}}=\bruch{e^{2}}{3}*1+m_n
[/mm]
jetzt kannst du [mm] m_n [/mm] berechnen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 08.01.2011 | | Autor: | LRyuzaki |
Danke für eure Hilfe :)
Noch eine letzte Frage: Beträgt die Normalengleichung dann:
n(x)=2,44x-2,03 (?)
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Hallo, deine Rundungen übertragen sich, gebe die Gleichung der Normalen so an
[mm] f_n(x)=\bruch{e^2}{3}*x+\bruch{9-e^4}{3e^2}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Sa 08.01.2011 | | Autor: | LRyuzaki |
Eine allgemeine Frage jetzt:
Wie ist es möglich den Thread hier zu löschen??
danke.
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> Eine allgemeine Frage jetzt:
>
> Wie ist es möglich den Thread hier zu löschen??
Hallo,
es ist nicht möglich, denn es widerspricht dem Geist des Forums.
Die hier geleistete Hilfe soll für jeden einzusehen und zu nutzen sein.
Gruß v. Angela
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