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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Teilmengen der Lösungsmenge
Teilmengen der Lösungsmenge < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Teilmengen der Lösungsmenge: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mo 20.04.2015
Autor: rsprsp

Aufgabe
Welche Lösungsmengen [mm] L_{i} [/mm] sind Teilmengen der Lösungsmenge L des folgenden Gleichungssystems?

Beweisen Sie Ihre Aussagen.

[mm] 2x_{1} [/mm]  - [mm] x_{2} [/mm]  - [mm] x_{3} [/mm]  = -2
[mm] -4x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 4
[mm] 6x_{1} [/mm]  - [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] 9x_{3} [/mm] = -6

[mm] L_{1} [/mm] = [mm] \{ (x_{1},x_{2},x_{3}) | (x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,2,0) + \lambda_{1}(1,2,0) \lambda_{2}(0,-3,1), \lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \} [/mm]

I:   [mm] 2x_{1} [/mm]  - [mm] x_{2} [/mm]  - [mm] 3x_{3} [/mm]  = -2
II: [mm] -4x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 4
III: [mm] 6x_{1} [/mm]  - [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] 9x_{3} [/mm] = -6

Ich multipliziere II mit - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und III [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
Ich erhalte:

I:   [mm] 2x_{1} [/mm]  - [mm] x_{2} [/mm]  - [mm] 3x_{3} [/mm]  = -2
II:  [mm] 2x_{1} [/mm]  - [mm] x_{2} [/mm]  - [mm] 3x_{3} [/mm]  = -2
III: [mm] 2x_{1} [/mm]  - [mm] x_{2} [/mm]  - [mm] 3x_{3} [/mm]  = -2

Somit ist das LGS linear abhängig.

Ich erhalte als LGS:

I: [mm] 2x_{1} [/mm]  - [mm] x_{2} [/mm]  - [mm] 3x_{3} [/mm]  = -2

Ich setze [mm] L_{1} [/mm] in I

[mm] 2(\lambda_{1}) [/mm] - [mm] (2+2\lambda_{1}-3\lambda_{2} [/mm] ) - 3 [mm] (-\lambda_{1} [/mm] )   = -2
-2 = -2
0  = 0

Somit ist [mm] L_{1} [/mm] eine Teilmenge von I !

Ist mein Lösungsweg korrekt ?

        
Bezug
Teilmengen der Lösungsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Mo 20.04.2015
Autor: meili

Hallo,

> Welche Lösungsmengen [mm]L_{i}[/mm] sind Teilmengen der
> Lösungsmenge L des folgenden Gleichungssystems?
>  
> Beweisen Sie Ihre Aussagen.
>  
> [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]x_{3}[/mm]  = -2
> [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
>  [mm]6x_{1}[/mm]  - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>  
> [mm]L_{1}[/mm] = [mm]\{ (x_{1},x_{2},x_{3}) | (x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,2,0) + \lambda_{1}(1,2,0) \lambda_{2}(0,-3,1), \lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \}[/mm]
>  
> I:   [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
> II: [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
>  III: [mm]6x_{1}[/mm]  - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6

Im LGS in der Aufgabe steht [mm] $-x_3$, [/mm] in I [mm] $-3x_3$, [/mm] was aber wohl ein
Flüchtigkeitsfehler in der Aufgabe ist.

>  
> Ich multipliziere II mit - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und III
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  Ich erhalte:
>  
> I:   [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
> II:  [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
> III: [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2

[ok]

>
> Somit ist das LGS linear abhängig.

[ok]

>  
> Ich erhalte als LGS:
>  
> I: [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
>
> Ich setze [mm]L_{1}[/mm] in I

[ok]

>
> [mm]2(\lambda_{1})[/mm] - [mm](2+2\lambda_{1}-3\lambda_{2}[/mm] ) - 3
> [mm](-\lambda_{1}[/mm] )   = -2
> -2 = -2

Das Ergebnis ist richtig, aber beim Einsetzen sind einige Flüchtigkeitsfehler:
[mm] $2\lambda_1-(2+2\lambda_1-3\lambda_2)-3\lambda_2 [/mm] = -2$

>  0  = 0
>  
> Somit ist [mm]L_{1}[/mm] eine Teilmenge von I !

[mm] $L_1$ [/mm] ist Lösungsmenge des angegebenen LGS, somit auch Teilmenge der
Lösungsmenge.

>  
> Ist mein Lösungsweg korrekt ?

[ok]

Gruß
meili


Bezug
        
Bezug
Teilmengen der Lösungsmenge: anderes Vorgehen...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Mo 20.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Welche Lösungsmengen [mm]L_{i}[/mm] sind Teilmengen der
> Lösungsmenge L des folgenden Gleichungssystems?
>  
> Beweisen Sie Ihre Aussagen.
>  
> [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]x_{3}[/mm]  = -2
> [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
>  [mm]6x_{1}[/mm]  - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>  
> [mm]L_{1}[/mm] = [mm]\{ (x_{1},x_{2},x_{3}) | (x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,2,0) + \lambda_{1}(1,2,0) \lambda_{2}(0,-3,1), \lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \}[/mm]
>  
> I:   [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
> II: [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
>  III: [mm]6x_{1}[/mm]  - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>  
> Ich multipliziere II mit - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und III
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  Ich erhalte:
>  
> I:   [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
> II:  [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
> III: [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
>
> Somit ist das LGS linear abhängig.
>  
> Ich erhalte als LGS:
>  
> I: [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
>
> Ich setze [mm]L_{1}[/mm] in I
>
> [mm]2(\lambda_{1})[/mm] - [mm](2+2\lambda_{1}-3\lambda_{2}[/mm] ) - 3
> [mm](-\lambda_{1}[/mm] )   = -2
> -2 = -2
>  0  = 0
>  
> Somit ist [mm]L_{1}[/mm] eine Teilmenge von I !
>  
> Ist mein Lösungsweg korrekt ?

ich weiß gerade gar nicht, warum Du einen solchen Aufwand betrieben
hast.

Ich schreibe der Einfachheit wegen $(x,y,z)$ statt [mm] $(x_1,x_2,x_3)\,.$ [/mm] Sei $(x,y,z) [mm] \in L_1\,.$ [/mm]
Dann gibt es $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] mit

    [mm] $x=0+r*1+s*0=r\,,$ [/mm] $y=2+2*r+(-3)*s$ und [mm] $z=0+r*0+s*1\,.$ [/mm]

Dann ist

    $2x-y-3z=2r-(2+2r-3s)-3s=2r-2+2r+3s-3s=-2$ (unabhängig von [mm] $r\,$ [/mm] oder [mm] $s\,$), [/mm]

also gilt Gleichung I.

Weiter

    $-4x+2y+6z=-4r+2*(2+2*r-3*s)+6s=-4r+4+4r-6s+6s=4$ (wie auch immer [mm] $r\,$ [/mm] oder [mm] $s\,$ [/mm] aussehen),

also gilt Gleichung II.

Zudem

    $6x  - 3y - [mm] 9z=6r-3(2+2*r+(-3)*s)-9*s=6r-6-6r+9s-9s=-6\,,$ [/mm]

also gilt Gleichung III.

Dies zeigt [mm] $L_1 \subseteq L\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Teilmengen der Lösungsmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 Mo 20.04.2015
Autor: Marcel

P.S. Nebenbei:
> Welche Lösungsmengen [mm]L_{i}[/mm] sind Teilmengen der
> Lösungsmenge L des folgenden Gleichungssystems?
>  
> Beweisen Sie Ihre Aussagen.
>  
> [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]x_{3}[/mm]  = -2

hier ist wohl eine 3 vor dem [mm] $x_3$ [/mm] verlorengegangen!

> [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
>  [mm]6x_{1}[/mm]  - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>  
> [mm]L_{1}[/mm] = [mm]\{ (x_{1},x_{2},x_{3}) | (x_{1},x_{2},x_{3}) = (0,2,0) + \lambda_{1}(1,2,0) \lambda_{2}(0,-3,1), \lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \}[/mm]
>  
> I:   [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
> II: [mm]-4x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 4
>  III: [mm]6x_{1}[/mm]  - [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]9x_{3}[/mm] = -6
>  
> Ich multipliziere II mit - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und III
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  Ich erhalte:
>  
> I:   [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
> II:  [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
> III: [mm]2x_{1}[/mm]  - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]3x_{3}[/mm]  = -2
>
> Somit ist das LGS linear abhängig.

Das ist okay. Man sieht eigentlich direkt bei

     [mm] $\pmat{2 & -1 & -3 &|-2 \\ -4 & 2 & 6 &|4 \\ 6 & -3 & -9 &|-6}$, [/mm]

dass -2*1.Zeile die 2. ergibt und 3*1.Zeile die 3. Damit kannst Du meine Methode
benutzen und musst etwa für
  
    $(x,y,z)$ mit $ [mm] x=0+r\cdot{}1+s\cdot{}0=r\,, [/mm] $ $ [mm] y=2+2\cdot{}r+(-3)\cdot{}s [/mm] $ und $ [mm] z=0+r\cdot{}0+s\cdot{}1\,. [/mm] $

nur noch prüfen, ob

    $2x-y-3z=-2$

(egal, wie auch [mm] $r,s\,$ [/mm] gewählt werden) gilt.


[bonk] Das war jetzt Quatsch von mir - denn im Endeffekt hast Du das ja genau
so gemacht! ^^ [sorry]

Gruß,
  Marcel

Bezug
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